圆：弧长与扇形面积的计算、扇形与圆锥的计算、阴影面积的计算、正多边形与圆讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习讲义围绕“圆”主题，通过考点目录表格系统构建知识体系，涵盖弧长与扇形面积、扇形与圆锥、阴影面积、正多边形与圆四大模块。知识点解析按“公式梳理-解题步骤”分层呈现，如弧长计算明确“已知条件-公式选择-代入计算”流程，用框架图呈现圆锥母线与扇形半径的转化关系，帮助学生用数学眼光把握空间形式与数量关系的内在联系。 讲义亮点在于“情境化例题+分层变式”的练习设计，如茶壶提梁弧长计算、斗笠圆锥侧面积等实际问题，引导学生用数学思维分析问题。阴影面积计算总结“分割-补形”策略，例题结合正多边形与圆的综合应用，培养推理意识与运算能力。基础题夯实公式应用，综合题提升解题技巧，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

圆：弧长与扇形面积的计算、扇形与圆锥的计算、阴影面积的计算、正多边形与圆讲义 圆：弧长与扇形面积的计算、扇形与圆锥的计算、阴影面积的计算、正多边形与圆 讲义 考点目录 弧长与扇形面积的计算 扇形与圆锥的计算 阴影面积的计算 正多边形与圆 考点一 弧长与扇形面积的计算 【知识点解析】 1. 已知扇形的半径为,圆心角为. （1）扇形的弧长； （2）扇形的面积. 2.解题步骤 （1）明确已知条件（、、、其中两个）； （2）选择对应公式； （3）代入计算； （4）检查单位和结果合理性. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 例2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，直径为，， ∴， ∴的长为：， 故选：D． 例3．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 例4．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm． 【答案】 【详解】解：设扇形纸板的半径为， 扇形的圆心角为，圆锥的底面半径是， 根据圆锥底面周长等于扇形弧长可得，， 解得，． 答：这个扇形纸板的半径是． 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）以圆为弧的扇形所对的圆心角是 度． 【答案】 【详解】解：设圆心角度数为， ∵，， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆心角度数为 根据 ， 可得：， 整理可得：， 化简得：， 两边乘以 可得：， ， 扇形的圆心角度数为 ． 故选：B． 变式2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 变式3．（25-26九年级上·北京·月考）若扇形的圆心角为，半径为8，则它的弧长为 ． 【答案】 【详解】解：∵扇形的圆心角为，半径为8， ∴它的弧长为：． 故答案为 ． 变式4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，四边形内接于，连接、，若的半径为3，，则的长为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， ∴的长， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知一个半径为的扇形的圆心角为，则此扇形的弧长为 ． 【答案】 【详解】解：由弧长公式， 代入，，得， 故答案为：． 考点二 扇形与圆锥的计算 【知识点解析】 1. 扇形与圆锥的关系 （1）扇形两条半径重叠可以将扇形折叠形成一个圆锥； （2）圆锥的顶点与底面圆上任意一点的连线为圆锥的母线； （3）由折叠的对应关系可知：扇形的半径长等价于圆锥的母线长； （4）由折叠的对应关系可知：扇形的弧长等价于圆锥的底面圆形的周长； （5）圆锥的全面积侧面展开图面积底面圆形面积，计算时需主题题目所求的全面积还是侧面展开图面积. 2. 圆锥的体积 （1）； （2）为底面圆形面积，为圆锥的高（顶点与底面圆心的连线）； （3）圆锥的高、底面半径与母线长构成直角三角形，计算时可利用勾股定理进行转换. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·云南·月考）用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面， ∴该圆锥的侧面积为， 故选：． 例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【详解】解：扇形的弧长为：， ∴将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面周长为， ∴底面半径为：． 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是 ． 【答案】12 【详解】解：设圆锥的母线长为，则扇形的弧长为 ． 圆锥的底面周长为． 根据弧长相等，得， 解得． 故答案为：12． 例5．（25-26九年级上·北京·期中）一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是 ． 【答案】/2厘米 【详解】解：已知圆锥的侧面积，母线长， ∵， ∴， 解得：， 故底面半径为， 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·江苏南京·期中）用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】10 【详解】解：∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=． 故答案是：10． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵圆锥的底面半径为4，母线长为6， ∴,，且 ∴， 即它的侧面展开图的面积是， 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】C 【详解】解：∵母线，圆锥的侧面积为， ∴， 解得． 故选：C． 变式4．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．    【答案】 【详解】解：∵扇形的弧长是， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥底面圆的半径是， ∴，解得： ∴圆锥的高是 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为． 考点三 阴影面积的计算 【知识点解析】 策略一：将阴影面积分割为多个规则的小图形，分别算出各个规则的小图形的面积之后，累加的所求阴影面积； 策略二：将阴影面积补成一个规则的大图形与若干个规则的小图形，利用大图形减去小面积得所求阴影面积. 【例题分析】 例1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵阴影部分的周长， ∴阴影部分的周长． 故选：A． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，矩形中，，．以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接交于点，如图， 以为直径的半圆与相切于点， ， ， 四边形为矩形， ，， 四边形和四边形为矩形， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 例4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴弧的长为，，， ∴ ． 故答案为：； 例5．（2025·天津·二模）如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴ 故答案为：． 例6．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，已知圆O的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 六边形是内接正六边形， ，，， ， ， 故答案为：． 例7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ． 又∵， ， 平分； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ， ； （3）解：如图，连接． 由（2）知． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为 例8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解． (2)． 【详解】（1） 证明：如图连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，扇形的半径是1，以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可知：，， ， 阴影部分的面积 ， 故选：． 变式3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，   ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ， ． 故选：C． 变式4．（25-26八年级上·重庆·期中）半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【详解】解：，且， . ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为 故答案为： 变式5．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵点O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 变式6．（2024·广东清远·一模）如图，矩形中，，以为直径的半圆与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】π 【详解】解：连接交于点，如图， 以为直径的半圆与相切于点， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形和四边形为矩形， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为π． 变式7．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，四边形内接于，是的直径，平分，作并交的延长线于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)已知的半径为1，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由：连接，   平分， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是的半径， 与相切； （2）解：连接，，作并交于点F，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积． 变式8．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外，． (1)请说明是的切线； (2)若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)劣弧长， 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：连接OC，如图 ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：； ； ∵， ∴， ∴， ∴． 考点四 正多边形与圆 【知识点解析】 1. 多边形的内角和. 2. 正多边形的中心角. 3. 正多边形的每一个内角. 4. 边心距：正多边形的外接圆的圆心到正多边形每条边的距离成为边心距. ※计算边心距时可结合勾股定理或锐角三角函数进行计算. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ， 即它的内切圆半径为 ， 故选：D． 例2．（25-26九年级上·福建福州·期中）如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：中心角，且中心角， ， ． 因此，边数为，对应选项D． 故选：D． 例3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， ∴是正九边形的一条边， 故选：A． 例4．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为 ． 【答案】8 【详解】解：如图， 由题意：，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是． 故答案为：8． 例5．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为 ． 【答案】12 【详解】解：如图，连接、、， ∵为的内接正三角形的一边， ∴， ∵为的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵是圆内接正边形的一边， ∴， 故答案为：12． 例6．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图 ∵为正六边形的内切圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵M，N是与的切点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴五边形的周长为． 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴等边三角形， ∴， ∴这个正六边形地基的周长为， 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：由题可得，，，， ，， ， 图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 故答案为：C． 变式3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 五边形为正五边形， ， ， ， ， 故选：C． 变式4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为 °． 【答案】75 【详解】解：∵正方形内接于， ∴正方形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为， ∵正三角形内接于， ∴正三角形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为 连接， ∵是的外角， ∴， ∵是边对的圆周角， ∴, ∵是边对的圆周角， ∴ ∴ 故答案为． 变式5．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为 ． 【答案】 【详解】解：连接、、、、，如图所示： 由题意知：A、B、C、E、F、G把分成六等分， ∴六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴， ∴A、O、E三点共线，即是的直径， ∴， 同理是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为， 故答案为：． 变式6．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【详解】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 课后提升训练 1．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接． ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·月考）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴这个多边形是正五边形． 故答案为：C． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，连接，设与交于点，的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径，交于，两点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆心角度数为， ∵ 弧长，其中，， 解得， ∴ 圆周角的度数； 故选B 5．（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵弧长 ，其中 ，， ∴ ， 两边除以：， 即， 简化得， ∴ ． 故此扇形的圆心角为． 故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正九边形的两条邻边分别与相切于点、，点在上，连接、，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， 正九边形的两条邻边分别与相切于点、， ， 又正九边形的一个内角， ， ， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为 ． 【答案】// 【详解】解：如图，连接， ∵点O为正六边形的中心，正六边形的边长为3， ∴ ，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若某扇形的半径是，弧长为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由扇形面积公式，已知半径，弧长， 代入得：， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若圆锥的底面半径为，母线长是，则这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【详解】解：圆锥的侧面积为 ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 【答案】4 【详解】， 代入公式得： 解得： 故答案为：． 13．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， 与都是的切线， ，， ， ， 又点C为的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， 又∵， 矩形为正方形， 阴影部分的面积是． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，连接． (1)______，的长度是______； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， ， ， ； 在中，，则， 在中，由三角形内角和定理可得， ， 的长度是； 故答案为：，； （2）解：连接，如图所示： ， ， 由（1）知，，则， 图中阴影部分的面积 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：弧长与扇形面积的计算、扇形与圆锥的计算、阴影面积的计算、正多边形与圆讲义 圆：弧长与扇形面积的计算、扇形与圆锥的计算、阴影面积的计算、正多边形与圆 讲义 考点目录 弧长与扇形面积的计算 扇形与圆锥的计算 阴影面积的计算 正多边形与圆 考点一 弧长与扇形面积的计算 【知识点解析】 1. 已知扇形的半径为,圆心角为. （1）扇形的弧长； （2）扇形的面积. 2.解题步骤 （1）明确已知条件（、、、其中两个）； （2）选择对应公式； （3）代入计算； （4）检查单位和结果合理性. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm． 例5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）以圆为弧的扇形所对的圆心角是 度． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 变式3．（25-26九年级上·北京·月考）若扇形的圆心角为，半径为8，则它的弧长为 ． 变式4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，四边形内接于，连接、，若的半径为3，，则的长为 ．（结果保留） 变式5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知一个半径为的扇形的圆心角为，则此扇形的弧长为 ． 考点二 扇形与圆锥的计算 【知识点解析】 1. 扇形与圆锥的关系 （1）扇形两条半径重叠可以将扇形折叠形成一个圆锥； （2）圆锥的顶点与底面圆上任意一点的连线为圆锥的母线； （3）由折叠的对应关系可知：扇形的半径长等价于圆锥的母线长； （4）由折叠的对应关系可知：扇形的弧长等价于圆锥的底面圆形的周长； （5）圆锥的全面积侧面展开图面积底面圆形面积，计算时需主题题目所求的全面积还是侧面展开图面积. 2. 圆锥的体积 （1）； （2）为底面圆形面积，为圆锥的高（顶点与底面圆心的连线）； （3）圆锥的高、底面半径与母线长构成直角三角形，计算时可利用勾股定理进行转换. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·云南·月考）用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（  ）． A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为 ． 例4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是 ． 例5．（25-26九年级上·北京·期中）一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是 ． 例6．（25-26九年级上·江苏南京·期中）用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（   ） A．12 B．24 C． D． 变式3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 变式4．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．    变式5．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ． 考点三 阴影面积的计算 【知识点解析】 策略一：将阴影面积分割为多个规则的小图形，分别算出各个规则的小图形的面积之后，累加的所求阴影面积； 策略二：将阴影面积补成一个规则的大图形与若干个规则的小图形，利用大图形减去小面积得所求阴影面积. 【例题分析】 例1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，矩形中，，．以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 例5．（2025·天津·二模）如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ． 例6．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，已知圆O的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是 ． 例7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 例8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，扇形的半径是1，以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26八年级上·重庆·期中）半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为 ． 变式5．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，，则图中阴影部分的面积为 ． 变式6．（2024·广东清远·一模）如图，矩形中，，以为直径的半圆与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 变式7．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，四边形内接于，是的直径，平分，作并交的延长线于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)已知的半径为1，，求图中阴影部分的面积． 变式8．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外，． (1)请说明是的切线； (2)若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 考点四 正多边形与圆 【知识点解析】 1. 多边形的内角和. 2. 正多边形的中心角. 3. 正多边形的每一个内角. 4. 边心距：正多边形的外接圆的圆心到正多边形每条边的距离成为边心距. ※计算边心距时可结合勾股定理或锐角三角函数进行计算. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·福建福州·期中）如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 例4．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为 ． 例5．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为 ． 例6．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为 ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为 °． 变式5．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为 ． 变式6．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 课后提升训练 1．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·月考）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 3．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正九边形的两条邻边分别与相切于点、，点在上，连接、，则的度数为 ． 8．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为 ． 9．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若某扇形的半径是，弧长为，则扇形的面积为 ． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为 ． 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若圆锥的底面半径为，母线长是，则这个圆锥的侧面积是 ． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 13．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 14．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，连接． (1)______，的长度是______； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 2 学科网（北京）股份有限公司 $