精品解析：福建省泉州市永春县三校联考2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025−2026学年福建省泉州市永春县三校联考九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. a=2，b=3，c=4，d=1 B. a=2, b=, c=，d= C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=，b=3，c=2，d= 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误； B．2×=×2，四条线段成比例，故本选项正确； C．4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误； D．×3≠2×，四条线段不成比例，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据同类二次根式是最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【详解】解：A、与不是最简二次根式，故A错误； B、与被开方数相同，故与是同类二次根式，故B正确； C、，故与不是同类二次根式，故C错误； D、，故与不是同类二次根式，故D错误； 故选：B． 3. 用配方法将方程变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项-11移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方． 【详解】解：把方程x2+6x-11=0的常数项移到等号的右边，得到x2+6x=11， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9=11+9， 配方得（x+3）2=20． 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 利用和相似求得的长后加上边到地面的高度，即可求得树高． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 5. 若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A. a≥﹣且a≠0 B. a≤﹣ C. a≥﹣ D. a≤﹣且a≠0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根， ∴， 解得：且． 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键． 6. 如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为（　　） A. ∠B＝∠ADE B. ∠C＝∠AED C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、由∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意； B、由∠A＝∠A，∠C＝∠AED，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意； C、由∠A＝∠A， 可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意； D、由，推不出，△ABC∽△ADE，故本选不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 7. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯坡面BC的坡度i=1：，则电梯坡面BC的坡角α为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据坡比的值等于坡角的正切值，据此即可求得坡角． 【详解】解：tanα=i=1:， 则∠α=30°． 故选B． 【点睛】本题考查了坡度与坡角，理解坡比的值等于坡角的正切值是关键． 8. 如图，中，，，点E是的中点，若平分，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．延长交于，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出并判断出是的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 又点为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 9. 设是方程的一个实根，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，延长、分别交于点E、F，连接、与相交于点H，则下列四个结论： ①，②， ③，④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等边和正方形的性质，得边长相等及、，算出；再通过角度计算判断，即可判断①；接着找和公共角，判定，即可判断②；利用算与的比，得，即可判断③；最后通过判定，得，即可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ，， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， ， ，故③错误； ， ， ， ， 又， ， ， ， 即，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义．解题的关键是利用正方形和等边三角形的边角关系求出相关角度与边长比例，再结合相似三角形的判定条件逐一验证选项． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥． 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数≥0，可得4x-5≥0，再解即可． 【详解】解：由题意得：4x﹣5≥0，解得：x≥， 故答案为：x≥． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12. 已知：（x、y、z均不为零），则＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可． 【详解】解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的求值，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 13. 若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于________． 【答案】4：9 【解析】 【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】∵两个相似多边形的相似比为2:3， ∴它们的面积比． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键． 14. 关于的一元二次方程有一个解是，则__________． 【答案】-3 【解析】 【详解】∵方程的一个解为， ∴将代入原方程， 得：，则， ∵是关于的一元二次方程． ∴，即， ∴． 15. 如图，在中，，是高．若，则 =______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据锐角三角函数的计算得到，则，，由此即可求解． 【详解】解：在中，，是高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 16. 关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解．运用公式法解方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 四、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别化简各项后，再进行加减运算即可． 【详解】解： 19. 如图，在矩形中，点在边上，交于，求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，掌握证明方法是解题的关键． 根据矩形的性质，利用相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 21. 如图，某校数学兴趣小组为了测得学校旗杆的高度，在点D处用高为米的测角仪，测得旗杆顶端A的仰角为，又测得米，求这根旗杆的高度（精确到米） 【答案】13.3米 【解析】 【分析】作于点E，在中，求出，继而即可解决问题． 本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：作于点 由作图和已知得四边形是矩形． 米，米， 在中，，， ， ， 米 22. 如图，已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． （1）求证：； （2）求的值； 【答案】（1） 证明：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）求出可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得， ∴， ∴． 23. 古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． （1）【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力．如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设售价降低a元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为x， 解得 ，（舍） 答：日平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低a元， ， 解得 ，（负值不合题意，舍去） 答：售价应降低2元． 24. 阅读材料：在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，但在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？ 解答： ． ，即，解得 ， 因此的最小值为， 此时，解得，符合题意， 当时，； 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． （1）已知函数，当取何值时，取最大值， 的最大值为多少？ （2）已知，当取何值时，取最小值，的最小值为多少？ （3）如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）时，的最大值是； （2）当时， 的最小值是； （3）当时，取最小值，最小值是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，勾股定理，利用是解题的关键． （1）由题意可得，根据得出，计算即可得解； （2）由题意可得，根据得出，求解即可； （3）设，，由勾股定理可得，即可得出，变形整理得，结合，求解即可． 【小问1详解】 解：（1）∵， 即， ， 解得， 时，解得（经检验符合题意）， ∴时，的最大值是； 【小问2详解】 解：设， ， 即， ， 解得：，即的最小值是， 时，， 解得：（经检验符合题意）， ∴当时， 的最小值是； 【小问3详解】 解：设，则， ， ， ∴， 设，即， ， ，解得， ∴， 将代入方程得：， 解得（经检验符合题意）， ∴当时，取最小值，最小值是． 25. 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点． （1）若点N在BC边上时，如图1． ①求证：PN＝QN； ②请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明； （2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值． 【答案】 （1）①证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°．AB∥CD，AD∥BC． ∴∠A＝∠ADQ，∠APM＝∠DQM． ∵M是AD边的中点， ∴AM＝DM． 在△APM和△QDM中 ， ∴△APM≌△QDM（AAS）， ∴PM＝QM． ∵MN⊥PQ， ∴MN是线段PQ的垂直平分线， ∴PN＝QN； ②是定值 理由：作ME⊥BC于E， ∴∠MEN＝∠MEB＝90°，∠AME＝90°， ∴四边形ABEM是矩形，∠MEN＝∠MAP， ∴AB＝EM． ∵MN⊥PQ ∴∠PMN＝90°， ∴∠PMN＝∠AME， ∴∠PMN﹣∠PME＝∠AME﹣∠PME， ∴∠EMN＝∠AMP， ∴△AMP∽△EMN， ∴， ∴． ∵AD＝6，M是AD边的中点， ∴AM＝AD＝3． ∵AB＝4， ∴． 在Rt△PMN中，设PM＝3a，MN＝4a，由勾股定理，得 PN＝5a， ∴； （2）AP＝3． 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质证明△APM≌△QDM就可以得出PPM＝QM，再由MN⊥PQ就可以得出结论； ②作ME⊥BC于E，证明△AMP∽△EMN，由相似三角形的性质既可以求出PM与MN的关系，再由勾股定理表示出PN就可以求出结论； （2）分两种情况，如图2，如图3，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT，通过证明Rt△BFS≌Rt△CGT和△PBN≌△QCN，进一步由全等三角形的性质就可以得出结论． 【详解】（1）①略 ②略 （2）如图2，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT， ∴∠BFS＝∠CGT＝90°，BS＝PN，CT＝QN， ∵PN＝QN，S△PBN＝S△NCQ， ∴BF＝CG，BS＝CT． 在Rt△BFS和Rt△CGT中 ， ∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL）， ∴∠BSF＝∠CTG ∴∠BNP＝∠BSF＝∠CTG＝∠CQN， 即∠BNP＝∠CQN． 在△PBN和△QCN中 ， ∴△PBN≌△NCQ ∴BN＝CQ， ∴设AP＝x．则BP＝4﹣x，QC＝4+x，则CN＝6﹣（4+x）＝2﹣x， ∵4﹣x≠2﹣x，∴不合题意，舍去； 如图3，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT， ∴∠BFS＝∠CGT＝90°，BS＝PN，CT＝QN， ∵PN＝QN，S△PBN＝S△NCQ， ∴BF＝CG，BS＝CT． 在Rt△BFS和Rt△CGT中 ， ∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL）， ∴∠BSF＝∠CTG ∴∠BNP＝∠BSF＝∠CTG＝∠CQN， 即∠BNP＝∠CQN． 在△PBN和△QCN中 ， ∴△PBN≌△QCN ∴PB＝NC，BN＝CQ． ∵AP＝DQ ∴AP+BP＝AB＝4，AP+4＝DQ+CD＝BC+CN＝6+BP ∴AP﹣BP＝2 ∴2AP＝6 ∴AP＝3． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理了的运用，相似三角形的判定及性质的运用，垂直平分线的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年福建省泉州市永春县三校联考九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. a=2，b=3，c=4，d=1 B. a=2, b=, c=，d= C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=，b=3，c=2，d= 2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法将方程变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A. a≥﹣且a≠0 B. a≤﹣ C. a≥﹣ D. a≤﹣且a≠0 6. 如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为（　　） A. ∠B＝∠ADE B. ∠C＝∠AED C. D. 7. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯坡面BC的坡度i=1：，则电梯坡面BC的坡角α为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 8. 如图，中，，，点E是的中点，若平分，线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 设是方程的一个实根，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 10. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，延长、分别交于点E、F，连接、与相交于点H，则下列四个结论： ①，②， ③，④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使有意义，则x的取值范围是_____． 12. 已知：（x、y、z均不为零），则＝_____． 13. 若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于________． 14. 关于的一元二次方程有一个解是，则__________． 15. 如图，在中，，是高．若，则 =______． 16. 关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 解方程： 四、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算：． 19. 如图，在矩形中，点在边上，交于，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 21. 如图，某校数学兴趣小组为了测得学校旗杆的高度，在点D处用高为米的测角仪，测得旗杆顶端A的仰角为，又测得米，求这根旗杆的高度（精确到米） 22. 如图，已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． （1）求证：； （2）求的值； 23. 古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． （1）【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力．如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？ 24. 阅读材料：在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，但在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？ 解答： ． ，即，解得 ， 因此的最小值为， 此时，解得，符合题意， 当时，； 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． （1）已知函数，当取何值时，取最大值， 的最大值为多少？ （2）已知，当取何值时，取最小值，的最小值为多少？ （3）如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 25. 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点． （1）若点N在BC边上时，如图1． ①求证：PN＝QN； ②请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明； （2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $