1.2 子集、全集、补集-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦集合的关系与运算核心知识点，系统梳理子集、真子集的定义及性质，延伸至全集、补集的概念，再到交集、并集的运算规则，构建从基础关系到综合运算的完整知识支架。 通过Venn图、数轴等直观工具培养数学眼光，结合例题解析与分层练习提升推理意识，课中辅助教师清晰授课，课后助力学生巩固基础、弥补盲点，发展用数学语言表达集合关系的能力。

1.2　子集、全集、补集 第一课时　子集、真子集 ► 对应学生用书P6 [课程标准]　1.理解集合之间包含与相等的含义．　2.能识别给定集合的子集．　3.能使用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 一、子集 1．子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 符号 表示 A⊆B(或B⊇A) 读法 集合A包含于集合B(或集合B包含集合A) 图示 2.子集的性质 ①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集． ②∅⊆A，即空集是任何集合的子集． ③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性． 3．集合相等 若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 微点拨：1.对子集概念的理解 不能简单认为“若A⊆B，则A是由B的部分元素构成的集合”．事实上，若A⊆B，有以下三种情况：①A为空集；②A是由B的部分元素构成的集合；③A是由B的全部元素构成的集合． 2．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C，即集合间的子集关系具有传递性． 二、真子集 1．概念 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A⫋B或B⫌A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”． 2．性质 ①∅是任一非空集合的真子集． ②若A⫋B，B⫋C，则A⫋C. 微点拨：元素与集合的关系是属于与不属于的关系，分别用符号“∈”“∉”表示；集合与集合之间的关系是包含、不包含、真包含、相等的关系，分别用符号“⊆”“⃘”“⫋”和“＝”表示．若A是B的真子集，则A也必然是B的子集，但此时用A⫋B表示更准确． 【基点小试】 1．已知集合A＝，B＝，且A⊆B，则a等于(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析：选B.因为A⊆B，所以a＋3＝1⇒a＝－2，经验证，满足题意． 2．(苏教版必修一P11练习T1改编)集合A＝{1, 2}的非空真子集是_________________． 解析：集合A＝{1，2}的所有非空子集是，. 答案：， 3．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是__________． 解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故B⫋A. 答案：B⫋A 题型一　集合间关系的判断 例1.(苏教版必修一P11习题T2改编)指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}． (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}． (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}． (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⫋B. (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形却不一定是等边三角形，故A⫋B. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⫋M. [总结] 　判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再判断得出集合之间的关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B； ②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A； ③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B； ④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系适合用数轴法． 【练一练】 1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N⫋M，其对应的Venn图如选项B所示． 2．指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|0<x<5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}； (4)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0，或x<0，y<0}； (5)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，B＝{x|x＝1＋(a－2)2，a∈N*}． 解：(1)集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故B⫋A. (2)∵A是偶数集，B是4的倍数集，∴B⫋A. (3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，在B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}，∴A＝B. (4)法一　由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B. 法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B. (5)对于任意x∈A，有x＝1＋a2，a∈N*，而B＝{x|x＝1＋(a－2)2，a∈N*}． ∵a∈N*，∴a＋2∈N*∴x∈B， 由子集的定义知，A⊆B. 设1∈B，此时a－2＝0，解得a＝2∈N*. ∵1＋a2＝1在a∈N*时无解，∴1∉A. 综上所述，A⫋B. 题型二　确定有限集合的子集、真子集及其个数 例2.(1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B.集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素为∅，含有1个元素有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集. (2)(苏教版必修一P21T10改编)满足{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个． 解析：由题意可得{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有五个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足题意的集合M共有7个． [总结] 　1.求集合子集、真子集个数的3个步骤 2．与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n； (2)A的真子集的个数为2n－1； (3)A的非空真子集的个数为2n－2. 【练一练】 3．集合的非空真子集的个数为(　　) A．31 B．30 C．15 D．14 解析：选D.由题意得集合{x∈N|－4<x－1<4，x≠1}＝{0，2，3，4}，则该集合的非空真子集个数为24－2＝14. 4．(多选)以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}的集合A有(　　) A．{0，2，4} B．{0，1，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4} 解析：选AC.由题意可知，集合A包含集合{0，2，4}，同时又是集合{0，1，2，3，4}的真子集，则所有符合条件的集合A有{0，2，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}．选项BD均不符合要求．故选AC. 题型三　由集合间的关系求参数值(或范围) 例3.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⫋A，求实数m的取值范围． 解：①当B≠∅时，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. ②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． 【母题探究】　1.(变条件)在本例条件下，若B⊆A，求实数m的取值范围． 解：当B＝∅时，m＋1>2m－1，即m<2. 当B≠∅时， 解得即2≤m≤3. 综上可知，m的取值范围为{m|m≤3}． 2．(变条件)在本例条件下，若A⫋B，求实数m的取值范围． 解：∵A⫋B.∴或 即或 ∴m∈∅，即不存在m使A⫋B. [总结] 　利用集合间的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集． 一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到． 【练一练】 5．(苏教版必修一P21T14改编)若集合A＝，B＝，且A⊆B，则a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a<2 C．1<a<2 D．a≤2 解析：选D.若a≥2a－1，即a≤1时，A＝∅，满足A⊆B， 若A≠∅，则a>1，因为A⊆B，所以，解得1≤a≤2，所以1<a≤2， 综上，a的取值范围是a≤2. 6．已知A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． (1)若A是B的子集，求实数a的值； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围． 解：(1)由题得A＝.若A是B的子集，则B＝A＝， 所以∴a＝1. (2)若B是A的子集，则B⊆A. ①若B为空集，则Δ＝4(a＋1)2－4＝8a＋8<0，解得a<－1； ②若B为单元素集合，则Δ＝4(a＋1)2－4＝8a＋8＝0，解得a＝－1. 将a＝－1代入方程x2＋2x＋a2－1＝0， 得x2＝0，即x＝0，B＝，符合要求； ③若B为双元素集合，B＝A＝，则a＝1. 综上所述，a≤－1或a＝1. [课后分层练(三)]　子集、真子集 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．下列关系中错误的是(　　) A．∅⊆ B．⊆ C．∈ D．⫋ 解析：选C.因为∅⊆A，A⊆A，{2，3}⫋{1，2，3}，所以选项A，B，D都正确； C选项，集合与集合的关系不能用属于符号，所以C错误． 2．已知集合A＝，则A真子集的个数为(　　) A.3 B．4 C．6 D．7 解析：选A.由题设，A＝{x|－<x<，x∈N}＝{0，1}，∴A的真子集共有22－1＝3个． 3．若集合A＝，集合B＝{y|y＝，k∈Z}，则(　　) A．A＝B B．A⫋B C．B⫋A D．A∪B＝Z 解析：选B.k∈Z时，2k－1为奇数，k＋2为整数，所以集合A是集合B的真子集，即选项B正确． 4．已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝，若A＝B，则实数a的值为(　　) A．0 B．－ C．2 D．5 解析：选C.因为B＝，且A＝B，所以当x＝2时，2a＋1＝5，解得a＝2.故选C. 5．下列选项中正确的有(　　) A．{质数}⊆{奇数} B．集合{1，2，3}与集合{4，5，6}没有相同的子集 C．空集是任何集合的真子集 D．若A⊆B，B⊆C，则A⊆C 解析：选D.对于A, 2是质数，但是它不是奇数，所以{质数}⊆{奇数}错误，所以该选项错误； 对于B, 集合{1，2，3}与集合{4，5，6}有相同的子集∅，所以该选项错误； 对于C，空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误； 对于D，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，所以该选项正确． 6．(多选)已知集合A＝，B＝{4，}，若B⊆A，则实数a的值可能是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选ABC.因为B⊆A，所以4∈A，∈A，则解得a≤1. 故选ABC. 7．若集合A＝，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，C＝，则A、B、C的关系是(　　) A．C⊆A＝B B．A⊆C⊆B C．A＝B⊆C D．B⊆A⊆C 解析：选A.由已知可得，集合A、B为奇数集，则A＝B， ∵C＝⊆B，故C⊆A＝B. 8．若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面(朝上)”与“反面(朝上)”，分别记为H、T，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为Ω＝，则与事件“一个正面(朝上)一个反面(朝上)”对应的样本空间的子集为______． 解析：与事件“一个正面(朝上)一个反面(朝上)”对应的样本空间为， 此空间的子集为∅，{HT}，{TH}，{HT，TH}． 答案：∅，{HT}，{TH}，{HT，TH} 9．设A＝，B＝，若A⊆B，则a的取值范围是_____． 解析：根据题意作图： 由图可知，A⊆B，则只要a≤－1即可，即a的取值范围是. 答案： 10．满足条件：{a}⫋M⊆的集合M的个数为______． 解析：由{a}⫋M⊆可知，M中必含有元素a，且含有b，c，d中的至少一个． 在b，c，d中取1个元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故满足条件的集合M有7个． 答案：7 11．已知集合A＝，B＝，若A⊆B，求实数p的取值范围． 解：由A＝，B＝可知， ①当p＋2＝0，即p＝－2时，A＝∅⊆B，满足题意． ②当p＋2≠0，即p≠－2时，由A⊆B得，x＝－<0，p>－2. 综上可得，实数p的取值范围为. 【能力提升题组】 12．设集合A＝，B＝{x|n－≤x≤n}，且A，B都是集合的子集，如果把b－a叫作集合的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是___________． 解析：由题可知，A的长度为，B的长度为， A，B都是集合{x|0≤x≤1}的子集， 当A∩B的长度最小时，m与n应分别在区间的左右两端， 即m＝0，n＝1，则A＝，B＝， 故此时A∩B＝的长度的最小值是：－＝. 答案： 13．当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”．对于集合A＝，B＝，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为___________． 解析：(1)当A与B构成“全食”，即B⊆A时， ①当a＝0时，B＝∅； ②当a≠0时，B＝， 又∵B⊆A，∴a＝－4； (2)当A与B构成“偏食”时，A∩B≠∅且B⃘A，∴a＝－1. 故a的取值为0，－1，－4. 答案： 14．已知M＝，N＝{x|x2＋ax＋1＝0}，且N⫋M，求实数a的取值范围． 解：由题意，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}＝. 当N＝∅时，即Δ＝a2－4<0，解得－2<a<2，此时满足N⫋M， 当N≠∅时，要使得N⫋M，则－1∈N或3∈N， 当－1∈N时，可得(－1)2－a＋1＝0，即a＝2，此时N＝{－1}，满足N⫋M； 当3∈N时，可得32＋3a＋1＝0，即a＝－，此时N＝{3，}，不满足N⫋M， 综上可知，实数a的取值范围为{a|－2<a≤2}． 15．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B⫋A，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． 解：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B. 又B⫋A，∴a－1＝1，即a＝2. ∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当C＝{1，2}时，b＝3； 当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去； 当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2<b<2. 综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求． 第二课时　全集、补集 　　　　 ► 对应学生用书P10 [课程标准]　1.理解全集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义．　2.能求给定子集的补集． 1．补集 (1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”). (2)符号表示 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}． (3)图形表示 (4)补集的性质 ①∁S∅＝S； ②∁SS＝∅； ③∁S(∁SA)＝A． 2．全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 微点拨： 符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 【基点小试】 1．(苏教版必修一P11问题T4(2)改编)已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　　) A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{3，4} 解析：选C.因为U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，所以∁UA＝. 2．已知U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是等边三角形}，则∁UA＝_________________________． 解析：因为U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是等边三角形}，所以∁UA＝是非等边三角形}． 答案：是非等边三角形} 题型一　补集的运算 例1.(1)已知全集U＝N(N是自然数集)，集合A＝{4－x<1，x∈Z}，则∁UA＝(　　) A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2} (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________． 解析：(1)由题得集合A＝{x>3，x∈Z}，根据补集定义得∁UA＝{0，1，2，3}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． 答案：(1)A　(2){x|x<－3或x＝5} [总结]　求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需要注意端点的问题． 【练一练】 1．(苏教版必修一P21T5改编)已知集合A＝，B＝，则∁AB为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.∵A＝，B＝，结合数轴，可得∁AB＝{x|－1≤x≤0}． 2．设全集U＝，集合A＝，则∁UA＝______． 解析：根据题意，集合U＝，又 ∵A＝， ∴∁UA＝＝. 答案： 题型二　与补集有关的参数值的求解 例2.设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且B⊆A，求实数m的取值范围． 解：由B⊆A， 又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2. [总结] 　由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解． (2)如果所给集合是无限集，与补集运算有关，在求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 【练一练】 3．设全集U＝，A＝，∁UA＝，则a＝____________． 解析：因为U＝，A＝，所以∁UA＝， 因为∁UA＝，所以a2＋2a－3＝5，解得a＝2或－4，经检验，均符合要求． 答案：2或－4 4．已知集合A＝，B＝x≤1或，若a>0，集合U为实数集且A⊆＝A，求实数a的取值范围． 解：A＝(a>0)， B＝x≤1或，则∁UB＝. 由A⊆， ∴解得0<a<1. 所以0<a<1. 培优拓展系列(一)·容斥定律 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补．如果用card表示有限集中元素的个数，即card(A)表示有限集A的元素个数．则有如下结论： (1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)； (2)card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C). 这一结论，在计数上称为容斥原理． 例3.某市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的情况，抽样调查了500位市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人(假定只有这两种报纸).试问： (1)只订日报不订晚报的有多少人？ (2)只订晚报不订日报的有多少人？ (3)至少订一种报纸的有多少人？ 解：由题意可得，订阅日报记为集合A，订阅晚报的记为集合B，则card(A)＝334，card(B)＝297. 用Venn图表示，如图所示． (1)A∩∁IB＝{x|x是只订日报不订晚报的人}，则card(A∩∁IB)＝334－150＝184. (2)B∩∁IA＝{x|x是只订晚报不订日报的人}，则card(B∩∁IA)＝297－150＝147. (3)A∪B＝{x|x是至少订一种报纸的人}，则card(A∪B)＝334＋297－150＝481. 【练一练】 5．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． 解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图， 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36， 解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． 答案：8 [课后分层练(四)]　全集、补集 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．设集合U＝{蓝色，红色，白色，紫色}，A＝{红色，蓝色，白色}，则∁UA＝(　　) A．{红色，白色} B．{红色，蓝色} C.{紫色} D．{蓝色，红色，白色，紫色} 解析：选C.因为A＝，所以∁UA＝. 2．设U＝R，集合A＝，则∁UA＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.∵U＝R，集合A＝，∴∁UA＝. 3．已知全集U＝{x∈Z|0<x≤8}，集合A＝{x∈Z|2<x<m}(2<m<8)，若∁UA的元素的个数为4，则m的取值范围为(　　) A．(6，7] B．[6，7) C．[6，7] D．(6，7) 解析：选A.若∁UA的元素的个数为4，则∁UA＝，∴6<m≤7. 4．设全集U＝，集合A＝，∁UA＝，则a的取值为(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 解析：选C.∵A∪＝U，∴a2＝1且a＋3＝2，∴a＝－1. 5．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UA＝，则A＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为U＝{1，2，3，4，5}，∁UA＝{1，2}，则A＝{3，4，5}． 6．设全集U＝，集合M＝，M⊆U，∁UM＝，则实数a的值是__________． 解析：因为U＝，M⊆U，∁UM＝，所以M＝，又M＝， 所以＝3，所以a＝8或2. 答案：8或2 7．已知U＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，则∁UA＝_______________． 解析：至少有一组对边平行的四边形，指有一组对边平行的四边形或两组对边平行的四边形，平行四边形是指两组对边分别平行的四边形，所以只有一组对边平行的四边形是梯形． 答案：{x|x是梯形} 8．已知集合A＝，B＝ . (1)若a－1∈A，求实数a的取值范围； (2)求∁RB. 解：(1)集合A＝，∵a－1∈A， ∴a－1≥－2，解得a≥－1. (2)因为B＝，所以∁RB＝或. 【能力提升题组】 9．已知U＝R，∁UA＝{x|x≤0，或x>1}，则A＝________． 解析：因为U＝R，∁UA＝{x|x≤0，或x>1}，所以A＝{x|0<x≤1}． 答案：{x|0<x≤1} 10．已知U＝R，A＝{x|x>2}，B＝{x|－1≤x≤1}，则B________∁UA(填∈，∉，⊆，⫋). 解析：因为∁UA＝{x|x≤2}，∴B⫋∁UA. 答案：⫋ 11．设m为实数，若U＝R，A＝{x||x|<2}，B＝{x|x>m}．当∁UA⊇B时，求m的取值范围． 解： 由题意得A＝{x|－2<x<2}，∁UA＝{x|x≤－2或x≥2}． 借助数轴得m≥2. 1.3　交集、并集 ► 对应学生用书P12 [课程标准]　1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．　2.能使用Venn图表示集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 一、交集 1．交集的概念 (1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”). (2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (3)Venn图 2．交集的性质 ①A∩B＝B∩A；②A∩B⊆A；③A∩B⊆B；④A∩A＝A；⑤A∩∅＝∅；⑥A∩∁UA＝∅；⑦A∩U＝A(其中U为全集). 二、并集 1．并集的概念 (1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”). (2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)Venn图 2．并集的性质 ①A∪B＝B∪A；②A⊆A∪B；③B⊆A∪B；④A∪A＝A；⑤A∪∅＝A；⑥A∪∁UA＝U；⑦A∪U＝U(其中U为全集). 微点拨：“或”的数学含义：并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同，生活中的“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定互相排斥．“x∈A，或x∈B”包括三种情况，如图所示． 三、区间及有关概念 1．一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右 开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 微点拨：(1)区间是数集的另一种表示方法，但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)区间的左端点必须小于右端点． (3)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 【基点小试】 1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝(　　) A．{2，4，6，8} B．{2，4，6} C．{0，1，2，3，4，5，6，8} D．{2，4} 解析：选B.由交集定义可得A∩B＝{2，4，6}． 2．(苏教版必修一P15习题T3改编)已知A＝(0，1]，B＝[－1，0]，则A∪B＝(　　) A．(－1，1) B．[－1，1) C．(－1，1] D．[－1，1] 解析：选D.∵A＝(0，1]，B＝[－1，0]，∴A∪B＝[－1，1] 3．(2021·北京高考)已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－1<x≤2} C．{x|0≤x<1} D．{x|0≤x≤2} 解析：选B.由题意可得A∪B＝{x|－1<x≤2}． 4．用区间表示下列集合： (1){x|10≤x≤100}用区间表示为________； (2){x|x>1}用区间表示为________； (3)若集合A＝[2a－1，a＋2]，则实数a的取值范围用区间表示为__________． 解析：结合区间的定义可知(1)为[10，100]，(2)为(1，＋∞).(3)由区间的定义知，区间(a，b)(或[a，b])成立的条件是a<b.∵A＝[2a－1，a＋2]，∴2a－1<a＋2，∴a<3， ∴实数a的取值范围是(－∞，3). 答案：(1)[10，100]　(2)(1，＋∞) (3)(－∞，3) 题型一　集合的交集运算 例1.(1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1，4} 解析：选C.A∩B＝{0，1}. (2)(2025·宿迁高一期末)已知集合A＝{x|x为不大于6的正奇数}，B＝{x|－1<x<4}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{1，3} C．{3，5} D．{1，3，5} 解析：选B.A＝{x|x为不大于6的正奇数}＝{1，3，5}，B＝{x|－1<x<4}，则A∩B＝{1，3}. (3)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选B.由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝. 因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以有－＝1，解得a＝－2. [总结]　解决集合交集运算问题的方法 (1)对于元素个数有限的集合，可逐个挑出两个集合的相同元素，但要注意集合中元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，可借助数轴求交集，两集合的交集对应的是表示两集合的相应图形所覆盖的公共区域． 【练一练】 1．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　) A．∅ B．S C．T D．Z 解析：选C.当n＝2k，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋1，k∈Z}＝T；当n＝2k＋1，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋3，k∈Z}，得T⫋S，故S∩T＝T. 2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(1，1)，(1，－1)，(2，2)}，则A∩B＝(　　) A．{(1，1)} B．{(1，－1)} C．{(－1，1)} D．{1，－1} 解析：选B.因集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(1，1)，(1，－1)，(2，2)}，所以A∩B＝{(1，－1)}． 题型二　集合的并集运算 例2.(1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{－1<x<2，x∈Z}，则A∪B＝(　　) A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} 解析：选C.因为B＝{－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，A＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}． (2)已知集合A＝{2≤x<4}，B＝{3x－7≥8－2x}，则A∪B＝(　　) A．{x|2≤x≤3} B．{x|x≥2} C．{x|3≤x<4} D．{x|x>4} 解析：选B.由3x－7≥8－2x，解得x≥3，故B＝{x≥3}，画出数轴，如图所示．数形结合可得A∪B＝[2，＋∞). (3)设集合A＝{x|0<x<4，x∈N}，B＝，则A∪B＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意，A＝{x|0<x<4，x∈N}＝{1，2，3}，由并集的定义，得A∪B＝. (4)集合A＝{0，－1，a2}，B＝{－2，a4}．若A∪B＝{－2，－1，0，4，16}，则a＝(　　) A．±1 B．±2 C．±3 D．±4 解析：选B.由A∪B＝{－2，－1，0，4，16}知，解得a＝±2. [总结] 　解决集合并集运算问题常见的方法 方法 适用情况 注意点 定义法 若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解 要注意满足集合中元素的互异性 数形 结合法 若集合是用描述法表示的实数集，则可以借助数轴数形结合求解 要注意集合的端点是否取到 【练一练】 3．设集合M＝{x}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{1} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} 解析：选D.M＝{x}＝{x|x＝0}＝{－2，0}， N＝{x|x2＝2x＝0，x∈R}＝{x|x(x－2)＝0，x∈R}＝{0，2}，所以M∪N＝{－2，0，2}． 4．设集合A＝{x}，B＝{x|2≤x≤a}，若A∪B＝{x|1<x≤4}，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.因为集合A＝{x}，B＝{x}，且A∪B＝{x}， 所以a＝4. 题型三　集合交、并运算的性质及其应用 例3.已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． [思路点拨]　―→ 解：∵A∪B＝A， ∴B⊆A， ①当B＝∅时，k＋1>2k－1， ∴k<2. ②当B≠∅，则根据题意在数轴上表示出集合A，B，如图所示： 根据数轴可得解得2≤k≤. 综合①②可得k的取值范围为. 【母题探究】　(1)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围． 解：由A∩B＝A可知A⊆B. 所以即所以k∈∅. 所以k的取值范围为∅. (2)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值． 解：由题意可知解得k＝3. 所以k的值为3. [总结] 　利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 (1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等条件，解答时可借助交集、并集的定义及已知集合间的关系转化为集合间的关系求解． (2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解. 【练一练】 5．(苏教版必修一P21T9)若非空且互不相等的集合M，N，P满足：M∩N＝M，N∪P＝P，则M∪P＝(　　) A．M B．N C．P D．∅ 解析：选C.∵M∩N＝M，∴M⊆N，∵N∪P＝P，∴N⊆P，∴M⊆P，∴M∪P＝P. 6．已知集合A＝{－1，2}，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，则所有符合条件的实数m组成的集合是(　　) A． B．{－1，0，2} C．{－1，2} D． 解析：选D.A∩B＝B等价于B⊆A. 当m＝0时，B＝∅，此时B⊆A，符合题意； 当m≠0时，B＝，因为B⊆A，故＝－1或＝2，即m＝－1或m＝. 综上可知，实数m组成的集合是. [课后分层练(五)]　交集、并集 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C＝(　　) A．{0} B．{0，1，3，5} C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4} 解析：选C.∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}， ∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}． 2．已知集合A＝{－2，0}，B＝{x2－2x＝0}，则以下结论正确的是(　　) A．A＝B B．A∩B＝{0} C．A∪B＝A D．A⊆B 解析：选B.由题得B＝{0，2}, 所以A≠B，A∩B＝{0}，A∪B≠A，A不是B的子集． 3．(多选)已知集合M＝{1，4，x}，N＝{2，3}，若M∪N＝{1，2，3，4}，则x的可能取值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选BC.由题意，集合M＝{1，4，x}，N＝{2，3}，且M∪N＝{1，2，3，4} 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得x＝2或x＝3. 4．设集合A＝{x}，B＝{x}，若A∩B＝{x}，则a＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选C.A＝{x}，B＝{x}＝{x}． ∵A∩B＝{x}，∴－＝－1，解得a＝2. 5．设全集U＝Z，集合A＝{x|1≤x<7，x∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{1，2，3，4，5，6} B．{1，3，5} C．{2，4，6} D．∅ 解析：选C.因为U＝Z，所以∁UB＝{x|x＝2k，k∈Z}，而A＝{x|1≤x<7，x∈Z}＝， 即有A∩(∁UB)＝{2，4，6}． 6．(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A．A∩B＝ B．A∩B＝∅ C．A∪B＝{x<2} D．A∪B＝R 解析：选AC.B＝{x|3－2x>0}＝{x|x<}， 所以A∩B＝，A∪B＝{x<2}． 7．A＝{x∈N}，B＝{x∈R}，则图中阴影部分表示的集合为______． 解析：图中阴影部分表示的是集合A∩B， A＝{x∈N}，B＝{x∈R}＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}． 答案：{2} 8．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，3}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝_______. 解析：由于A∩B＝{1}，所以a＝1，所以A∪B＝{1，2，3}． 答案：{1，2，3} 9．A＝{x}，B＝{x|x2＋bx－5＝0}，A∩B＝{1}，C＝{2，－3，－5}． (1)求a，b的值； (2)求∩C. 解：(1)由A∩B＝{1}，可知1∈A，1∈B， 则有解之得 则A＝{x}＝{x }＝{1，－3}， B＝{x}＝{x} ＝{1，－5}， 此时A∩B＝{1，－3}∩{1，－5}＝{1}，符合题意．故有 (2)由(1)可知A∪B＝{1，－3}∪{1，－5}＝{－5，－3，1}， 故∩C＝{－5，－3，1}∩{－5，－3，2}＝{－5，－3}． 【能力提升题组】 10．已知全集U＝，集合A＝{(x，y)|2x－3y－1＝0}，B＝，则A∩＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由题可知，集合B中的元素表示直线2x－3y－1＝0上除点外的点， 因此∁UB中的元素表示直线2x－3y－1＝0以外的点及点，所以A∩＝. 11．已知集合S＝{s}，T＝{t|t＝＋，n∈Z}，则S∩T＝(　　) A．∅ B．S C．T D．Z 解析：选B.由题意，S＝{s|s＝n＋，n∈Z}＝，T＝{t|t＝，n∈Z}．因为n∈Z时，6n＋5表示被6除余5的整数，2＋1表示奇数，所以S⊆T，S∩T＝S. 12．(多选)某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则(　　) A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B．只参加跑步比赛的人数为26 C．只参加拔河比赛的人数为16 D．只参加篮球比赛的人数为22 解析：选BCD.设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58＋38＋52－18－16－x＋12＝120－20，得x＝26，则只参加跑步比赛的人数为58－18－26＋12＝26，只参加拔河比赛的人数为38－16－18＋12＝16，只参加篮球比赛的人数为52－16－26＋12＝22. 13．(多选)下列命题中，当U为全集时，下列说法正确的是(　　) A．若A∩B＝∅，则∪＝U B．若A∩B＝∅，则A＝∅或B＝∅ C．若A∪B＝U，则∩＝∅ D．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅ 解析：选ACD.若A∩B＝∅，则∪＝U，A正确； 取A＝，B＝，满足A∩B＝∅，但A≠∅且B≠∅，B错误； 若A∪B＝U，则∩＝∅，C正确； 若A∪B＝∅，则A＝B＝∅，D正确． 故选ACD. 14．在①A∩B＝A；②A∪B＝B；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题：已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}． (1)当a＝2时，求A∪B； (2)若选________，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|－1≤x≤3}， 所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}； (2)选择①，因为A∩B＝A，所以A⊆B， 因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅，又因为B＝{x|－1≤x≤3}， 所以解得0≤a≤2， 因此实数a的取值范围是0≤a≤2. 选择②，因为A∪B＝B，所以A⊆B. 下同①. 选择③，因为A∩B＝∅， 而A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，且不为空集，B＝{x|－1≤x≤3}， 所以a－1>3或a＋1<－1，解得a>4或a<－2， 所以实数a的取值范围是a>4或a<－2. 学科网（北京）股份有限公司 $