精品解析：福建省龙岩市武平县第三中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

武平三中2025~2026学年第一学期期中检测 八年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 5，7，9 C. 2，8，10 D. 3，5，9 3. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则的长为（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 4. 在中，，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 5. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 8. 如图，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：（本大题共有6小题，每题4分，共24分） 11. 如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架被设计成很多个三角形，这样做是利用了三角形的________性． 12. 点关于x轴的对称点的坐标为_______． 13. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为，则点的坐标为________． 15. 如图，等边三角形中，，平分，平分，经过点O，且与相交于点M，N，，则_____． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 如图，，平分，证明． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出关于x轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）的面积为________； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置． 19. 如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 20. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 21. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）若是的中线，求证：是的中点． 22. 如图，在中，，，平分交于点D． （1）求证：点D在的垂直平分线上； （2）若，求的长． 23. 如图，在四边形中，平分，，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 24. 如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． （1）求的度数； （2）点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 25. 综合与实践． 在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）概念理解． 如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）． （2）性质探究． 如图，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． （3）拓展应用． 如图，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点 ①请写出图中的“筝形”：______（写出一个即可）． ②若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武平三中2025~2026学年第一学期期中检测 八年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 5，7，9 C. 2，8，10 D. 3，5，9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，判断时，只需验证两条较短线段之和是否大于最长线段，即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，能组成三角形，符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选B． 3. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则的长为（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 在中，，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形角度的计算，三角形内角和定理，解题的关键在于按比例算出各角度． 根据三角形内角和分别算出各角度即可判断． 【详解】解：， ， ∴的形状是锐角三角形，故A正确． 故选：A． 5. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 6. 如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有，根据定理逐个判断即可． 【详解】解：A、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； B、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项符合题意； D、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有． 7. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， 由题意可知：平分，，， ，， ， ， 故选：． 8. 如图，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，连接，根据三角形内角和定理可知，因为，可得：，即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 在中，， ， 知，，， ， ， ．   故选： C． 9. 如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 利用等边对等角求得，然后利用线段的垂直平分线的性质与三角形外角的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵由作图可得：的垂直平分线交于， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，即可证明得到，即可判断①②；设与的交点为，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③；过点作于，于，先证明得到，即可证明得到，假设平分，则可证得到，这与矛盾，即可判断④． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ，故②正确； 设于的交点为， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ， ，故③正确； 过点作于，于， ， 又，， ， ， 又， ， ， 假设平分， ， ，即， 又， ， ，这与矛盾， 不平分，故④错误， 故正确的有：①②③． 故选：B． 二、填空题：（本大题共有6小题，每题4分，共24分） 11. 如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架被设计成很多个三角形，这样做是利用了三角形的________性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的实际应用，理解三角形稳定性是解题的关键． 从安全角度和三角形的稳定性质进行分析即可解答． 【详解】解：从安全角度讲，塔吊机需要特别稳固，框架设计成很多个三角形是利用了三角形具有稳定性． 故答案为：稳定． 12. 点关于x轴的对称点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标关于坐标轴对称的方法“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”可直接求解． 【详解】解：由点关于轴的对称点坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 13. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的和差，三角形的内角和定理，理解角的位置关系和角的和差是解题的关键．根据三角尺的特殊角的度数可求的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意，一副三角尺， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含度角的直角三角形，度角所对的边是斜边的一半．过点作轴的垂线，垂足为点，先得出，则，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为点， ∵中， ∴， ∵， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，等边三角形中，，平分，平分，经过点O，且与相交于点M，N，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，延长交于D，由等边三角形的性质推出，，由角平分线定义得到，推出，因此点O、A在的垂直平分线上，由等边三角形的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定，得到，同理：，即可求出的长． 【详解】解：连接，延长交于D， ∵为等边三角形， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点O、A在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质推出，． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 如图，，平分，证明． 【答案】 证明：∵平分， ∴， 在与中， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上定理和定义． 利用角平分线的定义得出，再利用角角边进行证明三角形全等即可． 【详解】略 18. 如图，三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出关于x轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）的面积为________； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 、 、， （2） （3）如上图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换． （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）利用割补法求面积即可； （3）作点A关于y轴的对称点，再连接，与y轴的交点即为所求． 解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，和三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义，和三角形的内角和定理是解题的关键．由可得，由直角三角形两个锐角互余，得到，即可求得，再由平分可得，从而利用三角形的外角的性质即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 21. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）若是的中线，求证：是的中点． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵， 由（1）知：，， ∴， ∴， ∴，即是的中点． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边是解题的关键： （1）等边对等角，得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据三线合一和等角的余角相等，得到，进而得到，结合（1）中结论，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，，平分交于点D． （1）求证：点D在的垂直平分线上； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 点D在的垂直平分线上； （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的判定、角所对的直角边与斜边的关系． （1）根据题意和角平分线的定义，可以得到，然后即可得到，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论成立； （2）根据角所对的直角边和斜边的关系，可以得到，再根据即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， ． 23. 如图，在四边形中，平分，，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：如图，过点作交的延长线于， 平分，，， ，， ，， ， 在和中， ， ； （2）22 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，再根据四边形周长定义及线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，，， 平分， ， 在和中， ， ∴． 四边形的周长 ， ，， 四边形的周长． 24. 如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． （1）求的度数； （2）点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】（1） （2） 是等边三角形，理由如下： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）结合等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可； （2）结合（1）求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”求解即可． 【小问1详解】 解：在等边中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 25. 综合与实践． 在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）概念理解． 如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）． （2）性质探究． 如图，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． （3）拓展应用． 如图，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点 ①请写出图中的“筝形”：______（写出一个即可）． ②若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）是； （2）解：性质：在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，证明如下： 如图所示，连接，， ∵四边形是筝形， ∴，， 在和中， ∴（SSS）， ∴，， ∴平分，平分． （3）①四边形②的度数为或或 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，即可得四边形是筝形； （2）连接，，根据四边形是筝形得，，利用SSS证明，得，，即可得平分，； （3）①根据沿AB边翻折后得到得，可得，，即可得；②根据沿AC边翻折后得到得，可得，，即可得四边形是筝形，则，，根据得，，根据在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角得，根据四边形内角和为，得，当是等腰三角形时，有三种情况：①当时，，可得，根据平角得，根据是锐角的高得，即可得；②当时，，则，根据是锐角的高得，即可得；③当时，，即可得，根据是锐角的高得，即可得． 【详解】解：（1）∵四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形． ∴，， ∴四边形是筝形， 故答案为：是． （2）略 （3）①∵沿AB边翻折后得到， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形， 故答案为：四边形； ②∵沿AC边翻折后得到， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形， ∴，， ∵， ∴，， ∵在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况： ①当时，， ∴， ∴， ∴， ∵是锐角的高， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∵是锐角的高， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∵是锐角的高， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质、三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $