专题02 旋转重难点题型专训（3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学旋转专题复习讲义通过梳理旋转的概念、性质、作图3个核心知识点构建知识体系，以框架图呈现概念要素（中心、方向、角度）与性质（对应点距离、旋转角、全等）的内在联系，搭配即时训练巩固基础，清晰呈现重难点分布。 讲义亮点在于10大题型与3大拓展训练的递进设计，如“找旋转中心、旋转角”题型培养几何直观，“旋转中的规律性问题”发展推理意识。自我检测覆盖基础题（如判断生活旋转现象）和拓展题（如旋转最值探究），助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

专题02 旋转重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 旋转的性质及辨析 题型五 求旋转中心的个数 题型六 根据旋转的性质求解 题型七 画旋转图形 题型八 旋转中的规律性问题 题型九 利用旋转设计图案 题型十 根据旋转的性质说明线段或角相等 拓展训练一 求旋转对称图形的旋转角度 拓展训练二 旋转中的最值探究 拓展训练三 旋转中的规律探究题 知识点一：旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，的位置经过怎样的运动和重合（    ） A．沿翻折 B．平移 C．绕点M旋转90° D．绕点M旋转180° 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 知识点二：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，且点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是 ． 知识点三：旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图，在方格纸中，将三角形绕点按顺时针方向旋转后得到三角形，则下列四个图形中正确的是（    ） A．B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，若将（点C与点O重合）绕点O顺时针旋转度后得到，则点A的对应点的坐标是 ．    【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（24-25七年级上·上海金山·期中）下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是(      ) A．① B．② C．③ D．④ 1．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海青浦·课后作业）有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)． 4．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试）回忆并写出下列概念的定义： (1)平移； (2)旋转； (3)轴对称； (4)中心对称． 【经典例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例2】（24-25七年级上·上海嘉定·月考）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，下面四个选项中，哪个是由旋转得到的，旋转前后的图形组成的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是 ． 4．（2025七年级上·上海普陀·专题练习）如图，可以由经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程． 【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为 ． 4．（25-26七年级上·上海长宁·期中）如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． 【经典例题四 旋转的性质及辨析】 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，将图1绕某点旋转后得到图2，则下列旋转方式中，符合题意的是（    ） A．顺时针旋转90° B．逆时针旋转90° C．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45° 1．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是(    ) A． B． C． D． 2．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 3．（24-25七年级上·上海金山·单元测试）将一副三角板按如图位置摆放，使得两块三角板的直角边和重合．已知，将绕点逆时针旋转后（图），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 （结果精确到，）． 4．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【经典例题五 求旋转中心的个数 】 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是 (填写正确的序号）． 3．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，在正方形中，点M、N为边和上的动点（不含端点），下列三个结论：①当时，则；②；③的周长不变．其中正确结论的个数是 ． 4．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将绕着点B顺时针方向旋转． (1)请在图中画出旋转后的 (2)再在图中画出的高 (3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于C） 【经典例题六 根据旋转的性质求解】 【例6】（25-26七年级上·上海静安·课后作业）如图在中,，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对称点恰好落在变上，连接，则度数是(　　) A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海宝山·期中）如图，在正方形中，，将正方形绕点A逆时针方向旋转，得到正方形，点E在上，与交于点H，则的长是 ． 3．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 ． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接． (1)求证：点B，C，D在同一条直线上； (2)若，，求的面积． 【经典例题七 画旋转图形】 【例7】（25-26七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海松江·模拟预测）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时， ．    4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作的角平分线； (2)在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【经典例题八 旋转中的规律性问题】 【例8】（24-25七年级上·上海松江·期中）小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）已知，⊙A与x轴相切于点O，点A的坐标为（0，1），点P在⊙A上，∠PAO=60°，⊙A沿x轴正方向滚动，当点P第n次落在x轴上时，点P坐标为 ． 3．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点B1，C1的坐标分别为（1，0），（1，1）．将△OB1C1绕原点O逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB2＝OC1，得到△OB2C2；将△OB2C2绕原点O逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB3＝OC2，得到△OB3C3．如此下去，得到△OBnCn． （1）m的值为 ； （2）在△OB2017C2017中，点C2017的坐标是 ． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【经典例题九 利用旋转设计图案】 【例9】（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）在如图的图案中，由“基本图形”用旋转的方法得到的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2025·上海金山·模拟预测）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为： ， ， ． 4．（2025七年级上·上海徐汇·专题练习）图①、图②是9×6的正方形网格，△ABC的三个顶点和点P都在格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上． （1）在图①中，将△ABC平移，使点P在平移后得到的三角形的内部． （2）在图②中，以边BC上的格点为旋转中心，将△ABC旋转，使点P在旋转后得到的三角形的内部． 【经典例题十 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例10】 （25-26七年级上·上海嘉定·期中）如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）设O是等边三角形内一点，已知，，求以线段、、为边构成的三角形的各角的度数分布为 ． 4．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． (1)求证：； (2)当点，，在同一条直线上时，求的度数． 【拓展训练一 求旋转对称图形的旋转角度】 1．（25-26七年级上·上海长宁·期中）如图，中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点． (1)求出旋转角的度数； (2)求出的度数和的长． 2．（25-26七年级上·上海宝山·期中）如图，是等边三角形，点D是BC上一点，经过旋转后到达的位置 (1)旋转中心是点______；旋转了______度．（写出一个即可） (2)若点M是的中点，则经过上述旋转后，点M转到了的______点．（选填“中”或“三等分”） (3)求的度数． 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如图，数轴上有一个等边，点与原点重合，点与表示的点重合，经过平移或轴对称或旋转都可以得到． (1)沿数轴向右平移得到，则平移的距离是 个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是过 点且垂直于的直线；绕原点O顺时针旋转得到，则旋转角度至少是 度； (2)连接，求的度数． 【拓展训练二 旋转中的最值探究】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向下平移5个单位后得到的，点A，，的对应点分别为点，，； (2)画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点A，，对应点分别为点，，； (3)在y轴上有一个动点P，求的最小值． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，，．当点A位于______时，线段的长取得最大值为______．（用含a，b的式子表示） （2）应用：点A为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以、为边，作等边和等边，连接、． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出长的最大值． （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标，点P为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点P的坐标． 3．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，，，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． (1)如图2，若平分，则t的最小值为 ；此时﹣ 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，； ②在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 【拓展训练三 旋转中的规律探究题】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）如图在的小正方形网格中，的顶点A、B、C在网格的格点上，将向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，将按一定规律顺次旋转，第1次将绕点B顺时针旋转得到，第2次将绕点顺时针旋转得到，第3次将绕点顺时针旋转得到，第4次将绕点顺时针旋转得到，依次旋转下去． (1)在网格画出和 (2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好是． 2．（25-26七年级上·上海宝山·期中）中，，垂足为，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． (1)当点在线段上，时，如图①，请直接写出线段，，的数量关系__________； (2)当点在线段延长线上，时，如图②；当点在线段延长线上，时，如图③；请猜想图②、图③中线段，，的数量关系，并写出它们的证明过程； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_____________． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点A、O、D在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么 ． 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数；（写解答过程） ②当时， （用含的式子表示）． 【解决问题】 （3）如图①，将三角板绕点O顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点O逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出t的值． 1．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）正六边形绕着它的中心至少旋转多少度后才能与它本身完全重合（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海金山·期中）如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图，正方形的边长为一个边长为的小正方形沿着正方形的边连续翻转(小正方形起始位置在边上)，当这个小正方形翻转到边的终点位置时，它的方向是（  ）    A．   B．   C．   D．   5．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 7．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程： ． 8．（25-26七年级上·上海宝山·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是 9．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是 10．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如图，中，，，，点在边上运动且点不与点、重合，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接交边于，则长度最大值为 ． 11．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 12．（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，若绕某个点顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是______； (2)旋转的度数是______； (3)若，则______． 13．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图，在方格纸中绕点逆时针旋转得到，请在方格纸中画出，并标注好字母． 14．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 15．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）如图，两个形状，大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，，与直线重合，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)如图①试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 旋转重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 旋转的性质及辨析 题型五 求旋转中心的个数 题型六 根据旋转的性质求解 题型七 画旋转图形 题型八 旋转中的规律性问题 题型九 利用旋转设计图案 题型十 根据旋转的性质说明线段或角相等 拓展训练一 求旋转对称图形的旋转角度 拓展训练二 旋转中的最值探究 拓展训练三 旋转中的规律探究题 知识点一：旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，的位置经过怎样的运动和重合（    ） A．沿翻折 B．平移 C．绕点M旋转90° D．绕点M旋转180° 【答案】D 【分析】根据图形的位置判定运动过程即可． 【详解】 解：绕点M旋转180°可以与重合． 故选：D． 【点睛】 本题考查中心对称的定义，能正确识别变化过程是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 知识点二：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质得到即可． 【详解】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，且点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查了图形旋转的性质以及三角形内角和的定理和等腰三角形的性质，由旋转后边的长度不变得到是等腰三角形是解决本题的关键． 根据图形旋转的性质可得到旋转前后边长不变，即，进而可得是等腰三角形，由底角相同可得到的度数，再由三角形内角和的性质即可求解旋转角的度数． 【详解】因为绕点逆时针旋转得到， 所以可得，即是等腰三角形， 所以， 在中，， 所以旋转角的度数是． 故答案为：． 知识点三：旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图，在方格纸中，将三角形绕点按顺时针方向旋转后得到三角形，则下列四个图形中正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绕点按顺时针方向旋转逐项分析即可． 【详解】解：将三角形绕点按顺时针方向旋转后得到三角形， 正确的图形是：， 其他图形都不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，若将（点C与点O重合）绕点O顺时针旋转度后得到，则点A的对应点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据题意，画出旋转图形，根据坐标系即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，求点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（24-25七年级上·上海金山·期中）下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是(      ) A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】①    ② 由旋转得到，   ④由平移得到.故选C. 1．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可. 【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·上海青浦·课后作业）有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，解决本题的关键是根据旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：时针的转动属于旋转； 摩天轮的转动属于旋转； 地下水位逐年下降属于平移，不是旋转； 传送带上的机器人属于平移，不是旋转． 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)． 【答案】 轴对称 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形①经过旋转变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移. 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 4．（24-25七年级上·上海长宁·单元测试）回忆并写出下列概念的定义： (1)平移； (2)旋转； (3)轴对称； (4)中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了平移、旋转、轴对称、中心对称的定义等知识点，牢记它们的定义成为解题的关键． 直接根据平移、旋转、轴对称、中心对称的定义解答即可． 【详解】（1）解：一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移． （2）解：一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转． （3）解：一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称． （4）解：一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称． 【经典例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例2】（24-25七年级上·上海嘉定·月考）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，下面四个选项中，哪个是由旋转得到的，旋转前后的图形组成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，直接判断即可． 【详解】解：A选项是由旋转得到的，B、C、D选项是由轴对称得到的， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的识别，解题关键是熟知旋转的特征，找准对应关系，准确判断． 2．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 【答案】 四分之一 旋转 【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故答案为：四分之一，旋转． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 4．（2025七年级上·上海普陀·专题练习）如图，可以由经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程． 【答案】把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到（答案不唯一） 【分析】利用平移和旋转变换说明变换过程即可． 【详解】解：根据网格和图形中与的相对位置， 可知：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到． 即变换过程为：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转． 【点睛】本题考查了几何变换，掌握平移变换、旋转变换的特点是解答本题的关键． 【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，连接，线段的中垂线的交点即为旋转中心，进行判断即可． 【详解】解：如图， 旋转中心的位置可以为点； 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解． 【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 根据网格可得 ②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 根据网格可得 综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为 故答案为或；． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海长宁·期中）如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画旋转图形，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握画旋转图形的方法及步骤． （1）连接对应点，则对应点连线的交点即为旋转中心； （2）将点分别绕原点旋转，得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：旋转中心即为所求； （2）解：如图，即为所求； 【经典例题四 旋转的性质及辨析】 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，将图1绕某点旋转后得到图2，则下列旋转方式中，符合题意的是（    ） A．顺时针旋转90° B．逆时针旋转90° C．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45° 【答案】A 【分析】由旋转的性质进行分析即可得到正确答案． 【详解】解：由旋转性质知，将图１顺时针旋转90°即可得到图2 故选：A 【点睛】本题考查旋转的性质，牢记相关的知识点是解题的关键． 1．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180． 【详解】B选项中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，符合题意； 其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了图形平移，旋转的性质，轴对称的性质，分析题意是解题的关键． 2．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 【答案】旋转 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将右边的图案旋转90°即可得到左边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 3．（24-25七年级上·上海金山·单元测试）将一副三角板按如图位置摆放，使得两块三角板的直角边和重合．已知，将绕点逆时针旋转后（图），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 （结果精确到，）． 【答案】 【分析】设BC,AD交于点G,过交点G作GFLAC与AC交于点F,根据AC=8,就可求出GF的长,从而求解. 【详解】解：如图 设BC、AD交于点G,过交点G作GF⊥AC与AC交于点F,设FC=x,则GF=FC=x,旋转角为60,即可得∠FAG=60， AF=GFcot∠FAG=x. 所以x+x=8,则x=. 所以=8()≈20.3cm. 故答案为:20.3. 【点睛】本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素:1定点-旋转中心;2旋转方向;3旋转角度. 4．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)90° (3) 【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1=α=90°； （3）利用割补法即可求面积． 【详解】（1）如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求； （2）如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 故答案为； （3） ． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 【经典例题五 求旋转中心的个数 】 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 【答案】C 【分析】画出中心对称图形即可判断 【详解】解：观察图象可知，点P．点N满足条件． 故选：C． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是 (填写正确的序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE＝120°，∠DCE＝∠BCA＝60°，AC＝CD＝DE＝CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD＝AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD． 【详解】∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC， ∴∠ACE＝120°，∠DCE＝∠BCA＝60°，AC＝CD＝DE＝CE， ∴∠ACD＝120°−60°＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，AC＝AD＝DE＝CE， ∴四边形ACED是菱形， ∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， ∴①②③都正确， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键． 3．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，在正方形中，点M、N为边和上的动点（不含端点），下列三个结论：①当时，则；②；③的周长不变．其中正确结论的个数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，本题具有一定的综合性，难度中等略大． ①先用勾股定理求得，则易得，再结合，可得答案；②将绕点A顺时针旋转得，证明，再利用四边形内角和及邻补角关系，可证得结论；③由，可得，从而将的三边相加即可得答案． 【详解】解：①：∵正方形中，， ∴，， ∴ 当时， ， ∴ ∴． ∴ ∴． ∴， ∵， ∴，故①正确； ②：如图，将绕点A顺时针旋转得， 则， ∵， ∴三点共线， 则在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③：∵， ∴， ∴的周长为： ， ∵和均为正方形的边长，故的周长不变． 综上①②③都正确． 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将绕着点B顺时针方向旋转． (1)请在图中画出旋转后的 (2)再在图中画出的高 (3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于C） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)5 【分析】本题考查了作图旋转变换：确定旋转后图形的基本要素有两个：旋转中心、旋转角．作图时要先找到图形的关键点是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、即可； （2）利用网格特点过C点作直线的垂线，得到垂足为格点D； （3）过C作的平行线得到满足条件的格点P有3个，利用对称在的另一侧可得到满足条件的2个格点P． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）在图中能使的格点的个数有5个，如图． 故答案为：5． 【经典例题六 根据旋转的性质求解】 【例6】（25-26七年级上·上海静安·课后作业）如图在中,，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对称点恰好落在变上，连接，则度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得出，得出的度数即可求解． 【详解】解：在中，， ∴=， ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质及勾股定理，关键是找到旋转角的度数，利用勾股定理求线段的长度； 由逆时针旋转可得，即可利用勾股定理求得． 【详解】解：∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 故选：D ． 2．（25-26七年级上·上海宝山·期中）如图，在正方形中，，将正方形绕点A逆时针方向旋转，得到正方形，点E在上，与交于点H，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据旋转的性质得出相等的边，根据正方形的性质得出直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得，， ∵四边形和为正方形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 ． 【答案】点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接． (1)求证：点B，C，D在同一条直线上； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查旋转性质，角度计算，勾股定理，三角形内角和定理，三角形面积等． （1）由旋转性质可知，，继而可知，继而得到，即可得到本题答案； （2）根据勾股定理可得的长，再利用角度计算出，再利用面积公式即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵在中，将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴点B，C，D在同一条直线上； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积：． 【经典例题七 画旋转图形】 【例7】（25-26七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的概念，特别是绕中心点旋转后图形位置的变化.通过观察原图和选项，判断旋转之后图形的正确位置. 【详解】解：首先分析圆的位置： 原图中圆位于左上角的方格内，绕中心O逆时针旋转后，圆会旋转到右下角的方格内，通过选项可得：C和D符合； 其次，分析阴影三角形的位置变化： 原图中左下角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，旋转到右上角且斜边的方向不变.原图中右上角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，会旋转到左下角，观察C和D,C选项中阴影三角形的位置和形状符合，而D选项中位置不符合. 故选：C． 1．（2025·上海松江·模拟预测）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 【详解】解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时， ．    【答案】或 【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 在旋转过程中，若与三角板的一条边恰好平行， 则有两种情况： ①当时，如图，    此时， ∴旋转角； ②当时，如图，作，    此时，， ∴旋转角． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角板拼接、旋转问题，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作的角平分线； (2)在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（）延长至，连接，取的中点，再连接，交于点，由等腰三角形的性质可知是的角平分线； （）根据旋转的性质画图即可； 本题考查了等腰三角形的性质，旋转作图，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【经典例题八 旋转中的规律性问题】 【例8】（24-25七年级上·上海松江·期中）小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的知识是解题的关键，根据题意找到图形旋转后变换的规律即可求解． 【详解】解：由题意得图形每按一次旋转键，图形就会逆时针旋转， 那么连续按4次旋转键后，图形会旋转， 即旋转一周后图形会回到原来的位置， 由此可知，该图形的旋转是以4次为一个循环周期， ， 则第15次逆时针旋转变为： 故选：D． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据可进行求解． 【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为， ∴机器狗经过一周所需的时间为（分钟）， ∵， ∴， ∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了， 即选项D符合题意； 故选D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）已知，⊙A与x轴相切于点O，点A的坐标为（0，1），点P在⊙A上，∠PAO=60°，⊙A沿x轴正方向滚动，当点P第n次落在x轴上时，点P坐标为 ． 【答案】（，0）或（，0） 【分析】根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题． 【详解】解：如图所示， 当点P在点P1的位置时，点P第n次落在x轴上时， 点P的横坐标为：； 即此时点P的坐标为（，0）； 当点P在点P2的位置时，点P第n次落在x轴上时， 点P的横坐标为：； 即此时点P的坐标为（，0）； 故答案为：（，0）或（，0）． 【点睛】本题考查切线的性质、点的坐标、弧长公式，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 3．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点B1，C1的坐标分别为（1，0），（1，1）．将△OB1C1绕原点O逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB2＝OC1，得到△OB2C2；将△OB2C2绕原点O逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB3＝OC2，得到△OB3C3．如此下去，得到△OBnCn． （1）m的值为 ； （2）在△OB2017C2017中，点C2017的坐标是 ． 【答案】 （21008，21008） 【分析】（1）易得OB2＝mOB1＝OC1，根据最初的三角形中OB1，OC1的关系可得m的值； （2）可得旋转4次后，正好旋转一周，那么可得点C2017的坐标跟C2的坐标在一条射线上，且在第一象限，即可得出结果． 【详解】解：（1）在△OB1C1中， ∵OB1＝1，B1C1＝1，∠OB1 C1＝90°， ∴∠C1OB1＝45°，OC1， ∵OB2＝mOB1，OB2＝OC1， ∴m． 故答案为： （2）∵每一次的旋转角是90°， ∴旋转4次后，正好旋转一周， ∴2017÷4＝504…1， ∴点C2017跟C2的在一条射线上，且在第一象限， ∵第2次旋转后，各边长是原来的倍，第3次旋转后，各边长是原来的（）2倍， ∴点C2017的坐标为（21008，21008）， 故答案为（21008，21008）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转、坐标与图形性质，找出规律是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 【经典例题九 利用旋转设计图案】 【例9】（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）在如图的图案中，由“基本图形”用旋转的方法得到的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案，进而判断得出即可． 【详解】从左起第1，3，4个图象可以通过旋转得到，第2个利用轴对称得到，即只能通过旋转设计出来的图案的个数有3个． 故选C． 【点睛】本题是考查运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点得出是解题的关键． 1．（2025·上海金山·模拟预测）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，故选B． 考点：利用旋转设计图案． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．依据旋转变换以及轴对称变换，即可使与重合． 【详解】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转°，即可得到； 先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着过点与垂直的直线翻折，即可得到； 故答案为：③④． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为： ， ， ． 【答案】 （a，b﹣1）； （a，﹣b）； （12a，b）　 【详解】若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（12a，b）． 故答案为（a，b﹣1），（a，﹣b），（12a，b）． 点睛：本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋旋一定角度得得新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 4．（2025七年级上·上海徐汇·专题练习）图①、图②是9×6的正方形网格，△ABC的三个顶点和点P都在格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上． （1）在图①中，将△ABC平移，使点P在平移后得到的三角形的内部． （2）在图②中，以边BC上的格点为旋转中心，将△ABC旋转，使点P在旋转后得到的三角形的内部． 【答案】（1）如图①，△A′B′C′为所作；见解析；（2）如图②，△A″B″C″为所作；见解析． 【分析】（1）把△ABC先向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到△A′B′C′，则△A′B′C′满足条件； （2）以点P为旋转中心，把△ABC顺时针旋转90°得到△A″B″C″，则△A″B″C″满足条件． 【详解】（1）如图①，△A′B′C′为所作； （2）如图②，△A″B″C″为所作． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 【经典例题十 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例10】 （25-26七年级上·上海嘉定·期中）如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质． 根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、B、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 【详解】解：∵， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、B、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积； 故选：D． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，，进而可得，，由内错角相等两直线平行可得，由此可证得四边形是平行四边形，于是可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可得： ，，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，内错角相等两直线平行，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 【答案】125 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握：旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小．据此解答即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）设O是等边三角形内一点，已知，，求以线段、、为边构成的三角形的各角的度数分布为 ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质， 可通过旋转将旋转至，则可得是等边三角形，再根据旋转的性质得出线段三边构成的三角形为，进而求出各个角的大小即可． 【详解】解：将逆时针旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形． ∴ 又∵ ∴， 故以线段三边构成的三角形为 ∴ 故答案为：，， 4．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． (1)求证：； (2)当点，，在同一条直线上时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由旋转的性质得，再根据三角形三边关系即可求证； （）由旋转可得，，即得，又可得，利用三角形内角和定理求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质等，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得，，， ∵点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【拓展训练一 求旋转对称图形的旋转角度】 1．（25-26七年级上·上海长宁·期中）如图，中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点． (1)求出旋转角的度数； (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识点，掌握旋转的性质是本题的关键． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）由旋转的性质可得，再由周角的性质和中点的性质求解即可． 【详解】（1）解∵按逆时针方向旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心是点A， 根据旋转的性质和三角形内角和定理可得：， ∴旋转角度是． （2）解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∵C为中点， ∴． 2．（25-26七年级上·上海宝山·期中）如图，是等边三角形，点D是BC上一点，经过旋转后到达的位置 (1)旋转中心是点______；旋转了______度．（写出一个即可） (2)若点M是的中点，则经过上述旋转后，点M转到了的______点．（选填“中”或“三等分”） (3)求的度数． 【答案】(1)A；60 (2)中 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，作答即可； （2）根据旋转的性质，得到，根据点M是的中点，得到旋转后点M转到了的中点； （3）根据旋转的性质，得到，再根据角的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为的度数，为； （2）∵旋转， ∴， ∵点M是的中点， ∴经过上述旋转后，点M转到了的中点； 故答案为：中； （3）∵是等边三角形， ． 由旋转性质，可得：． ∴． 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如图，数轴上有一个等边，点与原点重合，点与表示的点重合，经过平移或轴对称或旋转都可以得到． (1)沿数轴向右平移得到，则平移的距离是 个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是过 点且垂直于的直线；绕原点O顺时针旋转得到，则旋转角度至少是 度； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)5，， (2) 【分析】本题考查了旋转，平移，轴对称，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接利用平移，轴对称，旋转的定义求解即可； （2）可证明为等边三角形，则可求． 【详解】（1）解：点与表示的点重合，沿数轴向右平移得到，则平移的距离是5个单位长度； 与关于直线对称，则对称轴是线段的垂直平分线， 对称轴是过点且垂直于的直线； 绕原点O顺时针旋转得到，则旋转角度至少是的度数， 与都是等边三角形， ， ； 故答案为：5，，； （2）与都是等边三角形，且经过平移或轴对称或旋转都可以得到， ， 为等边三角形， ． 【拓展训练二 旋转中的最值探究】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向下平移5个单位后得到的，点A，，的对应点分别为点，，； (2)画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点A，，对应点分别为点，，； (3)在y轴上有一个动点P，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据平移法则“上加下减、左加右减”确定对应点，，的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质确定对应点、、，然后顺次连接即可； （3）如图：连接与y轴的交点P，根据两点之间线段最短即可解答 本题主要考查了平移作图、旋转作图、轴对称的性质等知识点，正确理解旋转的性质、平移规律是解题的关键． 【详解】（1）解：将向下平移5个单位后得到的， ∴， 故画图如下： 则即为所求． （2）解：根据旋转的性质作图如下： 即为所求． （3）解：如图： 则点P即为所求． ∵， ∴的最小值为． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，，．当点A位于______时，线段的长取得最大值为______．（用含a，b的式子表示） （2）应用：点A为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以、为边，作等边和等边，连接、． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出长的最大值． （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标，点P为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）的延长线上，；（2）①，理由见解析；②4；（3）最大值为；． 【分析】（1）根据点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （2）①根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； ②根据点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，证明，得到，由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点，易证是等腰直角三角形，得到，，即可求出线段长的最大值及此时点P的坐标． 【详解】（1）解：当点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值为， 故答案为：的延长线上，； （2）解：①，理由如下： 和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②由（1）可知，当点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值为， 是等边三角形， ， ，即线段的长的最大值为4， 长的最大值4； （3）解：如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可知，，， 是等腰直角三角形， ，， 点A的坐标为点B的坐标， ， ， 即线段长的最大值为， ， ， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 3．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，，，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． (1)如图2，若平分，则t的最小值为 ；此时﹣ 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，； ②在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 【答案】(1)5； (2),理由见解析 (3)①或；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）的最小值即第一次平分时的值；求出的度数即可求出的值； （2）用含的代数式分别表示出和，然后相减即可； （3）①分在的左侧时和在的右侧时两种情况求解； ②由题意得，，，，从而，，进而可得； 【详解】（1）解：由题意可得：, ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵，， ∴； （3）解：①如图4， ， 当在内部时， ∵，，， ∴， ∴， 如图5： ， 当在外部时， ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：或； ②如图6： ， ∵，， ∴； 【拓展训练三 旋转中的规律探究题】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）如图在的小正方形网格中，的顶点A、B、C在网格的格点上，将向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，将按一定规律顺次旋转，第1次将绕点B顺时针旋转得到，第2次将绕点顺时针旋转得到，第3次将绕点顺时针旋转得到，第4次将绕点顺时针旋转得到，依次旋转下去． (1)在网格画出和 (2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好是． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）把A、B、C三点将向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，顺次连接得到的各点即可；根据旋转的性质得到的位置，然后顺次连接即可； （2）根据题中的规律旋转，作出相应的图形，由图形可得出至少在第8次旋转后所得的三角形刚好是． 【详解】（1）解：如图所示，和为所求的三角形； （2）解：根据题意画出图形，由图形可得出至少在第8次旋转后所得的三角形刚好是． 【点睛】此题主要考查了平移变换，以及旋转变换作图，关键是找到各点平移、旋转后的对应点，然后作图即可． 2．（25-26七年级上·上海宝山·期中）中，，垂足为，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． (1)当点在线段上，时，如图①，请直接写出线段，，的数量关系__________； (2)当点在线段延长线上，时，如图②；当点在线段延长线上，时，如图③；请猜想图②、图③中线段，，的数量关系，并写出它们的证明过程； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则_____________． 【答案】(1) (2)图②，；图③，；证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理，根据条件选用恰当的方法判定三角形全等是解题的关键． （1）先证明，再通过边的转化，即可得到； （2）根据图②，同理（1）的证明方法，得到，再通过边的转化，即可得到；根据图③，同理（1）的证明方法，得到，再通过边的转化，即可得到； （3）根据图①②③和，，分别计算出的长即可． 【详解】（1）解：． 理由如下： ， ． ， ， ． 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ． 在和中， ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）解：图②，；图③，． 证明如下： 如图②， 交的延长线于点， ． ， ， ． 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ． 在和中， ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， 即； 如图③， 交的延长线于点， ． ， ， ， ． 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ． 在和中， ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， 即． （3）解：如图①， 四边形是平行四边形， ，， ． ，， ， ， ； 如图②， 四边形是平行四边形， ，， ． ，， ， ， ， ， 故不符合题意，舍去； 如图③， 四边形是平行四边形， ，， ． ，， ， ， ． 综上，或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点A、O、D在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么 ． 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数；（写解答过程） ②当时， （用含的式子表示）． 【解决问题】 （3）如图①，将三角板绕点O顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点O逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出t的值． 【答案】（1）；（2））①，②；（3）存在，t的值为或秒 【分析】（1）本题由角平分线性质可知，，再利用，即可解题． （2）①本题由题意得到，根据，，得到，，再利用，即可解题． ②本题求解过程与①类似． （3）本题根据与两角平分线的夹角为，分为以下两种情况①与相遇前，②与相遇后，再根据旋转过程中的等量关系，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：、分别平分和 ，， ， 故答案为：． （2）解：①， ， ，， ． ②， ， ，， ， 故答案为：． （3）解：存在，t的值为或秒，理由如下： 由题知， 与两角平分线的夹角为， ①与相遇前， 由（2）②可知， 即， 解得秒； ②与相遇后， 记旋转到，旋转到，且， 有， 即有， 解得秒， 综上所述， t的值为或秒． 【点睛】本题考查角平分线的性质、代数式的相关知识、角的运算、旋转的性质，解题的关键在于找出几何图形中角度的数量关系． 1．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）正六边形绕着它的中心至少旋转多少度后才能与它本身完全重合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 正六边形是旋转对称图形，其最小旋转角度为除以边数． 【详解】解：∵正六边形绕中心旋转的整数分之一能与自身重合， ∴最小旋转角度为 ∴至少旋转后才能与它本身完全重合． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转变换的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】A．两个三角形的大小不一样，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到， B．两个三角形成抽对称，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到， C. 一个三角形可以通过另一个三角形平移得到，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到， D．能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形， 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转变换的定义，掌握图形的旋转变换，是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海金山·期中）如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．旋转后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中与不是对应角，不能判断相等． 【详解】解：根据旋转的性质可知， 点与点是对应点，，，． 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图，正方形的边长为一个边长为的小正方形沿着正方形的边连续翻转(小正方形起始位置在边上)，当这个小正方形翻转到边的终点位置时，它的方向是（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意画出小正方形连续翻转后的草图，由此即可解答． 【详解】根据题意画出小正方形沿着正方形的边，连续地翻转到边的终点位置时的图形（如图），由此可得，小正方形回到边的终点位置时它的方向是向下． 故选C．    【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，根据题意画出小正方形连续翻转后的草图是解决问题的关键． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转和平移，坐标与图形，根据题意，画出变换后的图形即可求解，掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意作图如下： 由图可得，点坐标为， 故选：． 6．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 7．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程： ． 【答案】先将图形①绕点D顺时针旋转，再向下平移3个方格（答案不唯一） 【分析】如图（见解析），先将图形①绕点D顺时针旋转得到图形③，再将图形③向下平移3个方格即可得到图形②． 【详解】如图，先将图形①绕点D顺时针旋转得到图形③，再将图形③向下平移3个方格可得到图形② 故答案为：先将图形①绕点D顺时针旋转，再向下平移3个方格．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了图形的旋转与平移，掌握图形的旋转与平移的相关概念是解题关键． 8．（25-26七年级上·上海宝山·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是 【答案】 【分析】本题考查了找旋转中心．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，则问题可求解． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示： ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴点E的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示： ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴点N的坐标为， 综上所述：这个旋转中心的坐标为或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如图，中，，，，点在边上运动且点不与点、重合，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接交边于，则长度最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 过点作交于点，利用勾股定理解，得到的长，利用勾股定理解，得到的长，分析出点的位置，再结合勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵绕点逆时针旋转得线段， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴最小时，最大， ∴当时，最小，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 【答案】(1)能 (2)3；点，点，线段的中点 【分析】本题考查了旋转的相关知识，熟知旋转的概念和旋转中心的概念是解题的关键． （1）由于两个正方形边长相等，则两个正方形是全等图形，故能通过旋转使得两个图形重合； （2）绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度或或绕的中点顺时针旋转都能使正方形与正方形重合，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的边长相等， ∴正方形和正方形是全等图形， ∴正方形旋转后能与正方形重合； （2）观察图形，可知四边形绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度就能与正方形重合，或绕的中点顺时针旋转也能与正方形重合， ∴平面上可以作为旋转中心的点共有三个， 即点A、点B和线段的中点． 12．（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，若绕某个点顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是______； (2)旋转的度数是______； (3)若，则______． 【答案】(1)点 (2) (3) 【分析】本题考查的是图形旋转的性质，即：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． （1）找出两重合三角形的公共顶点即可得出其旋转中心； （2）根据两重合边所夹的角度即可求出旋转的度数； （3）根据图形旋转的性质，即对应边相等可直接进行解答． 【详解】（1）解：绕某个点顺时针旋转后与重合， 点即为两三角形的公共顶点， 旋转中心是点． 故答案为：点； （2）解：绕某个点顺时针旋转后与重合， 与重合， ， 旋转的度数为：． 故答案为：； （3）解：由题意知和是对应线段，根据旋转的性质可得． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图，在方格纸中绕点逆时针旋转得到，请在方格纸中画出，并标注好字母． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图，旋转，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 将点分别绕点逆时针旋转得到点，再顺次连接即可． 【详解】解：即为所作： 14．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，画旋转图形，旋转的性质； （1）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据旋转的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （3）连结交于一点，根据图形可得可以看作是绕点顺时针旋转得到，即可求解． 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示． （2）旋转后的图形如图所示． （3）如图，连结交于一点， 可以看作是绕点顺时针旋转得到． 15．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）如图，两个形状，大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，，与直线重合，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)如图①试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系． （1）利用含有、的三角板得出，进而求出即可； （2）设，，则，进而利用求出即可； （3）首先得出值不变，设运动时间为t秒，则，表示出和的度数即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ； （2）设，， 则， ， ， ， ． （3）不变． 设运动时间为秒，则， ，． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $