2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦全称量词命题与存在量词命题的否定这一核心知识点，先通过命题否定的定义、真假关系及集合补集的类比理解搭建基础，再系统梳理含一个量词命题的否定规则，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料以微点拨深化理解，如用集合补集类比命题否定培养抽象能力，通过一题多法（例3）发展逻辑推理思维，课后分层练习助力查漏补缺。课中辅助教师互动教学，课后帮助学生巩固提升，体现数学思维与应用意识的培养。

2．3.2　 全称量词命题与存在量词命题的否定 ► 对应学生用书P30 一、 命题的否定 语句“¬p(x)”是对语句“p(x)”的否定． 微点拨：(1)命题的否定也是一个命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”； (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． (3)从集合角度理解命题的否定，相当于集合的“补集”．设命题p：已知全集U，x∈A，则¬p⇔x∈U且x∉A⇔ x∈∁UA. 二、含有一个量词的命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)． 2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)． 【基点小试】 1．已知命题p：∀x∈，sin x>cos x，则命题p的否定为(　　) A．∀x∉，sin x>cos x B．∀x∉，sin x≤cos x C．∃x∈，sin x>cos x D．∃x∈，sin x≤cos x 解析：选D.命题p：∀x∈，sin x>cos x是全称命题，故其否定命题为：∃x∈，sin x≤cos x. 2．命题“∃x<0，x2＋2x－m>0”的否定是(　　) A．∀x≥0，x2＋2x－m≤0 B．∃x≥0，x2＋2x－m≤0 C.∀x<0，x2＋2x－m≤0 D．∃x<0，x2＋2x－m≤0 解析：选C.由题意知，命题“∃x<0，x2＋2x－m>0”的否定是“∀x<0，x2＋2x－m≤0”． 3．已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d命题的否定为____________________________． 解析：由题可知，该命题的否定为若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d. 答案：若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d 4．命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是____________________________． 解析：由题意得命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是“在△ABC中，若A>B，则a≤b”． 答案：在△ABC中，若A>B，则a≤b 题型一　命题的否定 例1.写出下列命题的否定形式，并判断其真假． (1)p：面积相等的三角形都是全等三角形； (2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零； (3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0. 解：(1)¬p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题． (2)¬p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题． (3)¬p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题． [总结] 　关键词的否定 ¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反，对一些词语的正确否定是写¬p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等． 【练一练】 1．命题“若x2－2x－3＝0，x＝3或x＝－1”的否定是(　　) A.若x2－2x－3≠0，x≠3或x≠－1 B．若x2－2x－3≠0，x≠3且x≠－1 C．若x2－2x－3＝0，x≠3或x≠－1 D．若x2－2x－3＝0，x≠3且x≠－1 解析：选D.因为结论为“x＝3或x＝－1”，其否定为“x≠3且x≠－1”，所以原命题的否定是“若x2－2x－3＝0，x≠3且x≠－1”． 2．命题“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”的否定可以是(　　) A．自然数a、b、c都是奇数 B．自然数a、b、c都是偶数 C．自然数a、b、c中至少有两个偶数 D．自然数a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 解析：选D.命题“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”的否定为“自然数a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数”． 题型二　全称(存在)量词命题的否定 例2.(1)(2025·苏州高一上期末)若命题p：∀x∈R，x2+2x>0，则p的否定为(　　) A．∀x∈R，x2+2x≤0 B．∃x∈R，x2+2x≤0 C．∃x∈R，x2+2x>0 D．∃x∉R，x2+2x≤0 解析：选B.由题意可知，命题p为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈R，x2+2x≤0”. (2)命题“存在x∈R，使得<1”的否定形式是(　　) A．对任意x∈R，都有≥1 B．对任意x∈R，都有<1 C．存在x∈R，使得＝1 D．存在x∈R，使得≥1 解析：选A.存在量词命题的否定是全称量词命题，改变量词，否定结论，得否定形式：对任意x∈R，都有≥1. [总结] 　全称(存在)量词命题的否定的思路 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 【练一练】 3．命题p：任意圆的内接四边形是矩形，则¬p为(　　) A．每一个圆的内接四边形是矩形 B．有的圆的内接四边形不是矩形 C．所有圆的内接四边形不是矩形 D．存在一个圆的内接四边形是矩形 解析：选B.全称量词命题的否定是特称命题，需要将全称量词换为存在量词，选项AC不符合题意，同时对结论进行否定，所以只有B符合要求． 4．(2022·山东菏泽高一期末)命题“∃x，y∈Z，2x＋3y＝4”的否定是(　　) A．∀x，y∈Z，2x＋3y≠4 B．∀x，y∈Z，2x＋3y＝4 C．∃x，y∈Z，2x＋3y≠4 D．不存在整数x，y，使得2x＋3y≠4 解析：选A.改变量词并否定结论，得“∃x，y∈Z，2x＋3y＝4”的否定是“∀x，y∈Z，2x＋3y≠4”． 题型三　利用全称(存在)量词命题的否定求参 例3.(一题多法)已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围． [思路点拨]　命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图象和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解． 解：法一　¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1，即实数m的取值范围是(1，＋∞). 法二　¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1， 即实数m的取值范围是(1，＋∞). 【母题探究】　若命题“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是__________. 解析：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根， ∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1. 答案：m≤1 [总结] 　含有量词的命题求参数问题的思路 (1)此类题目常以二次方程或二次不等式等为载体，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数范围，也可以利用分离参数法求得参数的范围． (2)求参数的范围时，从真命题的角度比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围． 【练一练】 5．若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0是假命题”，则实数a的取值范围是___________. 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0是假命题”， 所以∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0， 需Δ＝4a2－4(2－a)＝4a2＋4a－8<0， ∴a2＋a－2<0，∴－2<a<1. 答案：{a|－2<a<1} [课后分层练(十)]　全称量词命题与存在量词命题的否定 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．命题“实数a，b，c中至少有2个负数”的否定是(　　) A．a，b，c中至多有1个负数 B．a，b，c中至多有2个负数 C．a，b，c中至少有1个负数 D．a，b，c都是正数 解析：选A.“实数a，b，c中至少有2个负数”的否定是“a，b，c，中至多有1个负数”． 2．命题“∀x∈，ln x≤x－1”的否定是(　　) A．∃x∈，ln x>x－1 B．∃x∉，ln x≤x－1 C．∀x∈，ln x>x－1 D．∀x∉，ln x≤x－1 解析：选A.命题“∀x∈，ln x≤x－1”为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈，ln x>x－1”． 3．命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　) A．∀x<0，x＋2>2x B．∃x≥0，使得x＋2>2x C．∀x<0，x＋2≤2x D．∃x≥0，使得x＋2≤2x 解析：选C.因为命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“∀x<0，x＋2≤2x”． 4．设命题p：任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是(　　) A．∃x∈R，x2≥0 B．∀x∈R，x2<0 C．∃x∈R，x2<0 D．∃x∈R，x2>0 解析：选C.命题p：任一实数的平方都不小于0，即∀x∈R，x2≥0为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定是∃x∈R，x2<0. 5．已知命题p：x∈A∪B，则非p是(　　) A．x不属于A∩B B．x不属于A或x不属于B C．x不属于A且x不属于B D．x∈A∩B 解析：选C.由x∈A∪B知x∈A或x∈B.非p是：x不属于A且x不属于B. 6．若“∃x∈，x＋2－a>0”为假命题，则实数a的最小值为______． 解析：“∃x∈，x＋2－a>0”的否定为“∀x∈[－1，1]，都有x＋2－a≤0”， 因为“∃x∈，x＋2－a>0”为假命题，所以“∀x∈[－1，1]，都有x＋2－a≤0”为真命题， 所以a≥x＋2在x∈[－1，1]上恒成立，所以a≥3， 所以实数a的最小值为3. 答案：3 7．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？并说明理由． 解：两位同学题中m的取值范围是一致的． 理由：∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”， 而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题， ∴两位同学题中m的取值范围是一致的． 8．写出下列命题的否定： (1)若xy＝0，则x＝0或y＝0； (2)若x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0. 解：(1)命题的否定为：若xy＝0，则x≠0且y≠0. (2)命题的否定为：若x2＋y2＝0，则x≠0或y≠0. 9．判断下列两个命题的真假，并写出这两个命题的否定． (1)命题p：存在整数x，使得x<4； (2)命题q：∀x∈R，－6x＋8>0. 解：(1)当x＝3时，3<4，则命题p是真命题， p的否定：对任意整数x，x≥4恒成立． (2)当x＝2时，－6x＋8＝－2<0，则命题q是假命题， q的否定：∃x∈R，－6x＋8≤0. 【能力提升题组】 10．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　) A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n C．∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n D．∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n 解析：选D.命题为全称命题，则命题的否定为：∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n. 11．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2 解析：选D.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2. 12．(多选)已知∃x∈R，不等式x2－4x－a－1<0不成立，则下列a的取值不正确的是(　　) A．(－∞，－5] B．(－∞，－2] C．(－∞，－3] D．(－∞，－1] 解析：选BCD.已知∃x∈R，不等式x2－4x－a－1<0不成立，等价于∀x∈R，不等式x2－4x－a－1≥0恒成立，Δ＝16＋4(a＋1)≤0⇒a≤－5.只要a的取值是{a|a≤－5}的子集就正确．则选项BCD都不正确． 13．已知p：∀x∈R，ax2－ax＋1>0恒成立，q：∃x∈R，x2＋x＋a＝0.如果p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 解：若p为真命题，当a＝0时，可得1>0恒成立，满足题意； 当a≠0时，则解得0<a<4， ∴当p为真命题，实数a的取值范围是. 若q为真命题，则有Δ＝12－4a≥0，解得a≤， ∴当q为真命题，实数a的取值范围是. ∵p，q中有且仅有一个为真命题， ∴当p为真命题，q为假命题时，实数a的取值范围是∩＝； 当p为假命题，q为真命题时，实数a的取值范围是(－∞，0). 综上，当p，q中有且仅有一个为真命题时，实数a的取值范围是(－∞，0)∪. 学科网（北京）股份有限公司 $