第五章 一元一次方程 单元测试·基础卷 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷 第五章 一元一次方程单元测试·基础卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．根据下列条件能列出等式的是（    ） A．y与5的差的一半 B．a与2的和 C．一个数的相反数是 D．x的与y的3倍的和 2．下列是一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 3．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 6．某商店出售一种齐齐哈尔特色工艺品，进价为每件40元，按标价的8折销售仍可获利，则该工艺品的标价为（  ）元 A．50 B．60 C．70 D．80 7．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 8．小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 9．如图，点M、N在线段上，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 12．若是方程的解，则m的值为 ． 13．把一张长方形纸折叠再涂色（如图），如果涂色部分的面积是，那么涂色部分的周长是 ． 14．某仓库进了一批货物，整理这批货物，由1人整理要30h完成．现在计划由一部分人先整理2h，再增加3人和他们一起整理4h，完成这项工作．假设每人的工作效率相同，先安排人整理，则可列方程为 ． 15．方程：的解为 ． 16．定义一种新运算“”，规定当时，，当时，．例如：，，．若，则x的值为 ． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 19．若两个有理数，，满足，则称，互为“友好数”，例如：6和4就是一对“友好数”． (1)求的“友好数”． (2)若的相反数与8互为“友好数”，求的值． 20．我们规定一种运算：当时，；当时，；当时，．例如，；． (1)计算：①；②； (2)如果，求的值； (3)请问：当为何值时，． 21．如图，是一个长方体及其展开图，已知展开图阴影部分的面积为． (1)求的值； (2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽至少要多少厘米？ 22．移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表： 月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元） 套餐A 79 200 0.15 免费 15 3 套餐B 99 300 0.15 免费 20 2 补充说明： ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费 ②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元） (1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？ (2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值． (3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论） 23．某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？ (2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由． 24．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数学的学习中，我们知道，若点A，B在数轴上分别表示有理数x，y，A和B两点之间的距离表示为，则．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示m与3的两点之间的距离可以表示为_______． (2)的最大值是_______； (3)已知m，n均为整数，且满足，请求出m，n的值． (4)已知，则满足条件的x的值是_______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷 第五章 一元一次方程单元测试·基础卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B C B A A B C 1．C 本题主要考查了列代数式和等式，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 根据题意列出对应的式子即可确定正误． 解：A、y与5的差的一半，，不是等式，不符合题意； B、a与2的和，，不是等式，不符合题意； C、一个数的相反数是（设这个数为），，是等式，符合题意； D、x的与y的3倍的和，，不是等式，不符合题意； 故选：C． 2．D 本题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断各选项． 解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程； 选项A：，不是整式方程，不符合题意； 选项B：，未知数次数为2，不符合题意； 选项C：，含两个未知数，不符合题意； 选项D：，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意； 故选：D． 3．D 本题主要考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（除数不为0），等式仍成立．选项A两边操作不一致；选项B变形错误；选项C中a可能为0；选项D两边同乘，正确． 解：A：若，则或，但不成立； B：若，两边同乘6，得，而非； C：若，当时成立，但a可能为0，故不一定成立， D：若，则两边同乘，得，成立． 故选D． 4．B 本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 5．C 本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的方程求两点之间的距离问题．根据数轴上点的平移性质列出带有绝对值的方程，最后求解即可． 解：设运动时间为t秒，所以P表示的数是，Q表示的数是， 由题意得，即， 解得或， 故选：C． 6．B 本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键； 设工艺品的标价为元，根据题意列出方程，然后求解即可． 解：设工艺品的标价为元， 根据题意得：， 解得：， ∴工艺品的标价为 60 元， 故选：B． 7．A 本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键． 已知关于的方程的解为，观察关于的方程的结构，可发现其与原方程形式相同，只需将原方程中的替换为．因此，原方程的解对应新方程中，直接求解即可． 解：因为原方程的解为． 所以方程满足， 解得， 故选：A． 8．A 先把代入方程，整理成关于的一元一次方程，解新方程即可． 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，解方程是解题的关键． 解：把代入方程， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．B 此题考查了线段的和差倍分，解答本题的关键是熟练掌握线段之间的和差倍分关系． 先得出，，得，进而用建立方程求解即可得出结论． 解：∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 10．C 本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 小佳将原方程中的“”看成了“”，得到错误方程并求解，代入错误解可求出m的值． 解：∵ 小佳看错后的方程为，且解得， ∴ 代入得， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 11． 根据题意，方程是关于的方程，故的系数不能为零，解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 解：由方程 是关于 的方程， 故 ， 解得 ， 故答案为：． 12． 本题考查了方程的解． 根据方程的解的定义，将代入方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 解：将代入方程， 得， 即， 移项得， 即， 解得． 故答案为：． 13．22 本题考查的是图形的折叠问题，知道三角形的高是长方形纸的宽是解答关键，设长方形纸的宽为，根据这张纸的面积涂色部分的面积三角形面积，即可列出方程，计算即可求出长方形纸的宽，再根据长方形面积长宽，即可求出这张纸的面积，涂色部分的周长长方形纸的宽三角形的高（长方形纸的宽）三角形的底，据此解答． 解：设长方形纸的宽为， ， ， ， ， ， 答：涂色部分的周长是． 故答案为：22． 14． 本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做需要小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键． 由一个人做要小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人小时的工作+增加人后小时的工作=全部工作．设全部工作是，先安排人整理，就可以列出方程． 解：假设每个人的工作效率相同，先安排人工作， 则：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为， 再增加人和他们一起做小时的工作量为， 故可列式， 故答案为：． 15． 本题考查了方程的解，通过将方程拆项移项转化为，即可求得方程的解． 解：原方程转化为， ， 即， ∴． 故答案为：． 16． 本题主要考查新定义运算以及一元一次方程的求解．需要根据新运算的规则，分情况讨论并列出方程，进而求解未知数．关键在于准确判断与是否相等，然后根据不同情况代入相应的运算规则列出方程，同时在解方程过程中要注意计算的准确性． 根据新运算的定义，分两种情况讨论：当 时，运算规则为 ；当 时，运算规则为 ．分别代入给定表达式并解方程，验证条件是否满足． 解：设 ，． 当 时，． 令 ， ， ． 验证：，，，符合条件． 当 时，即 ， ， ． 验证：，，． 则 ，不满足方程． 综上所述，． 17．(1) (2) 本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． （1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得，． 18．(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． （1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 19．(1)16 (2) 解题思路是根据 “友好数” 的定义，列出对应的等式，再通过解方程求出未知的 “友好数” 或字母的值．本题考查有理数的加法与相反数的概念，涉及的知识点是新定义运算、一元一次方程的求解．解题中用到的方法是定义转化法，将 “友好数” 的定义转化为等式，再解方程．解题关键是准确理解 “友好数” 的定义，正确列出等式．易错点是处理相反数时符号错误，或解方程时移项符号出错． （1）解：∵ ∴的“友好数”为16． （2）∵ ∴的相反数是2 ∴． 20．(1)①，② (2) (3)或 本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）根据新运算解答即可； （2）根据新运算列出方程，即可求解； （3）根据新运算列出方程，即可求解． （1）解：①； ②； （2）解：因为， 所以， 解得； （3）解：当时，， 解得， 因为， 所以； 当时，，所以这种情况不成立； 当时，， 解得， 因为，所以． 综述所述，当或时，． 21．(1) (2)长至少，宽至少 本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用， （1）根据图形列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据长方体的长、宽、高求出长方体展开图所在长方形的长和宽即可． （1）解：∵展开图阴影部分的面积为， ∴， 解得：． （2）解：铁皮的长为：， 铁皮的宽为：， 答：用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长至少，宽至少． 22．(1)他11月的月结话费是90元 (2) (3)当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据套餐A的收费方案列式求解； （2）根据“套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元”列方程求解； （3）根据使用流量的多少，计算比较大小． （1）解： = （元） 答：他的月结话费为90元． （2）解：根据题意得： 解得， 答：x的值是17； （3）解：设他使用的流量为， 当时，选择A套餐； 当时，使用A套餐需要付费：，使用B套餐需要99元，故选择A套餐， 当时，使用A套餐需要付费：元，使用B套餐需要付费：元， 当，解得：， 即当时，选A套餐，当时，选B套餐； 综上所述：当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 23．(1)甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元 (2)该顾客的选择不划算，理由见解析 本题考查一元一次方程的实际应用. （1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可； （2）根据计算可得该顾客原购物金额不超过500元，甲超市八八折,乙超市九折比较即可． （1）解：由题意可知，一次性购物总额是400元时： 甲超市实付款：（元）， 乙超市实付款：（元）， 答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元． （2）解：∵（元），， ∴该顾客购物实际金额不多于500元， ∵甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：超过了200元而不超过500元一律打九折； ∴甲超市优惠， ∴该顾客的选择不划算. 24．(1) (2)7 (3)或， (4)或 本题考查了数轴上表示的数，数轴上两点之间距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）根据题意，由数轴两点距离可得； （2）由题意知，表示m与1的距离，表示m与的距离，根据数轴分三种情况讨论可得绝对值差的最大值； （3）由（2）可知，，由m，n均为整数，可知均为整数，然后结合分类讨论即可； （4）根据数轴两点距离，分4种情况，，，，，分别化简已知式子，进而得到x的值． （1）由题意可知，∵m与3的两点之间的距离为， ∴距离可以表示为； 故答案为：． （2）设数表示的点为A，数1表示的点为B，数m表示的点为C， 则， 当点C在点A的左侧，即时， ； 当点C在点A和点B之间，即时 ，此时； 当点C在点A的左侧，即时， ， 综上可知，的最大值是7． 故答案为：7； （3）由（2）可知，， ∵m，n均为整数， ∴均为整数， ∵ ∴或或或． 当时， 由（2）知，，则， ∴，解得． 由（2）知，，则， ∴，解得． 当时， 由（2）知，的最大值为4，故此时情况不符合题意，舍去． 当时， 由（2）知，，则， ∴，解得． 由（2）知，，则， ∴，解得． 当时 由（2）知，的最大值为，故此时情况不符合题意，舍去． 综上可知，，或，； （4）当时， ， 解得（不符合题意，舍去）； 当时， ， 解得； 当时， ，此时无解； 当时， ， 解得； 综上所述：x的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $