2.1 命题、定理、定义-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦命题、定理、定义核心知识点，系统梳理命题的定义（可判断真假的陈述句）、分类及“若p则q”结构，衔接定理与定义的概念。通过基点小试夯实基础，结合命题判断、结构改写、真假辨析等题型构建完整学习支架，帮助学生逐步掌握逻辑表达与推理方法。 资料通过“微点拨”“微思考”细化概念理解，题型设计注重逻辑推理与表达，如用反例法判断假命题培养数学思维，命题改写训练提升数学语言精确性。课中助力教师分层授课，课后分层练习（基础巩固与能力提升）帮助学生查漏补缺，有效落实核心素养。

2．1　命题、定理、定义 ► 对应学生用书P18 一、 命题的定义与分类 1．定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题． 2．命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”． 3．分类：命题 微点拨：要判断一个语句是不是命题，先看给出的句子是不是陈述句，再看能否判断其真假，也就是判断其是否成立，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题． 二、命题的结构及定理、定义 1．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 2．定理与定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理． 在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 微思考：下列命题的条件和结论分别是什么？ (1)若x2＝3，则x＝. (2)平行四边形的对角线互相平分． 提示：(1)条件：x2＝3，结论：x＝. (2)条件：四边形是平行四边形，结论：对角线互相平分． 【基点小试】 1．下列语句为命题的有________． ①x∈R，x>2；②22 025是一个很大的数；③4是集合{2，3，4}中的元素；④作△ABC≌△A′B′C′. 解析：①中x有范围，可以判断真假且是陈述句，因此是命题；②是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；③是陈述句且能判断真假，因此是命题；④是祈使句，不是命题． 答案：①③ 2．(1)把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p，则q”的形式为____________________________________． 答案：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等 (2)下列命题是真命题的是________(填序号). ①若a＝b，则a2＝b2；②若a2＝b2，则a＝b；③对顶角相等；④两直线平行，同旁内角互补． 答案：①③④ 3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形． 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题． (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 题型一　命题的判断 例1.下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号). ①这幅画真漂亮！ ②求证是无理数； ③并非所有的人都喜欢苹果； ④若x＝2，则x2－1>0. 解析：①是感叹句，不是命题． ②是祈使句，不是命题． ③是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题． ④是命题，x＝2时，x2－1＝3>0，可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题． 答案：③④　③④ [总结] 　判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题． 【练一练】 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)函数y＝x2－2x(x∈R)是二次函数； (2)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ (3)一个数不是奇数就是偶数； (4)2030年6月1日上海会下雨． 解：(1)是命题，满足二次函数的定义． (2)是疑问句，不是命题． (3)是命题，能判断真假且是陈述句． (4)不是命题，不能判断真假． 题型二　命题的构成 例2.(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_________________________________，q是__________________________________． 解析：命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”． 答案：一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧 (2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式． ①函数y＝2x＋1是一次函数； ②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； ③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 解：①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数． ②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2. ③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0. [总结] 　1.若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中． 2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论． 【练一练】 2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. 解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是真命题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题． (4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题． 题型三　命题的真假 角度1　命题真假的判断 例3.判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1<0； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (4)一个奇数是两个整数的平方差． 解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形． (2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0. (3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)·(x－7)＝0. (4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差． [总结] 　命题真假的判断方法 (1)真命题的判断方法 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． (2)假命题的判断方法 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 角度2　由命题的真假求参数的范围 例4.已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：法一　若A∩B＝∅是真命题，则a≤－3， ∴A∩B＝∅是假命题时，a>－3. 法二　若A∩B＝∅是假命题，则A∩B≠∅是真命题，即集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示： 易得a>－3. 答案：(－3，＋∞) [总结] 　由命题的真假求参数取值范围的基本步骤 第一步，明确命题的条件和结论； 第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件； 第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围． 注意：若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数的取值范围对应的补集． 【练一练】 3．判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； (2)若x∈N，则x3>x2成立； (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆． 解：(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立． (3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根． (4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． 4．若A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，则B⊆A成立是真命题，求实数a的值． 解：∵集合A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，B⊆A成立是真命题， ∴B＝∅或B＝{1}或B＝{2}， ∴a＝0或a＝1或a＝2. [课后分层练(六)]　命题、定理、定义 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．下列说法正确的是(　　) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题 解析：选D.命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以B错误；C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确． 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．所有质数都是奇数 B．若>，则a>b C．对任意的x∈N*，都有x2≥x成立 D．方程x2＋x＋2＝0有实根 解析：选BC.A错误，因为2是偶数也是质数；B正确；不论x取N*内的任何数，x2≥x恒成立，故C正确；D错误，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实根，故选BD. 3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平形四边形 解析：选C.把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确，故选C. 4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(　　) ①M中的元素都不是P的元素； ②M中有不属于P的元素； ③M中有属于P的元素； ④M中的元素不都是P的元素． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.①③错误；②④正确． 5．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　) A．4 B．2 C．0 D．－3 解析：选ABD.方程有实根时，应满足Δ＝a2－4≥0. 6．下列命题中真命题有(　　) ①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程； ②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B.①中，当m＝0时，不是一元二次方程；②中，函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点，②正确；③正确；④中，空集不是本身的真子集． 7．(多选)下列命题中是假命题的为(　　) A．面积相等的三角形是全等三角形 B．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0 C．若a>b，则a＋c>b＋c D．矩形的对角线互相垂直 解析：选ABD.A错误；B中，若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故B错误；C正确；D中，矩形的对角线不一定互相垂直． 8．命题“对顶角相等”中的条件为____________________，结论为______________． 答案：两个角是对顶角　它们相等 9．下列语句中是命题的有________(填序号)，其中是假命题是有________(填序号). ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边； ④求证方程x2＋x＋1＝0无实根． 解析：①是疑问句，不是命题； ②是假命题，0既不是正数也不是负数； ③是假命题，没有说明在同一个三角形内； ④是祈使句，不是命题． 答案：②③　②③ 10．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a>b时，有ac2>bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 解：(1)若a>b，则ac2>bc2，是假命题． (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题． (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题． 【能力提升题组】 11．能够说明“若a，b，c是实数，a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________________． 解析：如a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但不满足a＋b>c. 答案：－1，－2，－3(答案不唯一) 12．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：(1)X属于τ，∅属于τ；(2)τ中任意多个元素的并集属于τ；(3)τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的拓扑的是________(填序号). 解析：{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑；{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑；②④满足集合X上的拓扑的集合τ的定义，故答案为②④. 答案：②④ 13．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题． 解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4. 若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4. 故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”． 学科网（北京）股份有限公司 $