专题01 分式及其性质重难点题型专训（2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 分式及其性质重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 分式的判断 题型二 按要求构造分式 题型三 分式有（无）意义的条件 题型四 分式的求值 题型五 判断分式变形是否正确 题型六 求使分式变形成立的条件 题型七 最简分式 题型八 约分 题型九 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型十 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十一 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型十二 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型十三 将分式的分子分母各项系数化为整数 拓展训练一 分式的规律性问题 拓展训练二 分式的新定义问题 拓展训练三 倒数法求分式的值 知识点一：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母含有未知数且不为0，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不符合题意； B、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不符合题意； C、是分式，故该选项符合题意； D、是多项式，是整式，不是分式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）在，，，，中，分式的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式逐个判断各式即可求． 【详解】解：在，，，，中，，，是分式，共3个， 故答案为：3． 知识点二：分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海闵行·期中）要使分式的值为零，则应满足条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 分式的值为零需分子为零且分母不为零，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子且分母， 解得（此时，满足条件）． ∴应满足， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为：分子为零，且分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零 ∴且， ∴， 故答案为：． 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（25-26七年级上·上海嘉定·期中）在式子，，，中，分式有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，关键是抓住分母中是否含有字母，注意常数（如或数字）作为分母时，不是分式；根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断分母是否含有字母． 【详解】解：对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母是常数（圆周率），不含字母，不是分式； 对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母是常数，不含字母，不是分式． ∴ 分式有2个． 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查分式的定义，解题关键在于掌握运用分式的概念．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含字母则不是分式，根据概念解答即可． 【详解】解：，这三个式子分母中含有字母，因此是分式； 而式子，分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 ． 【答案】 【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可． 【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0， ∴x2+1≠0， ∴是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·课前预习）式子，， ，与分数一样都是 （即A÷B）的形式，分数的分子A与分母B都是 ，而这些式子中的A与B都是 ，并且B中都含有字母． 【答案】 整数 整式 【解析】略 4．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 【经典例题二 按要求构造分式】 【例2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（    ）小时． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出全程，及后来行驶的速度，相除即可得到时间． 【详解】解：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，故全程为60t千米， 该车的速度每小时增加千米后的速度为每小时（60+v）千米， 则从A城到B城需要小时， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海长宁·期末）近几年某市的城市绿化率逐年增加，其中2022年，2023年，2024年鞍山的城市绿化面积分别是，，，2024年与2023年相比，鞍山城市绿化的增长率提高（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出2024年与2023年城市绿化的增长率，相减即可． 【详解】解：2023年城市绿化的增长率为：； 2024年城市绿化的增长率为：； 2024年与2023年相比，鞍山城市绿化的增长率提高； 故选：C． 【点睛】本题考查了列分式，解题关键是熟悉增长率的求法，正确列出分式并作差． 2．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）根据表格中的信息，请写出一个含的分式： ． … 0 1 2 … 分式的值 … * 无意义 * * … 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的值，分式无意义的条件，根据时，分式的值无意义可知分母含有因式，再根据时，分式的值为解答即可． 【详解】解：满足条件的分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）列式表示下列各量： （1）某村有n个人，耕地，则人均耕地面积为 ． （2）的面积为S，边的长为a，则高为 ． （3）一辆汽车行驶了，则它的平均速度为 ；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为 ． 【答案】 / 【分析】根据各题的基本数量关系，列出分式，即可． 【详解】解：（1）某村有n个人，耕地，则人均耕地面积为； （2）由a∙AD=S，可得：AD=； （3）一辆汽车行驶了，则它的平均速度为；列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为． 故答案是：，，，． 【点睛】本题主要考查列分式，理解各题的基本数量关系，是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意可用代数式表示出原计划修建这条公路需要的天数和实际修建这条公路需要的天数； （2）根据（1）中的答案可以表示出实际修建这条公路的工期比原计划缩短的天数． 【详解】（1）解：根据题意得，公路长为，计划每天修建公路， ∴原计划修建这条公路需要天， 又∵每天修建公路的长度比原计划增加， ∴实际修建这条公路用了天； （2）解：根据（1）可知， 实际修建这条公路的工期比原计划缩短了天． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解答此类问题的关键是明确题意，用相应的分式表示出题目中的所求问题． 【经典例题三 分式有（无）意义的条件】 【例3】（25-26七年级上·上海静安·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：． 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海奉贤·课前预习）（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义与无意义的条件； （1）根据分式有意义可得，再进一步求解即可； （2）根据分式无意义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）根据下表中的信息，请写出一个只含有字母且符合表中要求的分式 ．（写出一个即可） 分式 无意义 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值为零的条件，根据题意可得分式分子可以为，分式分母可以为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：根据题意可得，分式分子可以为，分式分母可以为， ∴符合表中要求的分式为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）（1）若分式有意义，则分母 0，则a应满足 ； （2）若分式没有意义，则分母 0，则x应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有无意义的条件， 对于（1），根据分式有意义可知，可得答案； 对于（2），根据分式没有意义可得，可得答案. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得； ∵没有意义， ∴， 解得. 故答案为：；；=，. 【经典例题四 分式的求值】 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，，，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：由，得，，． ∴原式． ∵， ∴原式； 故选B． 1．（24-25七年级上·上海·期中）a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，即可得得到，再由即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴ ∴， ∵， ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．先将，化成，再代入式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，则代数式的值= ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用等知识，先求出，把变形为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海静安·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 【经典例题五 判断分式变形是否正确】 【例5】（25-26七年级上·上海宝山·期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【详解】解：， 故选C． 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×）  ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√）  ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的基本性质及最简分式的判断．需逐一分析各小题的正确性，计算得分总和即可得到答案． 【详解】解：① 代数式的分母不含字母，不是分式；的分母含字母，是分式，故此题做对，得20分． ② 分式有意义需分母，即，故此题做对，得20分． ③ 分式值为0时，分子得，但时分母为0，舍去，故，故此题做错，不得分． ④ 分式变形为需分子分母同乘非零数，而非加1，变形错误，故此题做错，不得分． ⑤ 分式分子无法分解，分母可提取公因式，但无公共因式，是最简分式，此题做对，得20分． 综上，得分分， 故选B． 2．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）将分式化成分母为x（x－2）的分式： ． 【答案】 【分析】将分子、分母同时乘上即可． 【详解】解：将分子、分母同时乘上 ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是：掌握分式的基本性质． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以） ，分式的值不变，用式子可表示为 ， （其中M是不等于零的整式）． 【答案】 同一个不等于零的整式 【分析】根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．用式子可表示为， （其中M是不等于零的整式）． 故答案为：同一个不为0的整式；． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）对分式的变形： 小张同学的解法是：； 小马同学的解法是：． 请判断小张、小马两同学的解法是否正确，并说明理由． 【答案】小张同学的解法正确，小马同学的解法不正确，理由见解析 【分析】此题考查了分式的基本性质和约分．根据分式的基本性质和约分进行判断即可． 【详解】解：小张同学的解法正确，小马同学的解法不正确． 理由：小张的解法运用了约分，根据分式的基本性质， 当分式有意义时，其隐含条件为分母，故可以将分子分母的公因式约去， ∴小张的解法正确 小马同学在进行分式的变形时，分子、分母同时乘以，而可能为0， 小马同学的解法不正确． 【经典例题六 求使分式变形成立的条件】 【例6】（24-25七年级上·上海宝山·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）根据分式的基本性质填空：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论． 【详解】解：∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得，， ∴括号内应填x-1． 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （2）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （3）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （4）根据分子从变为可知①②其中一个为，进而根据平方差公式作答即可． 【详解】解：（1） 故答案为：，，； （2） 故答案为：，，； （3） 故答案为：，，； （4） 故答案为：，，． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）填空 （1），； （2），． 【答案】（1），；（2）a， 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：（1）因为的分母除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即 ． 同样地，因为的分子除以才能化为，所以分母也需除以，即． 所以，括号中应分别填：和． （2）因为的分母乘a才能化为，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即 ． 同样地，因为的分母乘b才能化为，所以分子也需乘b，即 ． 所以，括号中应分别填：a和． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【经典例题七 最简分式】 【例7】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、，原分式不是最简分式，不符合题意． 故选：A． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若分式是最简分式，则表示的整式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：A、，分式不是最简分式，不符合题意； B、，分式是最简分式，符合题意； C、，分式不是最简分式，不符合题意； D、，分式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）分式化成最简分式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级上·上海虹口·课后作业）请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【答案】答案不唯一，具体见解析 【分析】根据题意选取两个整式分别作为分子和分母，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下： ； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟知方式的基本性质是解题的关键． 【经典例题八 约分】 【例8】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分，约分的依据是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键；对各选项进行约分即可作出判断． 【详解】解：A、，约分错误； B、，约分错误； C、的分子、分母没有公因式，不能约分，约分错误； D、，约分正确； 故选：D． 1．（25-26七年级上·上海金山·阶段练习）如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和． 设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果． 【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时， 空置部分的体积， 则瓶子的总体积， 所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：． 故选：A． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简，根据平方差公式和约分的方法即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）一个长与宽都不相等且都取整数的长方形，它的周长的数值与面积的数值相等，则这个长方形的长与宽分别是 与 ． 【答案】 6 3 【分析】本题主要考查了分式的化简．设长方形的长和宽分别为x，y（其中x，y为正整数，且），由题意可得，从而得到，进而得到是4的正约数，即可求解． 【详解】解：设长方形的长和宽分别为x，y（其中x，y为正整数，且），由题意，得 ， 所以． 由此知是4的正约数， 即或2或4， ∴或4或6．相应地或4或3． ∵， ∴这个长方形的长与宽分别是6与3． 故答案为：6；3． 4．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的约分，根据分式的基本性质进行约分即可． （1）找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）把分母和分子因式分解，找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【经典例题九 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例9】（24-25七年级上·上海嘉定·课后作业）使分式的值为正数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵分式的值为正数 ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若分式的值为正数，请写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要使分式的值为正数，根据分式的性质，分子是（正数），那么分母也得是正数，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可．本题主要考查了分式值的符号确定以及一元一次不等式的求解，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：∵ 分式的值为正数，分子 ∴ 分母，即， 解得 取（满足 ） 故答案为：（答案不唯一，只要 即可 ） ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）填空： （1）当x为 时，分式的值为0； （2）当为 时，分式的值为正； （3）当为 时，分式的值为负． 【答案】 2 />-0.5 【分析】（1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； 故答案为：2； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得：x， 故答案为：； （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：x， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 【经典例题十 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例10】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 1．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，先根据分式的加减运算法则将原式化简为，结合题意得出或或，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵为整数，且为正整数， ∴或或， 解得：或或， ∴则满足条件的的值有个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）整数 为 时，式子为整数． 【答案】 【分析】由式子为整数可知或或或，从而可解得m的值．考查的是分式的值，根据式子为整数确定出的值是解题的关键． 【详解】∵， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知x为整数，且的结果也为整数，则所有符合条件的x的值的乘积为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，正确理解条件是解题的关键．首先把分式进行化简，式子的值的是整数的条件是分母是分子的因数，据此即可确定． 【详解】解： 式子的值是整数，则或． 则或1或4或2． 则所有符合条件的值的乘积为． 故答案为：40 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 【经典例题十一 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例11】（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质判定即可． 【详解】解： A. ，故A选项错误，不符合题意 B. ，故B选项错误，不符合题意 C.，故C选错误，不符合题意 D. ，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 1．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）如果把分式中的，都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由分式中的，都扩大到原来的倍， 则， ∴扩大到原来的倍， 故选：． 2．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入 ；            （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ；         （4），括号内应填入 ． 【答案】 x 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质及有理数的乘方，先利用分式的性质化简，再根据有理数的乘方的符号规律可得的最大值为，进而可求解，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 的最小值为， 的最大值为， 的最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 4．（24-25七年级·上海·假期作业）若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？ (1) (2) (3) 【答案】(1)不变 (2)不变 (3)不变 【分析】（1）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答； （2）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答； （3）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答． 【详解】（1）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变； （2）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变； （3）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质等知识点，灵活运用分式的基本性质是解答本题的关键． 【经典例题十二 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例12】（24-25七年级上·上海松江·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ． 【答案】 【分析】把分子分母同时除以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①= ；   ②= ； ③= ；④= ． 【答案】 【详解】①= ; ②=; ③= ④=.故答案为  (1).     (2).     (3).     (4). 4．（2025七年级上·上海崇明·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （2）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （3）同时改变分子，分母的符号，分式的值不变． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）． （2）． （3）． 【经典例题十三 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例13】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质、代数式求值、分式的基本性质等知识点，运用等式的基本性质得到成为解题的关键． 根据等式的基本性质得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 2．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 分式的分子分母都乘以10，可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球 个． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为天，可得实际的时间为天，进一步可得答案. 【详解】解：由题意可得， 实际每天生产篮球为：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把分式的分子、分母同时乘以10即可得出结论； （2）把分式的分子、分母同时乘以30即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【拓展训练一 分式的规律性问题】 1．（2025七年级上·上海金山·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，熟练掌握运算法则得出规律是解题的关键． （1）根据所给第1到4个等式的规律，写出第6的等式； （2）根据第个等式与等式内的数字对应规律，写出第个等式； （3）依据第（2）问中的规律，应用规律计算可得出答案． 【详解】（1）解：根据规律第6个等式：． （2）解： 根据规律，猜想的第个等式： ． （3）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 【拓展训练二 分式的新定义问题】 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 3．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 【拓展训练三 倒数法求分式的值】 1．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ， ，即， ， ． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用） 【例】已知实数满足，求分式的值． 解：观察所求式子的特征，因为，我们可以先求出的倒数的值， 因为 所以 【活学活用】 (1)已知实数满足，求分式的值； (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1） （2）， ，即， ， ， 【点睛】此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 3．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的求值，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的求值方法是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，再进一步利用完全平方公式计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 ∴， ∴． （2）解：设， 则， ． 1．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式,通过检查每个选项是否可约分，即可判断． 【详解】解：选项A：，分子4和分母有公因数4，可约分为，不是最简分式； 选项B：，分子和分母有公因式b，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子y和分母没有公因式，是最简分式。 选项D：， ，与分子有公因式，可约分为，不是最简分式； 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海崇明·期中）如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的9倍 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，即分式的分子和分母同乘或同除同一个不为零的数，分式的值不变． 根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变． 【详解】∵和都扩大为原来的 3 倍，即 ，， ∴， ∴代数式的值不变． 故选：C． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的变化规律，完全平方公式，先根据题意求出第1个数，第3个数，第5个数，找出规律，再根据完全平方公式求解． 【详解】解：设第1个数为x，第3个数为y，第5个数为z， 由题意，得：， ∴， ∴这组数据为，……， 即这组数以，6个为一组，进行循环， ∵， ∴第2024个数是；第2027个数是， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级上·上海普陀·期中）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 6．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）若，则分式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键． 将已知条件代入分式中，通过化简分式计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 7．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 8．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）若分式的值为0，则x的值是 ；若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；当 时，分式无意义． 【答案】 1 【分析】本题考查分式有无意义，分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0；分式有意义的条件：分母不为0；分式无意义的条件：分母为0，分别求解即可． 【详解】解：若分式的值为0，则， 解得； 若分式有意义，则分母，解得； 若分式无意义，则分母，解得； 故答案为：1，， 9．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算： ． 【答案】​​​​​​​ 【分析】本题考查分式化简求值及规律，根据，得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：； 10．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】 2或6 【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或5， ∴或6， 故答案为：2或6； 11．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的约分： （1）先把分子分母因式分解，再约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）（1）当满足什么条件时，分式有意义？ （2）当时，求分式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）分母不等于0时分式有意义，据此求解即可； （2）将代入分式求值即可． 【详解】解：（1）分式有意义，即， 解得， 当时，分式有意义． （2）当时，原式． 13．（25-26七年级上·上海青浦·单元测试）阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可． 【详解】解：方法一：∵， ∴，， ∴ ； 方法二：∵， ∴， 设，则， ∴ ． 14．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)3 【分析】（1）根据题中材料所给变化情况即可得到变化情况； （2）按照材料中的恒等变形方式将表示为，令，则，根据题中材料所给变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中材料可知，对于： 当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小； 中值的变化只与值的变化有关， 当时，随着的值的增大，的值随之减小；当时，随着的值的增大，的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：， 令，则， 当时，即，随着的值的增大，值也增大，则值随之减小，并无限接近0，则的值随之减小，并无限接近0， 的值无限接近3． 【点睛】本题考查规律探究，涉及阅读理解、分式定义、分式的化简等知识，读懂材料中的方法是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式及其性质重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 分式的判断 题型二 按要求构造分式 题型三 分式有（无）意义的条件 题型四 分式的求值 题型五 判断分式变形是否正确 题型六 求使分式变形成立的条件 题型七 最简分式 题型八 约分 题型九 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型十 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十一 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型十二 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型十三 将分式的分子分母各项系数化为整数 拓展训练一 分式的规律性问题 拓展训练二 分式的新定义问题 拓展训练三 倒数法求分式的值 知识点一：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）在，，，，中，分式的个数是 个． 知识点二：分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海闵行·期中）要使分式的值为零，则应满足条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）当 时，分式的值为零． 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（25-26七年级上·上海嘉定·期中）在式子，，，中，分式有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·课前预习）式子，， ，与分数一样都是 （即A÷B）的形式，分数的分子A与分母B都是 ，而这些式子中的A与B都是 ，并且B中都含有字母． 4．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【经典例题二 按要求构造分式】 【例2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（    ）小时． A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海长宁·期末）近几年某市的城市绿化率逐年增加，其中2022年，2023年，2024年鞍山的城市绿化面积分别是，，，2024年与2023年相比，鞍山城市绿化的增长率提高（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）根据表格中的信息，请写出一个含的分式： ． … 0 1 2 … 分式的值 … * 无意义 * * … 3．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）列式表示下列各量： （1）某村有n个人，耕地，则人均耕地面积为 ． （2）的面积为S，边的长为a，则高为 ． （3）一辆汽车行驶了，则它的平均速度为 ；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为 ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 【经典例题三 分式有（无）意义的条件】 【例3】（25-26七年级上·上海静安·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海奉贤·课前预习）（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）根据下表中的信息，请写出一个只含有字母且符合表中要求的分式 ．（写出一个即可） 分式 无意义 4．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）（1）若分式有意义，则分母 0，则a应满足 ； （2）若分式没有意义，则分母 0，则x应满足 ． 【经典例题四 分式的求值】 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 1．（24-25七年级上·上海·期中）a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）若，则 ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，则代数式的值= ． 4．（25-26七年级上·上海静安·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【经典例题五 判断分式变形是否正确】 【例5】（25-26七年级上·上海宝山·期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×）  ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√）  ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 2．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）将分式化成分母为x（x－2）的分式： ． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以） ，分式的值不变，用式子可表示为 ， （其中M是不等于零的整式）． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）对分式的变形： 小张同学的解法是：； 小马同学的解法是：． 请判断小张、小马两同学的解法是否正确，并说明理由． 【经典例题六 求使分式变形成立的条件】 【例6】（24-25七年级上·上海宝山·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）根据分式的基本性质填空：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）填空 （1），； （2），． 【经典例题七 最简分式】 【例7】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若分式是最简分式，则表示的整式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）分式化成最简分式为 ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·课后作业）请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【经典例题八 约分】 【例8】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·上海金山·阶段练习）如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）化简的结果是 ． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）一个长与宽都不相等且都取整数的长方形，它的周长的数值与面积的数值相等，则这个长方形的长与宽分别是 与 ． 4．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）约分： (1)； (2)． 【经典例题九 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例9】（24-25七年级上·上海嘉定·课后作业）使分式的值为正数的条件是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若分式的值为正数，请写出一个满足条件的x的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）填空： （1）当x为 时，分式的值为0； （2）当为 时，分式的值为正； （3）当为 时，分式的值为负． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【经典例题十 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例10】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 1．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）整数 为 时，式子为整数． 3．（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知x为整数，且的结果也为整数，则所有符合条件的x的值的乘积为 ． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【经典例题十一 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例11】（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）如果把分式中的，都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的倍 2．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入 ；            （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ；         （4），括号内应填入 ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 ． 4．（24-25七年级·上海·假期作业）若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？ (1) (2) (3) 【经典例题十二 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例12】（24-25七年级上·上海松江·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①= ；   ②= ； ③= ；④= ．      4．（2025七年级上·上海崇明·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【经典例题十三 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例13】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球 个． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． (1)； (2)． 【拓展训练一 分式的规律性问题】 1．（2025七年级上·上海金山·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. ．（24-25七年级上·上海宝山·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【拓展训练二 分式的新定义问题】 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 3．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【拓展训练三 倒数法求分式的值】 1．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用） 【例】已知实数满足，求分式的值． 解：观察所求式子的特征，因为，我们可以先求出的倒数的值， 因为 所以 【活学活用】 (1)已知实数满足，求分式的值； (2)已知实数满足，求分式的值． 3．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值． 1．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海崇明·期中）如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的9倍 3．（2025·上海宝山·模拟预测）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 4．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海普陀·期中）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 6．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）若，则分式的值是 ． 7．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 8．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）若分式的值为0，则x的值是 ；若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；当 时，分式无意义． 9．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算： ． 10．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 11．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）约分： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）（1）当满足什么条件时，分式有意义？ （2）当时，求分式的值． 13．（25-26七年级上·上海青浦·单元测试）阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 14．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 15．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 学科网（北京）股份有限公司 $