1.5.1 全称量词与存在量词-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，通过立德中学团体操实例引入，梳理量词定义、命题符号表示及真假判断方法，搭建“情境问题-教材研读-概念表格-例题解析-迁移应用”的学习支架，衔接命题基础与后续逻辑推理内容。 以生活情境激发兴趣，培养数学抽象素养，通过真假判断训练发展逻辑推理能力，符号化表达强化数学语言应用。课中问题链引导探究，课后分层练习助力查漏补缺，兼顾教学效率与学生个性化学习需求。

1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 ► 对应学生用书P20 学习目标　1.通过已知的数学实例，理解全称量词、存在量词的定义，提升数学抽象素养．(重点)　2.理解全称量词命题、存在量词命题的定义，并会用符号表示，提升数学抽象素养．(重点)　3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假，提升逻辑推理素养．(重点、难点) 　　　立德中学为了迎接即将到来的田径运动会，准备排练由500名学生参加的开幕式团体操表演．这500名学生有如下特点： (1)所有学生都来自高一年级； (2)至少有30名学生来自高一(5)班； (3)每一个学生都有固定的表演路线． 问题1　上述问题中“所有”“每一个”的含义相同吗？ 提示：相同． 问题2　“至少”是全称量词吗？ 提示：不是，是存在量词． 问题3　全称量词限制变量的范围吗？ 提示：全称量词往往会限制变量的范围． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P26～27，分析思考：“分别如何判断全称量词命题和存在量词命题的真假”． 提示：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要证明集合M中每个元素x都能使p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． 要判断一个存在量词命题“∃x∈M，p(x)”为真，只要在给定的集合M中找到一个元素x，使命题p(x)成立即可；要判断一个存在量词命题为假，必须验证给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)不成立． (2)请认真阅读教材P26～27，分析思考：短语“都不是”是全称量词吗？“不都是”呢？ 提示：“都不是”是全称量词，“不都是”不是全称量词． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)全称量词表示的数量都是无限的．(　　 ) (2)全称量词命题必须含有全称量词．(　　 ) (3)短语“至少有一个”是存在量词．(　　 ) (4)“2x＋3>1”是存在量词命题．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　 全称量词与全称量词命题 　　　阅读下面的例子，并回答提出的问题： (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数． 问题4　示例中的语句是命题吗？ 提示：语句(1)(2)不是命题，语句(3)(4)是命题． 问题5　语句(3)(4)中“所有的”“任意一个”的含义相同吗？ 提示：相同． 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 温馨提示 有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来. 例1　(链接教材：人教A版P27例1)判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假． (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x∈R，|x|＋1≥1； (3)对任意Rt△ABC的两锐角A，B都有sin A＝cos B. 解：(1)是全称命题，2是素数，但2不是奇数，故此命题是假命题． (2)是全称命题，∀x∈R，|x|≥0，则|x|＋1≥1，故此命题是真命题． (3)是全称命题，设Rt△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，则sin A＝ ，cos B＝ ，所以sin A＝cos B，故此命题是真命题． 类题通法 判断一个语句是全称量词命题以及真假的思路 (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立． 【迁移运用】 1.(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(　　 ) A．一切实数均有相反数 B．∀a∈N，方程 ax＋1＝0都有实数根 C．等腰梯形的对角线相等 D．π是无理数 解析：选AC.选项A和选项C都是全称量词命题且为真命题；选项B是全称量词命题，但不是真命题，当a＝0时，方程没有实数根；选项D是真命题，但不是全称量词命题． 　存在量词与存在量词命题 　　　阅读下面的例子，并回答提出的问题： (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，使x能被2和3整除． 问题6　示例中的语句是命题吗？ 提示：语句(1)(2)不是命题，语句(3)(4)是命题． 问题7　语句(3)(4)中“存在一个”“至少有一个”的含义相同吗？ 提示：相同． 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 例2　(链接教材：人教A版P28例2)(多选)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的有(　　 ) A.至少有一个实数x，使x3＋1＝0 B．所有正方形都是矩形 C．∃x∈R，使x2－x＋≤0 D．∃x∈R，使x2＋2x＋2＝0 解析：选AC.A选项，“至少”是存在量词，对于方程x3＋1＝0，存在x＝－1，故正确； B选项，“所有”是全称量词，故错误； C选项，“∃”是存在量词，又当x＝时，x2－x＋≤0成立，故正确； D选项，“∃”是存在量词，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≠0，故错误． 类题通法 存在量词命题及其真假的判断技巧 (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有存在量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假． 【迁移运用】 2.(2025·河南郑州模拟)下列命题中为真命题的是(　　 ) A．∃x∈R，x2＋1<0 B．∃x∈Z，3x＋1是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z 解析：选B.对于A选项，因为对于任意实数x，x2≥0，所以x2＋1≥1，恒大于0，A选项错误； 对于B选项，对于任意的整数x，3x一定是整数，3x＋1也一定是整数，所以∃x∈Z，3x＋1是整数，B选项正确； 对于C选项，当x＝0时，|0|＝0，不满足|x|>3，C选项错误； 对于D选项，例如x＝，则x2＝∉Z，D选项错误． 　依据含量词命题的真假求参数 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围． 解：若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，则B⊆A，因为B≠∅，所以解得2≤m≤3，即m的取值范围是{m|2≤m≤3}． 变式探究　(1)(变条件)若把本例中的命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围． 解：若命题p为真命题，则A∩B≠∅. 因为B≠∅，所以m≥2. 所以或 解得2≤m≤4. 所以m的取值范围是{m|2≤m≤4}． (2)(变条件)若把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． 解：不存在．理由如下： 若命题p：∀x∈A，x∈B是真命题，则A⊆B，B≠∅， 所以无解． 所以不存在实数m，使命题p是真命题． 类题通法 利用含量词命题的真假求参数取值范围问题的方法 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式，确定参数的取值范围. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式知识解决. 1．(2025·四川峨眉月考)下列命题是全称量词命题的是(　　 ) A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数 D．存在一个实数x，使得x2＝x 解析：选B.选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题． 2．给出以下命题： ①∃x∈Z，x2－2x－3＝0；②∀x∈R，x2>0；③有些自然数是偶数；④∃x∈R，x2＋x＋1≤0. 其中真命题的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.当x＝－1∈Z时，(－1)2－2×(－1)－3＝0，故∃x∈Z，x2－2x－3＝0，故①是真命题；当x＝0时，x2＝0，故②不是真命题；2，4是偶数，所以有些自然数是偶数是真命题，故③是真命题；因为x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥>0，故④不是真命题．所以真命题的个数为2. 3．对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意{x|x＞3}⊆{x|x＞a}，用数轴表示两集合关系如图，所以a≤3. 答案：{a|a≤3} 4．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示： (1)整数中1最小； (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根； (3)对于某些实数x，有2x＋1>0. 解：(1)∀x∈Z，x≥1. (2)∃x<0，有ax2＋2x＋1＝0(a<1). (3)∃x∈R，有2x＋1>0. [课后分层练(七)]　全称量词与存在量词 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列全称量词命题中真命题的个数为(　　 ) ①对于任意实数x，都有x＋2>x； ②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立； ③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.①②③为真命题． 2．(版本融合：苏教必修一P37例1改编)下列命题中的假命题是(　　 ) A．∀x∈R，|x|＋1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，|x|<1 D．∃x∈R, ＋1＝2 解析：选B.A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0<1，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题． 3．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　 ) A．∀x∈R，2x＋1>0 B．若2x为偶数，则x∈N C．菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解析：选C.A中命题是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；B中命题是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确；C中命题是全称量词命题，也是真命题，故C正确； D中命题是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确． 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 解析：选B.A是全称量词命题．B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．因为＋(－)＝0，所以C为假命题．对于任意一个负数x，都有<0，所以D为假命题． 5．(多选)下列命题中是存在量词命题的为(　　 ) A．有些自然数是偶数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．存在x∈R，使得|x|≤0 解析：选AD.选项A是存在量词命题；选项B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；选项C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；选项D是存在量词命题． 6．(多选)命题p：存在实数x∈R，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为(　　 ) A．{3，4，5} B．{x|x>2} C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6} 解析：选ACD.因为中位数为3，所以x≥3，因此选项A，C，D均满足要求． 7．给出下列三个命题： ①∀x∈R，x2＋1≠0； ②矩形都不是梯形； ③∃x，y∈R，x2＋y2≤1. 其中全称量词命题是________(填序号). 解析：②省略了量词“所有的”． 答案：①② 8．给出下列命题： (1)∀x∈R，x2>0； (2)∃x∈R，x＋1≤0； (3)∃a∈(∁RQ)，b∈(∁RQ)，使得a＋b∈Q. 其中真命题的个数为________． 解析：(1)当x＝0时，x2＝0，是假命题； (2)存在x＝－2，使得x＋1≤0，是真命题； (3)当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题． 答案：2 9．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，方程x2＋2x－a＝0无实根，∴Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 答案：{a|a<－1} 10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. 解：(1)是全称量词命题． 因为∀x∈N，2x＋1都是奇数， 所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题． 因为不存在x∈R，使＝0成立， 所以该命题是假命题． 【综合运用】 11．(多选)下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(　　 ) A．∃x∈R，|x|≤0 B．存在x∈R，使得x2＋x＋1＝0 C．至少有一个无理数x，使得x3是有理数 D．有的有理数没有倒数 解析：选ACD.对于A，命题是存在量词命题，所以∃x＝0，使|x|＝0，所以A是真命题，故A正确； 对于B，x2＋x＋1＝0，Δ＝－3<0，方程无解，所以B是假命题，故B错误； 对于C，命题是存在量词命题，∃x＝，使得()3＝3是有理数，所以C是真命题，故C正确； 对于D，有理数0没有倒数，故D正确． 12．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为________________． 13＋23＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2， 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2， …… 解析：根据已知等式可得，对于任意n∈N*且n≥2，总有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，所以得到如下全称量词命题：∀n∈N*且n≥2，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2. 答案：∀n∈N*且n≥2，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2 13．已知命题“∃－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x， ∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3， ∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤， 故实数a的取值范围是{a|0≤a≤}． 【创新探索】 14．(新定义)定义一种新的“数值对”运算：对于两个实数a，b，记(a，b)的运算结果为a※b＝a2＋ab. 已知x，y为实数，命题p：(x，y)运算结果为6，命题q：判断p是q的什么条件. 解：由p得：x2＋xy＝6，当x＝2，y＝1时成立，所以q⇒p；当x＝1，y＝5时x2＋xy＝6也成立．所以pq，可知p是q的必要不充分条件． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $