精品解析：海南省海口市海南中学2025-2026学年高一上学期第三次测试数学试题

海南中学2025-2026学年度高一年级第3次测试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数（且）的图像必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，求出其过的定点． 【详解】解：∵（且），且 令得，则函数图象必过点， 故选：D． 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数零点存在性定理求解即可. 【详解】， ，函数在区间上有零点， 故选：B. 3. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】解：因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较和的大小，再判断即可. 【详解】因为函数在上单调递增，故，即， 而，故得. 故选：A. 5. 已知，则用可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换底公式换成以为底的形式，再拆分分子分母的对数结合对数运算法则,化为已知和的组合. 【详解】已知， . 故选：B 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【详解】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 7. 在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解. 【详解】由题意知，，令，得，取以10为底的对数得，所以． 故选：B. 8. 已知函数，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的图象，结合，可得，再根据对数函数图象性质求解范围即可. 【详解】令，，因为，所以， 因为，所以，所以， 又，所以. 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数的定义可判断AD；举反例可判断BC. 【详解】对于A、D，集合为正整数集，集合为正偶数集， 由指数函数和正比例函数的性质可知，集合中的每一个元素都在集合中有唯一确定的元素对应，所以能建立从集合到集合的函数关系，故A、D正确； 对于B、C，当时，集合中没有与之对应的元素，故B、C错误. 故选：AD. 10. 下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ） A. f(x)＝3x－1 B. f(x)＝x3 C. f(x)＝|x| D. f(x)＝ln x 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，f(x)＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点， 且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点； 对于B，f(x)＝x3在R上是单调函数，有唯一零点， 且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点； 对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号， 故不能用二分法求零点； 对于D，f(x)＝ln x在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点， 且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点； 故选：C． 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 存在函数，使得的值域为 D. 存在函数，使得是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，得或．对于A，若，代入已知条件式，可推出矛盾；对于B，若，代入已知条件式，可得；对于CD，举例说明即可判断. 【详解】令，得，所以或. 对于A，若，则对任意， 左边，右边，矛盾，故A错误； 对于B，若，则对任意， 可得，经检验，符合题意，易知在上单调递增，故B正确； 对于C，的值域为，只要满足定义域为，值域为即可， 如，，符合题意，故C正确； 对于D，令，得， 而定义域为，，故即为奇函数，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】指数化为对数求出，再由对数的运算性质可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，函数与的图象关于直线对称，则_____ 【答案】5 【解析】 【分析】根据指对数的关系写出，进而求函数值. 【详解】因为函数，是的反函数，故， 故． 故答案为：5 14. 已知实数满足，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同构方法构造函数，再利用单调性及基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 即， 令函数，则原等式化为，而函数在上递增， 因此，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）19 【解析】 【分析】（1）结合平方差公式，利用对数运算法则化简求值即可； （2）结合根式与分数指数幂的互化，利用指数幂的运算法则化简求值即可. 【小问1详解】 原式= . 【小问2详解】 . 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间： （2）若的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即可； （2）对进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，， 由，由于，所以， 所以的定义域为：， 的对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增； 在整个定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 若的值域为，则对能取到全部正实数， ①当时，即， 若，不符合题意； 若，，符合题意； ②当时，由题意得：， 解得， 综上： 17. 如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）求的解析式； （2）比较与的大小； （3）已知，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【详解】（1）由题意得解得∴ （2）因为，，所以． （3）由题意， 所以解得， 所以的取值范围是． 考点：函数的单调性. 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性,并给出证明; （2）判断函数在上的单调性; （3）解不等式:. 【答案】（1）函数为奇函数. 证明如下:由,解得或, 所以函数的定义域为. 对任意的,有, 所以函数为奇函数. （2）在区间单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶性定义判断并证明； （2）由单调性定义证明； （3）由奇函数性质化不等式为，再由单调性转化求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令,易知在区间单调递减, 由复合函数的单调性可得在区间单调递减; 【小问3详解】 由; 所以, 等价于,，． ∴. 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题． 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义列式，借助恒等式问题列出方程组求解. （2）①利用偶函数的定义可得，再利用求出即得解析式；②利用函数单调性定义证明函数的单调性，再化简求和表达式即可求出最大值. 【小问1详解】 依题意，， 则，于是，解得， 所以实数的值为. 【小问2详解】 ①设， 由为偶函数，得，， 则， 整理得，即，于是， 即对任意恒成立，则， ， 又，则，解得以， 所以函数的解析式为. ②由①知， 在内任取，且， 则. ， 而，，则， ，于是，即， 因此函数在上是增函数，由偶函数的性质知，函数在上是减函数. 设， 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年度高一年级第3次测试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数（且）的图像必经过点（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则用可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 已知函数，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ） A. f(x)＝3x－1 B. f(x)＝x3 C. f(x)＝|x| D. f(x)＝ln x 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 存在函数，使得的值域为 D. 存在函数，使得是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 已知函数，函数与的图象关于直线对称，则_____ 14. 已知实数满足，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间： （2）若的值域为，求实数a的取值范围． 17. 如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）求的解析式； （2）比较与的大小； （3）已知，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性,并给出证明; （2）判断函数在上的单调性; （3）解不等式:. 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $