海南省海口市海南中学2025-2026学年高一上学期第三次测试数学试题

海南中学2025-2026学年度高一年级第3次测试 数学答案 时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1.函数y=a*+1(a>0且a≠1)的图像必经过点() A.(0,1) B.(10) C.(2,1) D.(0,2) 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质，求出其过的定点， 【详解】解：y=a+1(a>0且a≠1)，且a°=1(a≠0) 令x=0得y=2,则函数图象必过点(0,2)， 故选：D 2.函数f(x)=Inx+2x-4的零点所在的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】B 【分析】由函数零点存在性定理求解即可。 【详解】f(1)=ln1+2-4=-2<0,f(2)=ln2+4-4=ln2>0, ·f(1)f(2)<0,函数在区间(1,2)上有零点， 故选：B 3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=1og2x,则f(-4)=() A.月 B.2 c- D.-2 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质求解即可 【详解】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=1og2x, 所以f(-4)=-f(4)=-1og24=-2. 故选：D 4.已知a=1og35,b=1og34,c=5克，则() A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性比较a,b和2的大小，再判断c>2即可. 【详解】因为函数y=1og3x在(0，+∞)上单调递增，故2>log35>1og34,即2> a>b, 而c=52=V5>2,故得b<a<c. 故选：A 5.已知log23=a,log27=b,则1og4256用a,b可表示为() A. 3+b B. 3+b 1-a+b 1+a+b 3-b D. b-3 C.1+a-b 1-a-b 【答案】B 【分析】利用换底公式l0gb=1换成以2为底的形式，再拆分分子分母的对 logca 数结合对数运算法则，化为已知a和b的组合 【详解】已知log23=a,log27=b, l10g4256=1o8256=log28+027 1og223+10段7 3+b 1og2421og26+1og7 1og2+1og23+1og27 1+a+b 故选：B 6.函数y=(2x+2-x)·lnx的图象大致为() .10 C. 【答案】B 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D,根据-1<x<1且x≠0时 f(x)<0,可排除A,C 【详解】记f(x)=(2x+2-x)·nx,函数的定义域是{xx≠0}， f(-x)=(2-x+2)lx=f(x),所以函数f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称， 故D错误： 当-1<x<1且x≠0时，2x+2-x>0,lnx<0,即f(x)<0,图像在x轴下 方，故A,C错误 故选：B 7.在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通 常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量.在此过程中，DNA的数量X (单位：g/L)与PCR扩增次数n满足Xn=Xo×1.6”,其中X为DNA的初始 数量.已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1ug/L,核酸探针能检测到的 DNA数量最低值为10ug/L,则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为() (参考数据：lg1.6≈0.20，ln1.6≈0.47) A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解 【详解】由题意知X0=0.1,Xm=10,令10=0.1×1.6”，得1.6n=100,取以 10为底的对数得mlg1.6=2,所以n=品6≈10. 故选：B 8.已知函数f(x)=|2x-1,若m<n且f(m)=f(n),则m+n的取值范围是() A.(-∞，0) B.(-1,0) C.(0,+∞) D.(0,1) 【答案】A 【分析】先根据函数f(x)=I2x-1的图象，结合f(m)=f(n),可得m+n= 1og2(1-a),再根据对数函数图象性质求解范围即可」 【详解】令f(m)=fn)=a,a∈(0,1)，因为m<0,所以m=log2(1-a), 因为n>0,所以n=log2(a+1),所以m+n=1og2(1-a2), 又1-a2∈(0,1)，所以m+n∈(-∞，0) 3 4-3:-2-10 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.已知集合A={1,2,3,4,…,集合B={2,4,6,8,10…},下列表达式能建立从集合 A到集合B的函数关系的是() A.y=2 B.y=x2 C.y=log2x D.y=2x 【答案】AD 【分析】由函数的定义可判断AD:举反例可判断BC 【详解】对于A、D,集合A为正整数集，集合B为正偶数集， 由指数函数和正比例函数的性质可知，集合A中的每一个元素都在集合B中有唯 一确定的元素对应，所以能建立从集合A到集合B的函数关系，故A、D正确： 对于B、C,当x=1时，集合B中没有与之对应的元素，故B、C错误， 故选：AD 10.下列函数中能用二分法求零点近似值的是() A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3 C.f(x)=xl D.f(x)=Inx 【答案】ABD 【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函 数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论。 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，f)=3x-1在R上是单调函数，有唯一零点x=子且函数值在零点 两侧异号，可用二分法求零点，故选项A正确： 对于B,f(x)=x3在R上是单调函数，有唯一零点x=0,且函数值在零点两侧 异号，可用二分法求零点，故选项B正确： 对于C,f(x)=x,虽然也有唯一的零点x=0,但函数值在零点两侧都是正号， 不能用二分法求零点，故选项C错误： 对于D,f(x)=lnx在R上是单调函数，有唯一零点x=1,且函数值在零点两 侧异号，可用二分法求零点，故选项D正确： 故选：ABD 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)fy)-f(x+y)=2-(e+e),则() A.f(0)=1 B.f(x)在R上单调递增 C.存在函数g(x),使得g(f(x)的值域为R D.存在函数g(x),使得四是奇函数 a(x) 【答案】BCD 【分析】令x=y=0,得f(0)=1或f(0)=0.对于A,若f0)=1,代入已知 条件式，可推出矛盾：对于B,若f(0)=0,代入已知条件式，可得f(x)=ex-1; 对于CD,举例说明即可判断」 【详解】令x=y=0,得f(0)f(0)-f(0)=f(o)[f(0)-1]=0,所以f(0)=1 或f(0)=0 对于A,若f(0)=1,则对任意xER,f(x)f(0)-f(x+0)=2-(ex+e) 左边=f(x)-f(x)=0,右边=1-ex,矛盾，故A错误： 对于B,若f(0)=0,则对任意x∈R,f(x)f(0)-f(x+0)=2-(ex+e), 可得f(x)=ex-1,经检验，符合题意，易知f(x)在R上单调递增，故B正确： 对于C,f(x)=e-1的值域为(-1，+o),只要g(x)满足定义域为(-1，+o), 值域为R即可， 如g(x)=ln(x+1),g(f(x)=ln(ex-1+1)=x,符合题意，故C正确： 对于D,令g)=e,得h()=积==e-e克， 而n(定义域为R,h(-)=e音-ei=-h(),故h()即为奇函数，故D正 g(x) 确。 故选：BCD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知20=3,20=号， 则a+b= 【答案】3 【分析】利用指数的运算法则计算即可。 【详解】由题可知2a+b=20×20=3×号=8=23→a+b=3 故答案为：3 13.已知函数f(x)=1og5x,函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称，则f(1)+ g(1)= 【答案】5 【分析】根据指对数的关系写出g(x),进而求函数值 【详解】因为函数f(x)=logsx,g(x)是f(x)的反函数，故g(x)=5x, 故f(1)+g(1)=1og51+51=5. 故答案为：5 14.已知实数x,y满足ex+x-2025= e2025 y+2025 -ln0y+2025),则ex+1+y+2025 的最小值是 【答案】2e1013 【分析】根据给定条件，利用同构方法构造函数f(x)=x+lx,再利用单调性 及基本不等式求出最小值 【详解】由e+x-2025= e2025 -lny+2025),得ex+x= e2025 +2025- y+2025 y+2025 lny+2025), 即ex+lnex= e2025 +1ne2025-1n0y+2025)= e2025 y+2025 +ln e2025 y+2025 y+2025 令函数f)=x+x,则原等式化为j=/w 而函数f(x)在(0，+∞) 上递增， 因此e= e2025 y+2025’ e*1+y+2025=,402+y+2025≥ e2026 y+2025 (y+2025)=2e1013 当且仅当e226 y+2025=y+2025,即y=e1013-2025时取等号， 所以e+1+y+2025的最小值是2e1013 故答案为：2e1013 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.计算： (1)0g5)2+2lg2-0g2)2 2-1.8°+目)2×图) + 【答案】(1)1 (2)19 【分析】(1)结合平方差公式，利用对数运算法则化简求值即可： (2)结合根式与分数指数幂的互化，利用指数幂的运算法则化简求值即可. 【详解】(1)原式=Qg5+lg2)1g5-lg2)+2lg2=1(lg5-lg2)+2lg2 =lg5+lg2=lg10=1. 2)-1.8°+③2× 品+9 =1+02×(图)-÷+92=1+×[目T-10+3 =1+号×()-10+33=1+号×}-10+27=19， 16.已知函数fx)=1og[(1-a2)x2-(1-a)x+2]. (1)当a=0时，求f(x)的单调区间： (2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围 【答案】()fx)的单调递增区间为(-∞，引，单调递减区间为(（传，+∞）】 (2ae(-] 【分析】(1)先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即 可； (2)对a进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解a的取值范 围即可」 【详解】(1)当a=0时，f(x)=log1(x2-x+2), 由x2-x+2>0,由于△=1-8=-7<0，所以x∈R, 所以f(x)的定义域为：(-o,+∞)， y=x2-x+2的对称轴为：x=2 所以y=x2-x+2在(-∞，引上单调递减，在(+∞）上单调递增： y=log1x在整个定义域上单调递减， 所以fx)的单调递增区间为(-∞，引，单调递减区间为（传，+∞）】 (2)若f(x)的定义域为R,则g(x)=(1-a2)x2-(1-a)x+2>0在x∈R上恒 成立， ①当1-a2=0时，即a=±1， 若a=1,g(x)=2>0,符合题意： 若a=-1,g(x)=-2x+2不恒大于零，不符合题意： ②当1-a2≠0时，由题意得： 1-a2>0 4=(1-a)2-8(1-a2)<0' 解得ae(-1) 综上：a∈(， 17.如右图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xb“拼 接而成。 (1)求F(x)的解析式： (2)比较ab与ba的大小： (3)已知(m+4)b<(3-2m)-b,求m的取值范围， 【答案】(1)F(x) x2,x> 1 【详解】(1)由题意得 2 解得 a=i6':F= (信)xs b= 1 21 炫x> (2) 因为ab=(6)=(,b=(>(,所以ab<b, (3)由题意(m+4)立<(3-2m)2, m+4>0, 所以{ 3-2m>0,解得-<m<2 m+4>3-2m, 所以m的取值范围是（一》）. 考点：函数的单调性。 18.已知函数f)=1n贵 (1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明： (2)用定义法判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性： (3)解不等式：f(x2+x+3)+f(-2x2+4x-7)>0. 【答案】(1)f(x)为奇函数，证明见解析：(2)单调递减；(3)(-∞，1)U(4,+∞) 【解析】(1)由奇偶性定义判断并证明： (2)用函数单调性定义证明： (3)由奇函数性质化不等式为f(x2+x+3)>f(2x2-4x+7),再由单调性转 化求解。 【详解】解：(1)函数f(x)为奇函数， 证明如下：>0，解得x<-1或x>1, 所以函数的定义域为(-∞，-1)U(1,+∞) 对任意的xe(-m,-1u(1,+m),有f(-x)=1n号=n号=h()1= -x-1 -ln告=-fe, 所以函数f(x)为奇函数. (2)任取x,∈(1，+o),且x<x2,则f(x)-fx2)=m+1-bn+= x1-1 x2-1 n+2-=m+-x1-1 (x1-1)(x2+1) x12-(x2-x1)-1 因为x2>x1>1,所以xx+x2-x1-1>xx2-(x2-x)-1>0, 所以>1，所以f）f）>0, 所以∫(x)>f(x),所以函数y=∫(x)在(1，+o)单调递减： (3)x2+x+3=x+)2+4>1, -2x2+4x-7=-2(x-1)2-5<-1, 同理2x2-4x+7=2(x-1)2+5>1 所以f(x2+x+3)>-f(-2x2+4x-7)=f(2x2-4x+7), 等价于x2+x+3<2x2-4x+7,x2-5x+4>0,(x-1)(x-4)>0. ∴.x∈(-∞，1)U(4,+∞)： 19.对于两个定义域相同的函数f(x)和g(x),若存在实数m,n,使h(x)=mf(x)+ ng(x),则称函数h(x)是由“基函数f(x)和g(x)”生成的. (仙)若h()=9x+是由“基函数f)=2x-+1和g)=x++a"生成的， 求a的值： (2)试利用“基函数f(x)=1og2(16x+1)和g(x)=x+1”生成一个函数h(x),满足 h(x)为偶函数，且h(0)=-1. ①求函数h(x)的解析式： ②已知n≥3，n∈N,x0=-1,xm=1,对于(-1,1)上的任意值 x1,x2,,xn-1(x1<x2<…<xn-1),记M=lh(xn)-h(xn-1)引+lh(xn-1)- h(xn-2)川+…+Ih(x2)-h(x)川+Ih(x1)-h(xo)川，求M的最大值 【答案】(1)-2： (2①h()=1og(16+1)-2x-2:②21og2 17 【分析】(1)利用给定的定义列式，借助恒等式问题列出方程组求解 (2)①利用偶函数的定义可得n=-2m,再利用h(0)=-1求出m即得解析式： ②利用函数单调性定义证明函数h(x)的单调性，再化简求和表达式即可求出最大 值。 【详解】(1)依题意，h()=9x+=m(2x-+1)+n(x++a), 2m+=9 (m=4 则9x+=(2m+x+"”+m+am,于是{ 2 4n-m=4,解得n=2, m+an =0 a=-2 所以实数a的值为-2. (2)①设h(x)=mlog2(16+1)+n(x+1), 由h(x)为偶函数，得h(-x)=mlog2(16-x+1)-nx+n,h(-x)=h(x), mlog2(16x+1)+nx +n mlog2(16-x+1)-nx +n, 整理得mlog2c+1 16+1=2nx,即ml0g216x=2nx,于是22mx=16m, 即2nx=-4mx对任意x恒成立，则n=-2m, h(x)=mlog2(16+1)-2m(x+1)=m0og2(16+1)-2x]-2m, 又h(0)=-1,则mlog22-2m=-1,解得以m=1, 所以函数h(x)的解析式为h(x)=1og2(16+1)-2x-2. ②由①知h()=10gz(16+1)-2x-2=1og216-2, 在[0,1]内任取x1,x2,且x1<x2, ()h(2)=loga--logz 162+1+2=1og2062+14T (16*1+1)4x2 (16x1+1)42-(16*2+1)41=(42-4x1)+(42x1+x2-41+2x2) =(42-44)+41+x2(4-4)=(42-41)(1-41+x2),x1<x2, 而42-4*1>0,41+x2>1,1-4*1+x2<0,则(42-4)(1-4+x2)<0, 0<8+n器<1，于是log8n号<0，即h(x)<h) 因此函数h(x)在[0,1]上是增函数，由偶函数的性质知，函数h(x)在[-1,0]上是减 函数 设xk≤0≤xk+1(xk≠xk+1),k=0,1,2,3,,n-1, 则h(xo)>h(x1)>…>h(xk),h(xk+i)<h(xk+2)<…<h(xn), 所以∑1lh(x)-h(x-1I=h(xo)-h(x1)+h(x1)-h(x2)+…+h(xk-1) h(xK)+[h(xk+1)-h(xK)I +h(xk+2)-h(xk+1)+h(xk+3)-h(xk+2)+…+h(xn)-h(x-1) =h(xo)-h(xk)+[h(xK+1)-h(xK)I+h(xn)-h(xk+1) =h(-1)+h(1)-h(xk)-h(xk+1)+Ih(xk+1)-h(xk)l=2h(1)- 2min{h(xk+1),h(xk)}≤2h(1)-2h(0), 当且仅当xk=0或xk+1=0时，∑=1Ih(x)-h(x-1)1有最大值2h(1)-2h(O)= 210g2号 所以M的最大值为210g2吕 海南中学2025-2026学年度高一年级第3次测试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数（且）的图像必经过点（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则用可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 已知函数，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ） A. f(x)＝3x－1 B. f(x)＝x3 C. f(x)＝|x| D. f(x)＝ln x 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 存在函数，使得的值域为 D. 存在函数，使得是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 已知函数，函数与的图象关于直线对称，则_____ 14. 已知实数满足，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间： （2）若的值域为，求实数a的取值范围． 17. 如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）求的解析式； （2）比较与的大小； （3）已知，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性,并给出证明; （2）判断函数在上的单调性; （3）解不等式:. 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值. 海南中学2025-2026学年度高一年级第3次测试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】C 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】5 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）1 （2）19 【16题答案】 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【17题答案】 【答案】（1）；（2）；（3）. 【18题答案】 【答案】（1）函数为奇函数. 证明如下:由,解得或, 所以函数的定义域为. 对任意的,有, 所以函数为奇函数. （2）在区间单调递减 （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）①；②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $