精品解析：甘肃省天水市甘谷县多校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次检测考试试题 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴ 故选：A 2. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、,该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、化简为，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．使用配方法，将方程左边配成完全平方式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即配方后方程为， 故选：A 6. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案. 【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴此方程没有实数根. 故选C. 【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根. 7. 如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】， ， ， 已知，设，则， ， 与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ． 故选：C． 8. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义判断即可． 【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等边三角形一定相似， 故A不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等腰直角三角形一定相似， 故B不符合题意； 因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， 所以两个菱形不一定相似， 故C符合题意； 因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个正方形一定相似， 故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形即对应边成比例，对应角相等的两个多边形，熟练掌握定义是解题的关键． 9. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 10. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴当添加时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定，故①符合题意； 当添加可判定，故②符合题意； 当添加时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定；故③符合题意； 当添加，即，不能判定这两个三角形相似，故④不符合题意； 故选C． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. _______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角函数值定义，作出图形，结合勾股定理数形结合是解决问题的关键． 根据三角函数值定义，结合图形，数形结合即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 根据三角函数值定义：， ， 在中，， ， 故答案为：． 13. 已知实数，满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 已知点A的坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了平面直角坐标系中点的对称问题，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据平面直角坐标系关于轴对称的两点的坐标之间的关系解答即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 16. 一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共个，小明通过大量摸球实验后，发现摸到红球的频率为，则估计红球的个数约为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据部分的具体数目总体数目相应频率直接计算即可求解，理解实验次数较大时，事件发生的频率即为事件发生的概率是解题的关键． 【详解】解：估计红球的个数约为个， 故答案为：． 17. 已知方程的两根分别为，，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于的两个根分别为，则． 利用根与系数的关系得到，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故答案为：1． 18. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【详解】解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键． 三、解答题（共88分） 19. （1）计算： （2）计算： （3）解方程： （4）解方程： 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，含三角函数值的混合运算，用公式法、因式分解法解一元二次方程，灵活运用相关知识正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减计算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行计算； （3）用配方法解一元二次方程即可； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）原式， ； （2）原式， ， ； （3） ， ， ， ， ； （4）， ， ， 或 ． 20. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，根据分式运算法则求解即可． 【详解】原式 21. 已知，，是的三边长，且满足，． （1）试求，，的值； （2）判断的形状． 【答案】（1）5；3；4 （2）直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，进而求解； （2）根据勾股定理的逆定理进行解题即可． 【小问1详解】 解：设，则，，， 由，得： ， 解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵，即， ∴是直角三角形． 22. 小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（，，，），根据图中信息，解答下列问题： （1）这项被调查的总人数是多少人？ （2）补全条形统计图； （3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率． 【答案】（1）50人 （2）如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了树状图、条形统计图的综合运用，熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用B的人数除以其所占的百分比则可得出总人数； （2）用总人数减去其他三组的人数即可得出C组的人数，补全条形图即可； （3）利用树状图的方法列举出所有可能的情况，然后找出选中甲的情况数，结合概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由B组人数19人，占比， ∴总人数：（人）． 【小问2详解】 解：∵A组15人，B组19人，D组4人， ∴C组人数：（人）． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 总共有12种等可能结果，其中包含甲的有6种， ∴概率为． 23. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【解析】 【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 25. 如图所示，四边形中，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，二次根式的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）证明，得到，即可得出结论； （2）根据（1）所得结论求出，再证明，得到，求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：平分， ． 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ． ， ， 又， ， ， ，解得， ． 26. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】（1）220 （2）参加活动的学生人数为18人 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； 【小问2详解】 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 27. 如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）线段的长______； （2）当与相似时，求的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）过点E作于点H，证明四边形是矩形，可得，，在中，利用勾股定理可得的长，即可求解； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得：，，且， ∴，， 当时，， 即， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，， 即， 解并检验得（不合题意，舍去）或（是增根，舍去）． 综上，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次检测考试试题 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 2. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 9. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. _______． 13. 已知实数，满足，则的值为_____． 14. 已知点A的坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标是_____． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 16. 一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共个，小明通过大量摸球实验后，发现摸到红球的频率为，则估计红球的个数约为______个． 17. 已知方程的两根分别为，，则的值为_________． 18. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 三、解答题（共88分） 19. （1）计算： （2）计算： （3）解方程： （4）解方程： 20. 化简： 21. 已知，，是的三边长，且满足，． （1）试求，，的值； （2）判断的形状． 22. 小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（，，，），根据图中信息，解答下列问题： （1）这项被调查的总人数是多少人？ （2）补全条形统计图； （3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率． 23. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 25. 如图所示，四边形中，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 26. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 27. 如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）线段的长______； （2）当与相似时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $