精品解析：上海市青浦区第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

上海市青浦区第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 （时间：90分钟，满分：100分） 2025.12 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 3.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，则___________ 2. 将化为有理数指数幂的形式为______. 3. 若，则=__________. 4. 已知，用表示____________. 5. 已知幂函数的图象过点，则______. 6. 设，为正数，且，则最小值是__. 7. 已知，则函数的最大值为_________. 8. 已知，关于的不等式的解集为，则=________.(用表示) 9. 若，则的最小值为___________. 10. 已知在上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是______． 11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________． 12. 函数在区间上的最大值为，最小值为，则_________. 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分. 13. 已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 已知，设，则与的值的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 15. 若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（ ） A. 1.25 B. 1.375 C. 1.41 D. 1.5 16. 已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 设全集为，集合，集合 （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数的表达式. （1）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由 （2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由 19. 已知函数，其中，记 ，且函数是偶函数. （1）求函数的表达式： （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 20. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. （1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 已知定义在R上的函数的表达式为. （1）证明为奇函数； （2）判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市青浦区第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 （时间：90分钟，满分：100分） 2025.12 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 3.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的定义进行求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 将化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用根式与指数幂的互化、指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 3. 若，则=__________. 【答案】2 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，由此求得. 【详解】由于，所以. 故答案为： 4. 已知，用表示____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 故答案为： 5. 已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得解析式，代入可得结果. 【详解】为幂函数，可设，，解得：， ，. 故答案为：. 【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题. 6. 设，为正数，且，则最小值是__. 【答案】2 【解析】 【分析】将变形为，利用基本不等式，即可得出答案. 【详解】 当且仅当时取等号 则最小值是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题. 7. 已知，则函数的最大值为_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据重要不等式，当且仅当时等号成立，得到，当且仅当时等号成立，代入即可求得函数的最大值. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为4. 故答案为：4 8. 已知，关于的不等式的解集为，则=________.(用表示) 【答案】 【解析】 【分析】由条件，可知，3是一元二次方程的两个解，利用韦达定理列方程组求出，再求出． 【详解】因为，关于的不等式的解集为， 所以且，3是一元二次方程的两个根， 由韦达定理得到，即，所以， 故答案为：. 9. 若，则的最小值为___________. 【答案】7 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 10. 已知在上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数、一次函数的单调性，再由复合函数的单调性建立不等式求解即可. 【详解】因为在上是关于x的减函数， 而是增函数， 所以由复合函数单调性可知，为上的减函数， 故，解得. 故答案为： 11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解. 【详解】当时，在上单调递增， 所以时，； 当时，， ①若，则在上单调递增，在上单调递减， 则时，，即时，， 又时，， 此时，函数的值域为，不满足题意，舍去； ②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去； ③当时，在上单调递减， 则时，，即时，， 因为函数的值域为， 又时，； 则时，且， 不等式解得：， 不等式等价于时，， 设（）， 因为在上单调递增，在上是增函数， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 则不等式解得：， 所以时，的解集为， 综上：实数的取值范围是， 故答案为：. 12. 函数在区间上的最大值为，最小值为，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】变形给定函数，构造函数并探讨其奇偶性，再借助函数性质求解即得. 【详解】函数，令， 当时，，则函数是奇函数， 显然，，而， 所以. 故答案为：2 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分. 13. 已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别判断充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性： 因为:整数能被2整除，所以设此数为， 则不一定为整数，即不一定能被6整除，故充分性不成立； 必要性： 因为：整数能被6整除，所以设此数为， 则一定为整数，即一定能被2整除，故必要性成立. 综上所述，是的必要非充分条件. 故选：B 14. 已知，设，则与的值的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 15. 若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（ ） A. 1.25 B. 1.375 C. 1.41 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 16. 已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的应用寻找方程成立的条件，再利用数形结合求解参数即可. 【详解】若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解， 则必有且同时成立，即图象夹在和之间， 易知，函数的图象大致如图， 结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为， 所以，且， 解得， 故选：B 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 设全集为，集合，集合 （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解出分式不等式、绝对值不等式的解集为集合，再根据交集运算求解出； （2）先表示出集合，然后根据列出关于的不等式组，由此求解出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又因为，且即， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数的表达式. （1）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由 （2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由 【答案】（1）在单调递减，理由如下： 任取，且， 则， 因为，，所以， 所以，所以在单调递减 （2）存在实数满足题意， 【解析】 【分析】（1）利用定义法判断函数单调性即可； （2）根据奇函数定义直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在实数，使得函数是奇函数，理由如下： 定义域关于原点对称， 由， 则， 则，即存在实数满足题意， 19. 已知函数，其中，记 ，且函数是偶函数. （1）求函数的表达式： （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性求出参数，即可求出函数解析式； （2）不等式在区间上恒成立，令，转化为在上恒成立，直接求在上的最大值即可. 【小问1详解】 由题知， ， 因为是偶函数，只需，故， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 令，则在区间上恒成立， 看作在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 显然，所以在上恒成立， 因为，所以， 则在上的最大值为时，且为， 所以. 20. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. （1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果； （2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时,， 所以. 【小问2详解】 当时，, ∴当时，， 当时, , 当且仅当，即时，， 因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 21. 已知定义在R上的函数的表达式为. （1）证明为奇函数； （2）判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 【答案】（1）证明： 由题定义域为R，关于原点对称，任意的 ，所以为奇函数； （2）函数在R上是增函数；； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性和奇偶性将函数不等式转化成不等式存在性问题，参变分离转换成最值问题，求出函数最值即可得出答案； （3）将零点问题转换成方程解的个数问题，换元，进一步转成一元二次方程根的分布问题. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 函数在R上是增函数； 所以， 即， 所以原问题转化为存在，使成立， 令，， 对称轴为，且开口向上，所以， 所以； 【小问3详解】 令， 即， 令，得， 所以原问题转化成关于的方程存在两个不同的正数解， ， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $