3.2 基本不等式 ≤(a，b≥0)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦基本不等式≤（a,b≥0）这一核心知识点，从算术平均数与几何平均数的概念切入，对比不等式a²＋b²≥2ab与基本不等式的成立条件构建基础，再通过证明方法、求最值的不同角度（如“不正”“不定”问题、拆分法、常数代换法）分层递进，延伸到恒成立问题和实际应用，形成完整学习支架。 该资料以“数学眼光、数学思维、数学语言”为特色，通过“虎笼设计”“保护罩费用”等实际问题引导学生用数学眼光观察现实，在“常数代换法”等策略中培养转化思维，如将分式拆分为整式与真分式凑定积条件。课中互动探究助教师检测学情，课后分层练习（基础与能力提升）帮学生查漏补缺，提升学习效果。

3．2　基本不等式 ≤(a，b≥0) [课程标准]　1.理解基本不等式≤(a，b≥0).　2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题． 第一课时　基本不等式的证明 ► 对应学生用书P37 一、算术平均数、几何平均数与基本不等式 1．算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 2．基本不等式 如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时，等号成立)，我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 微点拨：不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较 (1)都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； (2)成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可). 二、两个重要的不等式 若a，b∈R，则 (1)ab≤，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立). 【基点小试】 1．若x≥1，则x＋的最小值为(　　) A． B．2 C． D．5 解析：选A.因为x≥1，所以x＋≥2＝，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．所以x＋的最小值为. 2．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则xy的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由基本不等式可得2x＋y≥2，即2≤1，解得xy≤，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，取等号． 3．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 解析：选D.法一　∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D. 法二　取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D. 4．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________． 解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立． 答案：a＝1 题型一　对基本不等式的理解 例1.给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；③∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：选B.①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②当a<0时，不等式不成立，故②是错误的． ③由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确． [总结] 　使用基本不等式必须满足的条件 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是要判断参数是否为正；“二定”是要看和或积是否为定值；“三相等”是一定要验证等号是否成立，如果等号不能成立，则不能用基本不等式求最值． 【练一练】 1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即当x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x>1，所以x＋>2；③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件． 答案：② 题型二　转化为基本不等式求最值 角度1　“不正”问题 例2.已知x>0，则4－2x－的最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选C.x>0时，x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时等号成立)， 所以4－2x－＝4－2≤4－2×2＝0，即4－2x－的最大值为0. [总结] 　当所给式子均小于0时，如果积为定值，可以将负号提取，转化为两个正项的和，从而利用基本不等式求最值．要注意不能丢掉前面的负号，同时还要注意不等号方向的变化. 角度2　“不定”问题 例3.(1)(苏教版必修一P54例2改编)当x>时，求函数y＝x＋的最小值； (2)设0<x<2，求函数y＝x(4－2x)的最大值． 解：(1)因为x>，所以x－>0，y＝x－＋＋≥2＋＝， 当且仅当x－＝时，即x＝时，等号成立，故函数y＝x＋的最小值为. (2)因为0<x<2，所以4－2x>0， 因此y＝x(4－2x)＝·2x(4－2x)≤2＝2，当且仅当2x＝4－2x， 即x＝1时，等号成立，故函数y＝x(4－2x)的最大值为2. [总结] 　有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 角度3　拆分法转化为基本不等式 例4.若x>2，则y＝的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 解析：选C.法一　因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时等号成立， 故y＝x＋的最小值为6. 法二　令x－2＝t，则t>0，且x＝t＋2. 则原式y＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当t＝2，即x＝4时等号成立，故y＝x＋的最小值为6. [总结] 　对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． 角度4　“常数代换法”求最值 例5.(苏教版必修一P57T2改编)设a>0，b>0，若a＋b＝2，则＋的最小值为______． 解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝2， 则＋＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当b＝2a时，等号成立，因此＋的最小值为18. 答案：18 [总结] 　若题中不存在满足均值不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，灵活运用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常将不等式乘“1”．除以“1”，或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替. 【练一练】 2．函数y＝1－2x2－的最大值是(　　) A．7 B．－7 C．9 D．－9 解析：选B.由题意可得函数的定义域为{x|x≠0}，则x2>0， 所以y＝1－2x2－＝1－≤1－2＝－7， 当且仅当2x2＝，即x＝±时取等号， 所以函数y＝1－2x2－的最大值是－7. 3．若0<x<，则x(1－2x)的最大值是______． 解析：因为0<x<，所以1－2x>0， 所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤2＝×＝， 当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，等号成立，所以x(1－2x)的最大值为. 答案： 4．若－1<x<1，则y＝的最大值是______． 解析：由题意，y＝＝＝＋， 又－1<x<1，故x－1<0， ∴y＝－， 由于>0，>0， 所以＋≥2＝1， 当且仅当＝，即x＝0时等号成立．故y＝－≤－1，则y＝的最大值是－1. 答案：－1 5．正实数x，y满足xy＝4x＋y，则x＋y的最小值为________． 解析：由已知可得＝＋＝1，且x，y为正实数， 所以，x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当y＝2x时，等号成立．因此x＋y的最小值为9. 答案：9 培优拓展系列(二)·由三个实数的关系求最值问题 解答此类问题的步骤： 例6.若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________． 解析：法一　由abc＝a＋2b＋c得，c＝＝＝1＋，由ab＝a＋2b得，＋＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，故c≤. 法二　因为abc＝a＋2b＋c，ab＝a＋2b，所以abc＝ab＋c，故c＝＝1＋，由ab＝a＋2b利用基本不等式得ab≥2，故ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时等号成立，故c＝1＋≤1＋＝. 答案： 【练一练】 7．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　) A．0 B． C．2 D． 解析：选C.依题意得，＝＝－3＋≥2－3＝1，当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2. ∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2， ∴当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取最大值，最大值为2. [课后分层练(十二)]　基本不等式的证明 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．已知x>0，则x＋的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选C.因为x>0，则x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时取“＝”， 所以x＋的最小值为2. 2．已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选A.因为x>－2，所以x＋2>0， 所以x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2， 当且仅当x＋2＝，即x＝0时取等号，所以x＋的最小值为2. 3．设m>0，n>0，且m＋2n＝1，则＋的最小值为(　　) A．4 B．3＋ C．3＋2 D．6 解析：选C.由＋＝(m＋2n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当m＝n＝－1时等号成立． 4．设a>0，b>0，若ab－5＝4a＋b，则ab的最小值是(　　) A．5 B．9 C．16 D．25 解析：选D.因为a>0，b>0，所以ab－5＝4a＋b≥2＝4， 即ab－4－5＝(－5)(＋1)≥0，则－5≥0，所以ab≥25， 当且仅当4a＝b时等号成立，由⇒ 5．(多选)下列能够取得最小值为4的函数有(　　) A．函数y＝x＋(x＞2) B．函数y＝x＋(x>0) C．函数y＝2－x－(x<0) D．函数y＝5－x (4－4x)(0<x<1) 解析：选ABD.y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，A正确； y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，B正确； y＝2－x－≥2＋2＝6，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，C错误； y＝5－x(4－4x)＝5－≥5－＝4，当且仅当4x＝4－4x，即x＝时等号成立，D正确． 6．设正实数x、y、z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 解析：选C.因为正实数x、y、z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2， 则＝＝≤＝1，当且仅当y＝2x>0时取等号．故的最大值为1. 7．已知a，b为正实数，a＋b＝3，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D．4 解析：选A.因为a＋b＝3，所以＋＝(a＋1＋b＋2)＝(＋＋2)≥(2＋2)＝， 当且仅＝，即a＝2，b＝1时等号成立． 8．已知t>0，则函数y＝的最小值为________. 解析：∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥－2，当且仅当t＝1时，ymin＝－2. 答案：－2 9．当x>－2时，函数y＝的最小值为_________． 解析：因为x>－2，则x＋2>0，则y＝＝＝(x＋2)＋≥2＝2，当且仅当x＝－2时，等号成立， 所以当x>－2时，函数y＝的最小值为2. 答案：2 10．已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋取到最小值时，ab＝________． 解析：＋＝＝≥＝＋， 当且仅当＝时，等号成立，又a＋b＝2，解得a＝4－2，b＝2－2， ab＝(4－2)(2－2)＝12－16. 答案：12－16 11．求解下列问题： (1)若x>0，y>0，且x＋2y－xy＝0，求x＋y的最小值； (2)若x>0，y>0，且(x＋2)(y＋1)＝9，求x＋3y＋5的最小值． 解： (1)因为x>0，y>0，且x＋2y－xy＝0，所以＋＝1， 则x＋y＝(x＋y)＝2＋＋＋1≥3＋2＝3＋2. 当且仅当＝，即x＝y时，也即时，上式取等号， 故当时(x＋y)min＝3＋2. (2)因为x>0，y>0，且(x＋2)(y＋1)＝9， 所以x＋3y＋5＝(x＋2)＋3(y＋1)≥2＝6， 当且仅当(x＋2)＝3(y＋1)时，又(x＋2)(y＋1)＝9， 所以当且仅当时，上式取等号， 故当时，(x＋3y＋5)min＝6. 【能力提升题组】 12．若1≤a≤3，则＋的最小值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选D.因为1≤a≤3，所以4－a>0， ∴＋＝[a＋(4－a)]＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1， 当且仅当＝，即a＝2时取等号，所以＋的最小值为1. 13．(多选)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则下列说法中正确的是(　　) A．xy有最大值为 B．＋有最小值为9 C．x2＋2y2有最小值为 D．＋有最小值为3 解析：选ABD.由x>0，y>0，且x＋y＝1，可知x＋y≥2，即xy≤＝， 当且仅当x＝y＝时取等号，故A正确； ＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故B正确； 由x>0，y>0，且x＋y＝1，可知0<x<1，故x2＋2y2＝x2＋2(1－x)2＝3x2－4x＋2， 当x＝∈(0，1)时，x2＋2y2＝3x2－4x＋2取得最小值为3×－4×＋2＝，故C错误； ＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，故D正确． 14．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为________． 解析：由题意可知，＝＝＝＋ ＝(＋)(x＋y)＝4＋5＋＋≥9＋2＝9＋4， 当且仅当＝，2x＝y时取等号， 此时x＝5－2，y＝2－4， 故的最小值为9＋4. 答案：9＋4 15．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号). ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. 解析：因为a＞0，b＞0，a＋b＝2，所以ab≤＝1，所以①恒成立； ＋≤2 ＝2，所以②不恒成立； a2＋b2≥＝2，所以③恒成立； 当a＝b＝1时，a3＋b3＝2＜3，所以④不恒成立； ＋＝(a＋b)＝≥2，所以⑤恒成立． 答案：①③⑤ 第二课时　 基本不等式的应用　　　 ► 对应学生用书P40 题型一　与基本不等式有关的恒成立问题 例1.已知函数y＝－＋，若y＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是__________________. 解析：∵y＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即－＋＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴≤2在(0，＋∞)上恒成立． 当a<0时，不等式恒成立；当a>0时， ∵2≥4，当且仅当x＝1时，等号成立，∴0<≤4，解得a≥. ∴a<0或a≥. 答案：(－∞，0)∪ [总结] 　利用基本不等式解决恒成立问题的方法 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围．对于求不等式成立时参数的范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决，常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为求最值问题，即 y≥m，恒成立⇔ymin≥m； y≤m，恒成立⇔ymax≤m； 但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 【练一练】 1．若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[0，＋∞) B． C． D． 解析：选B.依题意得，当x>0时， 2a＋1≥＝恒成立，又因为x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以的最大值为，所以2a＋1≥，解得a的取值范围为. 题型二　利用基本不等式证明不等式 例2.已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8. 证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 【母题探究】　(变设问)在本例条件下，求证：＋＋≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． [总结] 　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 【练一练】 2．已知a，b，c均为正实数． (1)求证：＋＋≥a＋b＋c. (2)若a＋b＝1，求证：≥9. 证明： (1)∵a，b，c均为正实数， ∴＋b≥2＝2a，当且仅当a＝b时，等号成立，＋c≥2＝2b，当且仅当b＝c时，等号成立，＋a≥2＝2c，当且仅当a＝c时，等号成立，三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴＋＋≥a＋b＋c. (2)＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋.∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴a＋b≥2(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，即ab≤＝. 所以1＋≥9，即证． 题型三　基本不等式在实际中的应用 例3.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 解：(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 法一　由于2x＋3y≥2＝2， ∴2≤18，得xy≤， 即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由解得 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大． 法二　由2x＋3y＝18，得x＝9－y. ∵x>0，y>0，∴0<y<6. ∴S＝xy＝y＝(6－y)·y. ∵0<y<6，∴6－y>0. ∴S≤＝， 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y. 法一　∵2x＋3y≥2＝2＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由解得 故每间虎笼长为6 m，宽为4 m时，可使钢筋网总长最小． 法二　由xy＝24，得x＝. ∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48. 当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长为6 m，宽为4 m时，可使钢筋网总长最小． [总结] 　求实际问题中最值的一般思路 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式； (2)把实际问题转化为函数的最大值或最小值问题，设最值时一般要把最大值或最小值的变量定义为函数，且要注意变量的实际意义及其取值范围； (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性； (4)正确写出答案. 【练一练】 3．我市某运输公司为积极响应国家节能减排的号召，年初以每台12 800元的价格购入一批风能发电机．经测算，每台发电机每年的发电收益约7 200元，已知每台发电机使用x年后的累计维修保养费用为t元，且满足关系式t＝ax2＋bx(a，b为常数).已知该批发电机第1年每台的维修保养费用为1 000元，前2年每台的累计维修保养费用为2 400元．设每台发电机使用x年后的总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)问每台发电机在第几年的年平均利润最大？(注：年平均利润＝总利润÷年数) 解：(1)由题知： 解得所以t＝200x2＋800x. y＝7 200x－(200x2＋800x)－12 800＝6 400x－200x2－12 800，x∈N*. (2)设平均利润z＝，所以z＝6 400－200x－，所以z＝6 400－(200x＋)≤6 400－2＝3 200. 当且仅当200x＝，即x＝8时取等号． 所以每台发电机在第8年的年平均利润最大． [课后分层练(十三)]　基本不等式的应用 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．已知某产品的总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝Q2＋3 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q)(单位：元/件)，则f(Q)的最小值是(　　) A．30 B．60 C．900 D．180 解析：选B.某产品的总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝Q2＋3 000， ∴f(Q)＝＝＋≥2＝60，当且仅当＝，即Q＝100时，等号成立． ∴f(Q)的最小值是60. 2．已知a、b∈(0，＋∞)，若＋≥恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[5，＋∞) B．[9，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，9] 解析：选D.因为a、b∈(0，＋∞)，由已知可得λ≤(a＋b)， 因为(a＋b)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当b＝2a时等号成立，故实数λ的取值范围为(－∞，9]. 3．若a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　) A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 解析：选D.对于A，都不大于2，结论不一定成立，如a＝2，b＝3，c＝4时，三个数a＋，b＋，c＋都大于2，所以选项A错误； 对于B，都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如a＝1，b＝2，则a＋<2，所以选项B错误； 对于C，至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如a＝2，b＝3，c＝4时，三个数a＋，b＋，c＋都大于2，所以选项C错误； 由题意，∵a，b，c均为正实数，∴a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6.当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号，若a＋<2，b＋<2，c＋<2，则结论不成立， ∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2，所以选项D正确． 4．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__________． 解析：因为x>0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)， 所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥. 答案：a≥ 5．(2025·盐城五校联盟高一上期末)对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于(　　 ) A．12 B．12 C．6＋6 D． 解析：选C.如图所示，在Rt△ABC中，两直角边长为a，b，斜边长为c＝6，则a2＋b2＝c2＝36. 因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋2ab＋b2≤2(a2＋b2)＝72，即(a＋b)2≤72， 当且仅当a＝b＝3时，等号成立，又a＋b>0，则a＋b≤6， 所以Rt△ABC的周长a＋b＋c≤6＋6， 即这个直角三角形周长的最大值等于6＋6. 6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______m，面积最大为______m2. 解析：设矩形的宽为y，由三角形相似得：＝，0<y<40， 即y＝40－x，∴40＝x＋y≥2，所以xy≤400， 当且仅当x＝y＝20时，矩形的面积S＝xy取得最大值400. 答案：20　 400 7．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、挤压、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投人x(1<x<10)万元，珍珠棉的销售量可增加p＝吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨珍珠棉还需要投人其他成本万元． (1)写出该公司本季度增加的利润y万元与x之间的函数关系； (2)当x为多少万元时，公司在本季度增加的利润y最大？最大为多少万元？ 解： (1)y＝p－x－＝－x－8(1<x<10). (2)y＝－x－8＝18－. ∵1<x<10，∴2<x＋1<11， ∴＋(x＋1)≥2＝10， 当且仅当＝x＋1，即x＝4时等号成立，∴y≤18－10＝8， ∴当x＝4万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元． 8．“三星堆”考古发掘出大量的古代象牙，博物馆需要在馆内一个透明且密封的长方体玻璃罩内充入保护液，保护出土的这些古代象牙，该博物馆需要支付的总费用由两部分构成： ①保护液的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少0.5 m3，且每立方米的保护液费用为500元． ②还需支付一定的保险费，且支付的保费与保护罩的容积成反比，当容积为2 m3时，支付的保费为4 000元． (1)求该博物馆支付的总费用y(元)与保护罩容积x(m3)之间的函数关系式； (2)求博物馆支付的总费用的最小值． 解：(1)设需要支付的保费为(k>0)，当x＝2时，＝4 000.∴k＝8 000. 所以总费用y＝500(x－0.5)＋(x>0.5). (2)y＝500(x－0.5)＋＝500x＋－250≥2－250＝4 000－250＝3 750.当且仅当500x＝，即x＝4时等号成立． 所以当容积x＝4时，总支出费用最少，费用为3 750元． 【能力提升题组】 9．在使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做－x2＋2x的上确界，若a>0，b>0且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　) A．－3 B．－4 C．－ D．－ 解析：选D.根据题意，由a＋b＝1，得－－＝(a＋b)＝－－，因为a>0，b>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即b＝2a＝时，等号成立，因此－－≤－2－＝－，根据定义知，－－的上确界为－. 10．(多选)甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分別为T1，T2，T3.甲有一半的时间以速度V1米/秒奔跑，另一半的时间以速度V2米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度V1米/秒奔跑，另一半的路程以速度V2米/秒奔跑．其中V1>0，V2>0.则下列结论中一定成立的是(　　) A．T1≤T2≤T3 B．T1≥T2≥T3 C．T1T3＝T D．＋＝ 解析：选AC.由题意知：T1V1＋T1V2＝100，所以T1＝，T2＝， T3＝＋＝， 由基本不等式可得≥，所以≤＝， 所以≥≥>0，故T1≤T2≤T3，当且仅且V1＝V2时等号全部成立． 故A选项正确，B选项错误； 又由·＝()2，故易知T1T3＝T，即C项正确； ＋＝，＝，取V1＝1，V2＝2，此时＋≠，所以D选项不一定成立． 11．已知a，b，c都是正数，若a＋b＋c＝3，证明：＋＋≥. 解：因为已知a，b，c都是正数，a＋b＋c＝3，所以(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝6， 则左边＝[＋ ＋ ]＝ (3＋＋＋＋＋＋)≥(3＋2＋2＋2)＝. 当且仅当⇒a＝b＝c＝1时取“＝”． 即＋＋≥成立． 12．已知a、b、c、d为正实数，请利用均值不等式证明(1)，并指出等号成立的条件，然后利用(1)证明(2)，并解决(3)中的实际问题． (1)求证：≥≥； (2)利用(1)中的结论证明：≥； (3)如图，将边长为1的正方形纸片的四个角都沿实线剪去一个边长为x的小正方形，再将四个部分都折起，做成一个无盖长方体盒子．求该长方体盒子的容积V的最大值，以及取到最大值时实数x的值． 解： (1)因为a、b、c、d为正实数， 所以≥，≥，当且仅当a＝b，c＝d时等号成立， 所以≥＋，当且仅当a＝b，c＝d时等号成立． 又因为≥＝，当且仅当＝时等号成立， 所以≥≥， 当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立． (2)由于≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立， 令d＝，得≥＝＝(abc)＝， 即a＋b＋c＋≥4，故a＋b＋c≥3. 所以≥，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立． (3)做成的长方体的底面是一个边长为1－2x的正方形，高为x. 所以V＝(1－2x)(1－2x)x. 由(2)中已证的不等式，可知 ≤ ＝， 当且仅当1－2x＝1－2x＝4x时等号成立． 所以(1－2x)(1－2x)(4x)≤，因此V＝(1－2x)(1－2x)x≤，当且仅当x＝时等号成立．综上所述，长方体盒子的容积V的最大值为，此时x＝. 学科网（北京）股份有限公司 $