精品解析：福建省厦门第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年第一学期厦门二中高二第一次月考数学试卷 命卷教师：沈备 审卷教师：高艳敏 考试时间：2025年10月16日 （满分150分，时间120分钟） 考试范围：选择性必修一——第一章、第二章（直线与圆的位置关系） *祝考试顺利* 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l的方程为：，则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线与x轴垂直，得出结论． 【详解】因为直线l的方程为：，所以直线与x轴垂直，则直线l的倾斜角是. 故选：A 2. 已知=（2，1，﹣3），=（﹣1，2，3），（7，6，λ），若，，三向量共面，则λ= A. 9 B. ﹣9 C. ﹣3 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：，，三向量共面，存在实数m，n，使得，利用向量的线性运算与相等即可得出． 解：∵，，三向量共面， ∴存在实数m，n，使得， ∴， 解得λ=﹣9． 故选B． 点评：本题考查了向量共面基本定理，属于基础题． 3. 若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算. 【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得； 由点在圆的外部可知：，得. 故. 故选：C 4. 若，已知直线与圆：，则圆上的点到直线的距离的最小值是（ ） A. 0 B. 2 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】直线过定点，根据定点和圆的关系，即可得到结论． 【详解】由可得， 因，则，解得，即直线经过定点， 因，即点在圆内，则直线与圆相交， 故圆上的点到直线的距离的最小值为0. 故选：A. 5. 已知向量，，，若，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求得，再结合夹角公式即可求解. 【详解】由于， 故，即， 又因为， 所以，所以与的夹角为. 故选：C. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 7. 四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再利用向量求出点到直线的距离作答. 【详解】四面体满足，即两两垂直， 以点O为原点，以射线的正方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 因为，，则， 于是，， 所以点到直线的距离. 故选：A 8. 已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离最大，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果. 【详解】 三棱锥，满足两两垂直，且， 如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱, 以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系, 则， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球， 是三棱锥外接球上一动点， 由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时， 点到平面的距离最大， 点到平面的距离的最大值为.故选C. 【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 二、选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 是共线的充要条件 B. 若，共线，则AB∥CD C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一判断即可. 【详解】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确； 若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确； 由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，因为，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确； 若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确. 故选：CD 10. 在正方体中，，点分别在棱和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ） A. B. 平面 C. 线段长度的最大值为 D. 三棱锥体积不变 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，设，由可得.根据即可判断A；根据即可判断B；根据和二次函数的图象与性质即可判断C；根据等体积法计算即可判断D. 【详解】在正方体中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴， 建立空间直角坐标系，如图： ， 设， 则， 而，所以， . 对于A选项：， 则，即，故A正确； 对于B选项：，， 即CM与MN不垂直，从而MN与平面不垂直，故B不正确； 对于C选项：，则线段BN长度， 当且仅当时取“=”，故C正确； 对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面的距离均为3， 而， 所以三棱锥体积为定值，故D正确． 故选：ACD 11. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为； （2）过点，且为法向量的平面的方程为． 现已知平面，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据公认事实求出直线的方向向量与平面的法向量，用空间向量判断它们之间的位置关系. 【详解】平面，则平面法向量为， 对，则，即，所以过点，方向向量为 ，所以，所以，所以，故A错误D正确. 对，即，所以过点，方向向量为 ，点代入平面方程成立，所以与平面有公共点，故B错误； 对，所以过点，方向向量为 ， 因为，所以 ，所以或，但点代入平面不成立，故，所以，所以C正确. 故选：CD 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正三棱锥中，是的中心，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由正三棱锥的性质可得平面，从而得到，，再由向量的线性运算和数量积运算即可求得. 【详解】∵在正三棱锥中，是的中心， ∴平面，平面ABC，∴，即， ∵，， ∴， ∴. 故答案为： 13. 求过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先联立两直线方程求出交点的坐标，再根据垂直直线的斜率关系求出所求直线的斜率，最后利用点斜式方程求出直线的方程. 【详解】由直线：和：的交点，则， 即得，，即， 由直线可得斜率为， 又直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 化简整理得. 故答案为： 14. 已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据内切球半径求得正四面体的棱长，利用向量数量积运算以及球的几何性质求得的取值范围. 【详解】设正四面体的棱长为，设是等边三角形的中心，连接， 则平面，且球的球心， ， 则， 所以，解之得， 所以,， 由向量运算的三角形法则可得， 所以， 而，则． 由题设可知，所以. 故答案为： 四、解答题. 15. 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． （1）证明：B1D⊥平面ABD； （2）证明：平面EGF∥平面ABD. 【答案】（1）证明： 以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)， 所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)， ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD. （2）证明：由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)， ·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面. （2）利用向量法证得平面平面. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 16. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【小问1详解】 因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； 【小问2详解】 因为 所以与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为与互相垂直， 所以 或. 17. 已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． （1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； （2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 【答案】（1） （2）Q(2，5) 【解析】 【分析】（1）求出点C关于l的对称点，得出对称点与A连线方程，与联立即可求出； （2）求出点B关于l的对称点，得出对称点与A连线方程，与联立即可求出. 【小问1详解】 如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)， 则，解得，所以C′(－1，1)． 所以直线AC′的方程为y＝1． 由，得直线AC′与直线l的交点为，此时|AP|＋|CP|取最小值． 【小问2详解】 如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)， 则，解得，所以B′(3，3)． 所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0． 由，得直线AB′与直线l的交点为Q(2，5)，此时|AQ|－|BQ|取最大值． 18. 已知三棱锥（如图1所示）的平面展开图（如图2所示）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围. 【答案】（1） 证明： 设的中点为，连接，，因四边形为边长为的正方形， 则，且 在中，为的中点，， 在中，，， 因为，平面，所以平面 因为平面 ，所以平面平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，根据等腰三角形的性质求得，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果； （2）根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式计算即得； （3）利用向量间的关系，结合向量垂直的条件，通过计算计算向量的数量积等于0，求得所求的比值与的关系式，利用函数的有关知识求得结果. 【小问1详解】 设的中点为，连接，，因四边形为边长为的正方形， 则，且 在中，为的中点，， 在中，，， 因为，平面，所以平面 因为平面 ，所以平面平面 【小问2详解】 因平面，，故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 平面，故平面的法向量可取为 又， 设平面的法向量为， 则，. 设平面和平面的夹角为， 则 故平面和平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 设，， 则， 因，则，可得 即，易得μ是关于λ的单调递增函数， 故当时，，所以. 19. 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切． （1）求圆的方程; （2）过点的直线与圆交于 两点,若弦长,求直线的斜率的值; （3）过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,试着判断向量和是否共线?请说明理由． 【答案】（1）; （2）或; （3）共线,理由如下： 由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数, 故可设,则, 由,得. ∵点的横坐标一定是该方程的解,故可得． 同理可得, ∴, ∴向量和共线． 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径,结合圆心即可得出圆的方程． （2）设直线的斜率为,得出点斜式方程,再求圆心到直线的距离,根据公式即可求出直线的斜率. （3）由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数, 设,则,联立,得一元二次方程标代入方程可得, ,所以,得出结论. 【详解】（1）∵直线与圆心为坐标原点的圆相切． ∴圆半径, ∴圆的方程为． （2）设直线的斜率为． 则直线的方程为 ,即, 圆心到直线的距离为, ∵弦长, ∴, 解得或． （3）向量和共线,理由略. 【点睛】本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查直线平行的证明,是综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期厦门二中高二第一次月考数学试卷 命卷教师：沈备 审卷教师：高艳敏 考试时间：2025年10月16日 （满分150分，时间120分钟） 考试范围：选择性必修一——第一章、第二章（直线与圆的位置关系） *祝考试顺利* 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l的方程为：，则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 0 2. 已知=（2，1，﹣3），=（﹣1，2，3），（7，6，λ），若，，三向量共面，则λ= A. 9 B. ﹣9 C. ﹣3 D. 3 3. 若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，已知直线与圆：，则圆上的点到直线的距离的最小值是（ ） A. 0 B. 2 C. 6 D. 9 5. 已知向量，，，若，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是 A. B. C. D. 二、选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 是共线的充要条件 B. 若，共线，则AB∥CD C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 10. 在正方体中，，点分别在棱和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ） A. B. 平面 C. 线段长度的最大值为 D. 三棱锥体积不变 11. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为； （2）过点，且为法向量的平面的方程为． 现已知平面，，，（ ） A. B. C. D. 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正三棱锥中，是的中心，，则______. 13. 求过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______. 14. 已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 四、解答题. 15. 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． （1）证明：B1D⊥平面ABD； （2）证明：平面EGF∥平面ABD. 16. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 17. 已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． （1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； （2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 18. 已知三棱锥（如图1所示）的平面展开图（如图2所示）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围. 19. 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切． （1）求圆的方程; （2）过点的直线与圆交于 两点,若弦长,求直线的斜率的值; （3）过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,试着判断向量和是否共线?请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $