精品解析：四川省成都市树德中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

树德中学高2025级高一上学期半期考试数学试题 命题人：叶强 审题人：肖兴佳、洪晓蕾、严芬 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. . 3. 已知非零实数，且，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）． A. B. C. 3 D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若是奇函数，则的值为（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知幂函数在上是严格减函数，则 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数，则 D. 函数在区间上单调递增，则 10. 若关于的不等式的解集为，，，，均为实数，则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则的解集为 C. 若，，则的解集为 D. 若，则 11. 已知，，定义直线的斜率为，对数函数与的图象如图所示，过原点的直线交的图象于不同的A，B两点，过点A，B分别作轴的平行线交于C，D两点，交轴于M，N两点，则（ ） A. 三点共线 B. 梯形的面积为梯形面积的2倍 C. D. 当轴时，点坐标为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：________． 13. 已知函数（b，c为实数），则“”是“为偶函数”的________条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 14. 已知函数，若方程有四个不同的解，，，，则的取值范围是________，若，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为．集合，常数，． （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 16. 猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示猴痘感染人数. 2 4 6 8 8 64 511 4097 （1）请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据：） 17. 已知函数（且为定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式． 18. 已知函数与函数，函数的定义域为. （1）求的定义域和值域； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 19. 若函数的定义域为，且满足，则称为“德函数”． （1）分别判断下列函数是否为“德函数”，并说明理由； ①；②；③． （2）若“德函数”在上单调递增，求证：在上单调递增； （3）已知为“德函数”，且当时，，（，），若在上的值域为R，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2025级高一上学期半期考试数学试题 命题人：叶强 审题人：肖兴佳、洪晓蕾、严芬 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】应用特称命题的否定的定义判断即可. 【详解】命题“，”的否定为：“，”. 故选：D. 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用指数幂运算法则得到答案. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查了指数幂的运算，属于简单题. 3. 已知非零实数，且，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，令，则，故A不正确； 对于B，在上为单调递增函数，若，则，故B正确； 对于C，令，则，故C错误； 对于D，当时，若，则，故D错误； 故选：B 4. 若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出解析式，从而得到的解析式，再根据对数型复合函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数且函数与函数图象关于对称， 所以， 所以，令，解得， 所以的定义域为， 又在上单调递增，在上单调递减， 在定义域上单调递减，所以的单调递减区间为（或）. 故选：B 5. 已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）． A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果. 【详解】由题意可知， 则， 当且仅当，时， 的最小值为， 故选:A． 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性比较与大小，再利用指数函数单调性得到与1的大小关系即可. 【详解】∵， ， 则， 故选：C. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，在上单调递增. 所以当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式可变形为或， ①，解得；②，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：D. 8. 若是奇函数，则的值为（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分析有意义的条件，结合奇函数定义域关于原点对称的性质列方程求，再由，化简求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 由有意义可得， 所以当时，， 当时，，且， 因为函数是奇函数， 所以函数的定义域关于原点对称，故，其，所以， 因为是奇函数， 所以， 所以， 又， ， 所以，故， 所以， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知幂函数在上是严格减函数，则 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数，则 D. 函数在区间上单调递增，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质求解即可判断A；根据抽象函数定义域与具体函数定义域列不等式即可判断B；根据函数解析式的凑项法即可得已知函数解析式从而判断C；根据对数复合函数单调性即可判断D. 【详解】对于A，幂函数在上是严格减函数， 所以，解得，故A正确； 对于B，函数的定义域为，则， 所以函数的定义域为， 则函数需满足：，解得， 即函数的定义域为，故B不正确； 对于C，已知函数， 又， 所以，故C正确； 对于D，函数在区间上单调递增， 由对数函数性质知或， 令，则是由和构成的复合函数， 由一次函数性质得在R上单调递减， 要使函数在区间上单调递增， 则，解得，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 若关于的不等式的解集为，，，，均为实数，则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则的解集为 C. 若，，则的解集为 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，结合韦达定理分析选项即可. 【详解】选项A：由题意知，，，是方程的两个根， 所以，. 若，则，那么，即， 又，所以，故选项A错误. 选项B：若，，则，4是方程的两个根，且， 由韦达定理得，解得. 则不等式可化为， 又，化简得，解得， 即的解集为.故选项B正确. 选项C：由选项B可知，，， 则不等式可化为， 又，化简得，即， 解得，所以不等式的解集为，故选项C错误. 选项D：若，则方程可化为， 由题意知，，，是方程的两个不等实根， 所以，即，所以.故选项D正确. 故选：BD. 11. 已知，，定义直线的斜率为，对数函数与的图象如图所示，过原点的直线交的图象于不同的A，B两点，过点A，B分别作轴的平行线交于C，D两点，交轴于M，N两点，则（ ） A. 三点共线 B. 梯形的面积为梯形面积的2倍 C. D. 当轴时，点坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点坐标，得到点坐标，由定义分别求且因为三点共线得，整理等式后即可判断A选项；通过对数的计算得到两个梯形的上底和下底的数量关系，即可判断B选项；由定理得由对数的运算化简后判断与的关系，判断C选项；由条件建立方程利用对数的运算求得点坐标，判断D选项. 【详解】设，，则，， ∵三点共线，∴，即，， 则，即，∴三点共线，A选项正确； ∵， ∴，同理， ，B选项正确； ，C选项错误； 当轴时，，则，即， 又∵，∴，∵，∴，则， ∴，，即，D选项正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则对各项进行化简，然后进行计算. 【详解】 . 故答案为：2 13. 已知函数（b，c为实数），则“”是“为偶函数”的________条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 【答案】充要 【解析】 【分析】根据偶函数的定义结合充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，， 此时，，所以为偶函数； 若为偶函数，， 即对于恒成立，所以， 此时，所以， 故“”是“为偶函数”的充要条件， 故答案为：充要. 14. 已知函数，若方程有四个不同的解，，，，则的取值范围是________，若，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出的图象，由条件方程有四个不同的解可得函数与函数的图象有四个不同的交点，观察图象确定的范围，再确定，，，的范围，并利用表示，，，，由此可得，判断函数在上的单调性，根据单调性求其范围可得结论， 【详解】作函数图象如图， 因为方程有四个不同的解，，，， 所以函数与函数的图象有四个不同的交点， 观察图象可得， 若，又，， 则，， 因为，故， 所以，，， 因为，故， 所以，所以，, 所以， 化简可得， 因为函数在单调递增，且， 函数在上单调递增， 所以函数在单调递增， 所以函数在单调递减， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 又当时，， 当时， 所以当时，， 故的取值范围是， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为．集合，常数，． （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式化简集合A，根据复合指数函数的单调性解不等式即可得集合B，再由集合的交并补运算即可； （2）根据是的必要非充分条件得是的真子集，列不等式得实数的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，即，解得，故， 对于集合B，，因单调递减，故， 即，解得，故， 则， 因此； 【小问2详解】 由（1）知， 对于，，即，， 因是的必要非充分条件，故是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得．实数的取值范围是． 16. 猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示猴痘感染人数. 2 4 6 8 8 64 511 4097 （1）请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据：） 【答案】（1）， （2）12个单位时间 【解析】 【分析】（1）利用已知的四对数据代入函数模型进行验证得出结果； （2）根据指对互化以及对数运算求得结果. 【小问1详解】 若选， 将和代入得，解得， 得，代入得，这与题干时差异很大， 所以该函数模型不适合： 若选， 将和代入得， 解得，得， 代入得得，与表中数据接近， 适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型； 【小问2详解】 设至少需要个单位时间数，则， 两边同时取底数为10的对数得， 即， ， 又， ， 的最小值为12， 即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人. 17. 已知函数（且为定义在R上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 函数在R上单调递增， 取任意的，且， 有， 由，有，有， 所以函数在R上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由为奇函数，求得，利用奇函数的定义验证即可； （2）利用单调性的定义即可得证； （3）由得，利用单调性即可求解. 【小问1详解】 由函数为奇函数，有，解得， 当时，， ， 符合函数为奇函数，可知符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由 从而，可得， 令，可知的定义域为， 因为，在定义域上单调递增， 可知在定义域上单调递增，且， 对于不等式即为，解得，所以不等式的解集是． 18. 已知函数与函数，函数的定义域为. （1）求的定义域和值域； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 【答案】（1）的定义域为，值域为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的表达式，然后根据对数函数的定义域和值域求出结果即可. （2）先化简不等式，变为，然后根据二次函数的性质和定义域求出的最小值，即可求出的范围. （3）根据奇函数性质列出等式，得到，进而求得得到对称中心. 【小问1详解】 因为. 所以要使得有意义，则，解得. 因为，， 所以，所以的定义域为，值域为. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以. 令，则，则不等式变为， 所以. 因为，所以，所以. 所以存在使得不等式成立，则的取值范围是. 【小问3详解】 设的对称中心为，则函数是奇函数， 即是奇函数，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立。 所以. 因为上式对任意实数恒成立，所以， 解得.所以函数图象的对称中心为. 19. 若函数的定义域为，且满足，则称为“德函数”． （1）分别判断下列函数是否为“德函数”，并说明理由； ①；②；③． （2）若“德函数”在上单调递增，求证：在上单调递增； （3）已知为“德函数”，且当时，，（，），若在上的值域为R，求的取值范围． 【答案】（1） ①，所以为“德函数”； ②，所以不为“德函数”； ③当时，则，从而； 当时，则从而； 当时，，所以为“德函数”； （2） 任取，，且 ①若，由于在上单调递增，则， ②若，则，由于在上单调递增，则， 结合“德函数”的定义，有即在上单调递增； 若，由①②，则有，故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“德函数”的定义判断即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）由题意只需或者即可，可求得且，进而对分类讨论可求得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令时，的值域为A， 根据“德函数”的定义，要使若在上的值域为R， 只需或者即可， 因为在恒成立.∴， ∴且； ①，令在单调递增， 从而，则单调递减， 从而在单调递减， ∴， ∴或（舍去）； ②， （ⅰ），则，则在单调递增， 而单调递增， 从而在单调递增， ∴， ∴或， ∴； （ⅱ），则， 则在单调递减，在单调递增， 而单调递增， 从而在单调递减，在单调递增， ∴， ∴且， ∴； 综上所述∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $