福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高一上学期高中创新班招生考试数学试题

厦门大学附属科技中学 2024年高中则新班招生考试 数学试卷 考试时间：60分钟 满分：100分 毕业学校： 姓名： 准考证号 、 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息. 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的准考证号、姓名与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效. 3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑， 4.考试结束，考生必须将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、填空题（本大题共12小题，每小题6分，共72分）. 1.在一个不透明的袋中装有4个小球，其中3个黑球、1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，随机从 袋中摸出两个小球，则两球恰好是一个黑球和一个白球的概率是一· 2.若两个不同的实数m、n满足m2=m+1,n2=n+1,则m2+n2= 3.已知二次函数y=ax2+c(a>0)的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于A(-2,p),B(1,g)两点， 则关于x的不等式ax2+c>mx+n的解集是-： 4.如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A=70，则∠BOC的度数为一· y 0 5.己知△ABC内的一点P,使得△PAB,△PBC,△PAC的面积相等，则点P是△ABC的心. 6.设正整数n的各位数字之和为Sa,例Su0=1+0=1,S23别=2+3+1=6，若n+Sa=2027, 则n=一 7.已知关于x的方程k+=x-a(a为常数)有两个不同的实数根，则a的取值范围是一 8.已知抛物线C:y=-x2+2x,点E是直线AB:y=x-2上的一个动点，将点E向左移动4个单位得 到点F,若线段EF与抛物线C只有一个公共点，则点E的横坐标a的取值范围为一· 第1页共4页 9.在平面直角坐标系中，反比例函数y=《(x>0,k>0)的图象经过点A(2,m)和点B,连接AB并延长交x 轴于点C(m+2,0).若AB=2BC,则m的值为一， 10.如图，己知在△ABC中，AB=AC=3,∠A=90°，D、E、F是AB、AC、BC上一点，且AE=2, △DEF为等腰直角三角形，则EF= 11.我们引入记号f(x)表示某个函数，用f(a)表示x=a时的函数值.例如函数y=x2+1可以记为 f(x)=x2+1,并有f(-2)=(-2)2+1=5,f(a+1)=(a+1)2+1=a2+2a+2. 狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一， 1,(x是有理数) 狄利克雷函数：f(x)= 的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究 0,(x是无理数) “算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”.关于狄利克雷函数，下列说法： ①f(π)=f(2) ②对于任意的实数a,f(a)=f(-a) ③对于任意两个实数m和n,都有f(m)+f(n)≥f(m+n) ④存在一个非零常数t,使得对于任意的x都有f(x+)=f(x) 其中正确的有一（填序号)· 12.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点 E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动：同时，动点F从点N出发， 沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止 运动，连接EF,过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是 A B NF 第2页共4页 二、解答题（本大题共2小题，共28分）. 13.(14分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10,点P在边AB上，D、E分别为BC、 PC的中点，连接DE.过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点.连接DG,交PC于H, (1)∠EDC的度数为一； (2)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由； (3)连接PG,求△APG的面积的最大值； A G H 14.（14分)我们把一个函数的图象关于某条直线或者某个点作对称后得到的图象对应的新函数，称为原 函数的“对称函数”. (1)求一次函数y=-2x+3关于y轴的对称函数的解析式： (2)已知二次函数C1:y=ax2+2ax+a-1(a≠0)， ①求C关于点(1,0)的对称函数C2的解析式（用含a的式子表示）； ②当0<a<时，C,的图象与直线y=x-3交于A,B两点，求线段AB的长度的取值范围. 第3页共4页厦门大学附属科枝中学 2024年高中创新班招生考试数学答案 一，填空题（本大题共12小题，每小题6分，共72分） 2.3 3.x<-2或x>1 4.125° 5.重 6.1999或2017 7.a<-1 8.-1≤a<2或a=3 9.6 2 10.V34 11.①②④ 12. V5元 2 2 三.解答题（本大题有2小题，共28分） (1）45.2分 (2)解：PE⊥DG,PE=DG, .4分 理由如下： .∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC ∴.△EDF和△GFC是等腰直角三角形 .DF EF,GF =CF .∠CFE=∠GFD=90°， ∴.△GFD≌△CFE(SAS) ∴.∠ECF=∠DGF ,∠CEF=∠PEG .∠GHE=∠EFC=90°，即PELDG.6分 .△GFD≌△CFE ∴.DG=CE :E是PC的中点 .PE=CE PE=DG... .8分 (3)解：连接PG 设AP=x,则BP=10-x, 山 ∴DE=102,Dr=BEF=20- 9分 2 4 ,BC=10W2, ∴CF=CD-DF=52-2I0-)-210+) 4 11分 CG=V2CF=10+x 2 ·AG=10-CG=10-10+x=10-x 22 12分 六5e-4nAc方0-10--+25 2 4 .13分 4 所以当x=5时，SMPe有最大值2 .14分 4 A B D 14.(1)解：取y=-2x+3上两点(0,3)， 两点关于y轴对称点为(3,0)， [3k+b=0 设y=kx+b,则{ k=2 k+h=0,解得{6=3，则y=2x+3,4分 2 (2)①：C:y=ax2+2ax+a-1=a(x+1)2-1 .C,顶点为P(1,-1)，点P关于(1,0)的对称点为P'(3,1),6分 函数C1关于(1,0)的对称函数C2:y=-a(x-3)2+1=-ar2+6ax-9a+18分 ②设A(x,y),B(x,2) A,B为直线y=x-3与C2的交点， 联立 =-a(-3+1,得a2+(-6a+1)x+9a-4=0. y=x-3 ,55=9a-4 根据韦达定理得方十为=6@-】， a 10分 所以B=√2X-x=V2(X+x2)2-4x石211分 -5-4 -5得44-5列八4一分 0分22,2j>6 A0=52-42614分