第4章三角形 章末复习（一）尺规作图、垂直平分线三角形综合复习2025-2026学年湘教版数学八年级上册

尺规作图、垂直平分线三角形综合复习 一．选择题（共8小题） 1．下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　） A．B． C． D． 2．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　） A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD 3．如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．AE＝AC C．DE＝DC D．∠ADE＝∠BDE 5．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，点M，交AB于点E，交AC于点F，若BC＝4，则△ADM的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 （第2题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图） 6．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，连接BE，CE，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△BPC的面积为acm2，则△ABC的面积为（　　）cm2 A．1.5a B．2a C．2.5a D．3a 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点E，交AD于点F，下列说法不一定正确的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．2∠ABE＝∠CAD C．BF＝2DF D．AF＝AE （第6题图） （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） （第11题图） 二．填空题（共5小题） 9．将一副三角板按如图所示的方式放置，则图中∠BAF的度数为　 　 ． 10．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于二分之一倍的BC的长度为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝24°，则∠ACB的度数为 　 　 ． 11．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ 　 　 °． 12．如图，DE和DF分别是线段AB和BC的垂直平分线，若∠A＝70°，∠C＝40°，则∠B的度数为　 　 ． 13．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． （第12题图） （第13题图） 三．解答题（共7小题） 14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 15．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的　 　 ，射线AE是∠DAC的　 　 ；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF． 求证：（1）△ADF是等腰三角形． （2）DF＝2EF． 17．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△ECD均是等边三角形．BE与AC交于点H，AD与CE交于点G． （1）求证：△BCE≌△ACD； （2）判断GH与BD的位置关系，并证明． 18．如图1，等腰直角△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，点D在BA的延长线上，连接CD．过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接BE． （1）求证：AB⊥BE． （2）如图2，若点N为BD的中点，连接CN、AE，求证：AE＝2CN． 19．在Rt△ABC中．∠ABC＝90°，点D在边AC上，CD＝AB．点E在△ABC的边上或内部，连接CE、DE，∠ECD＝∠CAB，∠EDC∠ACB． （1）如图1，当点E在边BC上时，连接BD． ①∠ACB＝　 　 °； ②求证：DE＝BD； （2） 如图2，当点E在△ABC的内部时，用等式表示线段CE，BC，AC的数量关系，并证明． 20．【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝3，AD＝2，若AC边的长度为奇数，求AC的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE．由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC＝BE． （1）请根据小明的方法思考，直接写出AC可能的长＝　 　 （写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，AC＝BF．探究∠AFE与∠EAF的关系，并说明理由． 【深入探究】：（3）如图3，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K，CQ，CK＝3，则S△BCE＝　 　 ． 尺规作图、垂直平分线三角形综合复习参考答案 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C D A D B C 一．选择题（共8小题） 1．解：A．CD不是任何边的高，∴此选项错误，不符合题意； B．AD不是任何边的高，∴此选项错误，不符合题意； C．BD是AC边的高，∴此选项错误，不符合题意； D．AD是BC边的高，∴此选项正确，符合题意 ∴选：D． 2．解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件． ∴选：D． 3．解：由作图过程可知，射线BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABC＝2∠CBD． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠AED＝60°． ∴选：C． 4．解：从作图痕迹可知，AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB（因为E在AB上，且作图痕迹显示DE是到AB的垂线， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°． 又∵DE⊥AB， ∴∠BDE+∠B＝90°． ∴∠BDE＝∠BAC， 选项A正确，不符合题意． ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD； 又∵∠C＝∠AED＝90°，且AD＝AD， ∴△ACD≌△AED（AAS）． 由全等三角形的性质，可得AE＝AC， 选项B正确，不符合题意． 由△ACD≌△AED可得DE＝DC， 选项C正确，不符合题意． 要使∠ADE＝∠BDE，需DE是AB的垂直平分线，但从作图和已知条件中，无法推出这一结论． ∴∠ADE≠∠BDE， 选项D错误，符合题意． ∴选：D． 5．解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵MF是AC的垂直平分线， ∴MA＝MC， ∴△ADM的周长＝DA+DM+MA＝DB+DM+MC＝BC＝4， ∴选：A． 6．解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为12， ∴S△ADCS△ABC12＝6，S△BDE＝S△CDE， ∴S△BDE+S△AEC＝S△CDE+S△ACE＝S△ADC＝6， ∴选：D． 7．解：延长AP交BC于点D，如图所示： ∵AP⊥BP于P， ∴∠APB＝∠DPB＝90°， ∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠ABP＝∠DBP， 在△ABP和△DBP中， ， ∴△ABP≌△DBP（ASA）， ∴AP＝DP，S△ABP＝S△DBP， ∴△ACP的边AP上的高与△DCP的边DP上的高相同， ∴S△ACP＝S△DCP， ∴S△ABP+S△ACP＝S△DBP+S△DCP＝S△BPC＝a（cm2）， ∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP+S△BPC＝2a（cm2）． ∴选：B． 8．解：由作图过程可知，BE为∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE． ∴A选项正确，不符合题意； ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD． ∵BE为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝2∠ABE， ∴2∠ABE＝∠CAD． ∴B选项正确，不符合题意； ∵∠C+∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠C． ∵∠AFE＝∠ABF+∠BAF，∠AEF＝∠C+∠CBE， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE． ∴D选项正确，不符合题意； 根据题意无法得出BF＝2DF， ∴C选项不一定正确，符合题意． ∴选：C． 二．填空题（共5小题） 9．解：∵将一副三角板按如图所示的方式放置， ∴∠B＝45°，∠DFE＝60°， ∴∠BAF＝∠DFE﹣∠B＝15°， ∴答案为：15°． 10．解：∵MN垂直平分线段BC， ∴DC＝DB， ∴∠DCB﹣∠B＝24°， ∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝48°， ∵CD＝AC， ∴∠A＝∠ADC＝48°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝108°． ∴答案为：108°． 11．解：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°， 由作图知，AF平分∠BAC， ∴∠BAF∠BAC＝50°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝50°， ∴∠BAD＝40°， ∴∠DAF＝∠BAF﹣∠BAD＝10°， ∴答案为：10． 12．解：连接BD，如图1， ∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线， ∴AD＝BD，CD＝BD， 即AD＝BD＝CD， ∴∠A＝∠2＝70°，∠1＝∠C＝40°， ∴∠ABC＝∠1+∠2＝70°+40°＝110°， ∴答案为：110°． 13．解：如图， 观察图形可知∠3与∠1所在的直角三角形全等， ∴∠1＝∠3， ∵∠4＝45°， ∴∠1+∠2＝∠3+∠2＝∠4＝45°， ∴答案为：45°． 三．解答题（共7小题） 14．（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为42cm， ∴AB+BC+AC＝42cm， ∵AC＝16cm， ∴AB+BC＝26cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴． 15．解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线； ∴答案为：③，②； （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴∠BAD＝∠B＝40°， ∵∠B＝40°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∵AE平分∠CAD， ∴∠DAE∠CAD50°＝25°． 16．证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BFE， ∵∠BFE＝∠DFA， ∴∠D＝∠DFA， ∴AD＝AF， ∴△ADF是等腰三角形； （2）过A作AH⊥DE于H， ∵DE⊥BC， ∴∠AHF＝∠BEF＝90°， 由（1）知，AD＝AF， ∴DH＝FH， 在△AFH和△BFE中， ， ∴△AFH≌△BFE（AAS）， ∴FH＝EF， ∴DH＝FH＝EF， ∴DF＝2EF． 17．证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD， ∵在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， （2）GH∥BD，理由为： ∵CG＝CH，且∠GCH＝60°， ∴△CGH为等边三角形， ∴∠HGC＝∠ACB＝60°， ∴GH∥BD． 18．证明：（1）∵CE⊥CD， ∴∠ACE+∠DCA＝90°． ∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝90°． ∴∠DCA＝∠ECB． ∵CE＝CD，AC＝BC， ∴△ADC≌△BEC（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC． ∵∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠DAC＝∠EBC＝90°+45°＝135°． ∴∠EBA＝135°﹣45°＝90°， ∴AB⊥BE； （2）延长CN至点K，使NK＝CN，连接DK， ∵∠DCA+∠ACE＝90°，∠BCE+∠ACE＝90°， ∴∠DCB+∠ACE＝180°， 在△DNK与△BNC中， ， ∴△DNK≌△BNC（SAS）， ∴DK＝BC＝AC，∠CBN＝∠KDN， ∴BC∥DK， ∴∠KDC+∠DCB＝180°， ∵∠KDC＝∠ACE， 又∵DK＝AC，CD＝CE， ∴△KDC≌△ACE（SAS）， ∴AE＝CK， ∴AE＝2CN． 19．（1）①解：∵在Rt△ABC中．∠ABC＝90°，∠ECD＝∠CAB， ∴∠ACB＝45°， ∴答案为：45； ②证明：∵点E在边BC上，∠ECD＝∠CAB，∠ABC＝90°， ∴∠ECD＝∠CAB＝45°， ∴BC＝AB． ∵CD＝AB， ∴CD＝BC， ∴， ∵， ∴∠EDC＝22.5°， ∴∠BED＝∠C+∠EDC＝67.5°， ∴∠BED＝∠CBD， ∴DE＝BD． （2）解：CE＝AC﹣BC，证明如下： 如图，在边AC上截取AF＝CE，连接BF， 在△CDE和△ABF中， ∴△CDE≌△ABF（SAS）， ∴∠EDC＝∠FBA， 设∠EDC＝α，则∠FBA＝α， ∵， ∴∠ACB＝2∠EDC＝2α，∠ABC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2α，∠CBF＝90°﹣∠FBA＝90°﹣α， ∴∠CFB＝∠A+∠FBA＝（90°﹣2α）+α＝90°﹣α， ∴∠CBF＝∠CFB， ∴CF＝BC， ∵AF＝AC﹣CF， ∴CE＝AC﹣BC． 20．解：（1）延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE， ∵AE﹣AB＜BE＜AB+AE， ∴4﹣3＜AC＜4+3， 即1＜AC＜7； ∵AC边的长度为奇数， ∴AC＝3或5， ∴答案为：3或5； （2）∠AFE＝∠EAF，理由如下： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠EAF＝∠M， ∵BF＝AC， ∴BF＝BM， ∴∠M＝∠BFM， ∵∠BFM＝∠AFE， ∴∠M＝∠AFE， 又∵∠M＝∠EAF， ∴∠AFE＝∠EAF； （3）延长CQ到R，使得CQ＝QR，连接AR、DR． ∵点Q是AD的中点， ∴AQ＝QD， 又∵QC＝RQ，∠AQR＝∠CQD， ∴△AQR≌△DQC（SAS）， ∴AR＝CD，∠ARQ＝∠RCD， ∴AR∥CD， ∴∠RAC+∠ACD＝180°， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CE＝CD， ∴∠BCE+∠ACD＝180°，AR＝CE， ∴∠BCE＝∠CAR， ∴△ACR≌△BCE（SAS）， ∴∠ACR＝∠CBE，BE＝CR＝2CQ＝9，CQ，CK＝3， ∵∠ACR+∠BCK＝90°， ∴∠CBE+∠BCK＝90°， ∴∠CKB＝90°， 即QK⊥BE， ∴S△BCEBE•CK9×3， ∴答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/8 21:30:14；用户：高凌；邮箱：yyhyzx20@xyh.com；学号：23684392 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $