精品解析：福建省龙岩市上杭县农村片区校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

上杭县2025∽2026学年第一学期农村片区校半期联考 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，3，4 C. 1，3，3 D. 2，3，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系：两边之和大于第三边；据此判断各选项即可． 【详解】解：∵ 选项A：，等于第三边，∴ 不能组成三角形． ∵ 选项B：，等于第三边，∴ 不能组成三角形． ∵ 选项C：，∴ 能组成三角形． ∵ 选项D：，∴ 不能组成三角形． 故选：C． 3. 如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　） A. 12 B. 7 C. 2 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得BC=EC，AC=DC，然后由CE＝5，AC＝7可求解． 【详解】解：△ABC≌△DEC， BC=EC，AC=DC， CE＝5，AC＝7， BD=BC+CD=CE+AC=5+7=12； 故选A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 4. 如图，已知，加一个条件不能判定和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理来进行判断，需要注意的是，满足三个角相等不能判定全等． 【详解】解：A、添加，可根据判定和全等，故不合题意； B、添加，可根据判定和全等，故不合题意； C、添加，可根据判定和全等，故不合题意； D、添加，不能判定和全等，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 5. 若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．根据三角形的内角和是，列式即可求得最大内角的度数，然后判断三角形的形状． 【详解】解：∵一个三角形三个内角度数的比为， ∴最大内角的度数为， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的面积相等 C. 如果，那么 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了逆命题、判断命题真假，涉及对顶角、全等三角形的性质、垂直平分线的性质与判定等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．分别写出每个命题的逆命题，并判断逆命题的真假即可得出答案． 【详解】解：A、原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，存在相等的角并非对顶角的情况，故逆命题为假命题，不符合题意； B、原命题“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，面积相等但形状不同的三角形不全等，故逆命题为假命题，不符合题意； C、原命题“若，则”的逆命题为“若，则”，存在使得，故逆命题为假命题，不符合题意； D、原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题为“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上”，逆命题为真命题，符合题意； 故选：D． 7. 下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：GE⊥OM，GF⊥ON. 故选：D 8. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，根据，得出，继而得出． 【详解】设，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 由平行线的性质、角平分线的性质推知, 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案. 【详解】解：∵, ∴， ∵平分, ∴, ∴, ∴， 同理可得: , ∴. 故选:A. 10. 如图，在等边中，是边上的高，，在下列结论中：①图中有三对全等三角形；②；③；④．正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键；由等边三角形的性质可得，，进而可得，即可判定①；依题意得，则得，即可判定②；由全等得，由含30度角直角三角形的性质得，从而可判定③；含30度角直角三角形的性质得，则，由此可判定④． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故图中有三对全等三角形； 即①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 综上，四个结论全正确； 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征．根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称时，横坐标1保持不变，纵坐标2取相反数为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 12. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 13. 如图，，，，则______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【详解】解：∵是的外角， ∴， 即， 解得：． 故答案为：40． 14. 如图，△ABD和△ACD关于AD所在的直线对称，点D在BC上，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵△ABD和△ADC关于直线AD对称， ∴S△BEF=S△CEF， ∴S阴=S△ADC=S△ABC=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若的周长为12，的周长为21，则的长为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，掌握此性质是解题的关键；由作图知是线段的垂直平分线，则得，由的周长可得的长，再由的周长即可求得． 【详解】解：由作图知是线段的垂直平分线， 则， ∵的周长为12， ∴， ∵的周长为21， 即， ∴， 故答案为：9． 16. 如图，等边三角形的边长为4，点P为上一动点，E为边的中点，则的最小值 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短等知识；连接，与交于点P，则点P是满足的最小值的点，利用面积关系求得，即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， 则， ∴， 则点P是满足的最小值的点，且最小值为线段的长， ∵等边三角形的边长为4，为的中点， ∴，， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共86分，共9题，共86分） 17. 如图，，垂足分别为C，D，．求证． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，掌握直角三角形全等的判定是解题的关键． 证明即可． 【详解】略 18. 如图所示，在中，平分是的高，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和求出，利用高线的定义得到，再用三角形内角和求出结果． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高，熟记定理并准确识图，观察出是解题的关键． 19. 在如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标是． （1）写出点B，C的坐标； （2）已知点，，画出，并判断与是否成轴对称，若成轴对称，请画出对称轴． 【答案】（1） （2） 与是成轴对称， 直线即为与的对称轴． 【解析】 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是: （1）根据点B、C在直角坐标系中的位置即可求解； （2）结合网格特征，利用轴对称的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：由图知：； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，，的平分线交于点D． （1）尺规作图：作的平分线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的度数． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义等， 掌握角平分线的作法是解题的关键． （1）根据角平分线的作法即可作的平分线交于点O； （2）根据三角形内角和是180°求出，再根据角平分线定义求出，，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 21. 图1是小朋友荡秋千的场景．静止时场景平面图中，秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若． （1）求证：； （2）求到的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）到的距离是 【解析】 【分析】（1）根据，得到，，即可得到答案； （2）作，垂足为F，易得，即可得到，再根据且，，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，作，垂足为F． ∵， ∴； 在和中， ， ∴； ∴ ∵且，， ∴， ∴， ∴， 即到BD的距离是． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质应用，解题的关键是根据垂直找到全等三角形的条件． 22. 如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．求证： （1）∠CAF＝∠CBE； （2）△CEF是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠CBA＝60°， ∵D为BC的中点， ∴∠CAD＝∠CAB＝30°， 又∵BE⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°， ∴∠CAF＝∠CBE； （2） 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴CA＝CB， 在△CAF和△CBE中， ， ∴△CAF≌△CBE（SAS）， ∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE， ∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°， ∴△CEF是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠CAB＝∠CBA＝60°，根据已知条件求得∠CAD＝30°，∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，即可得证； （2）根据（1）的结论，证明△CAF≌△CBE，根据全等三角形的性质得出∠ACF＝∠BCE，进而得出∠ECF＝60°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在斜边AB上，且AD=AC，过点B作BE⊥CD交直线CD于点E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD=2BE． 【答案】（1）22.5°； （2）证明：作AF⊥CD交CD于点F， ∵AD=AC， ∴CF=FD=CD，∠FAD=∠CAB=22.5°， ∵∠ADC=67.5°， ∴∠BDE=67.5°， ∴∠DBE=90°-67.5°=22.5°， ∴∠CBE=45°+22.5°=67.5°， 在△AFD和△CEB中， ∴△AFD≌△CEB， ∴BE=DF， ∴CD=2BE． 【解析】 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出的度数，最后余角的概念求值即可； （2）作AF⊥CD交CD于点F，首先根据等腰三角形三线合一得出CF=FD=CD，∠FAD=∠CAB=22.5°，进一步可证明△AFD≌△CEB，则有BE=DF，则结论可证． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=∠B=45°， ∵AD=AC， ∴∠ACD=∠ADC==67.5°， ∴∠BCD=90°-67.5°=22.5°； （2）略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定及性质，掌握这些性质及定理是解题的关键． 24. 【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 【答案】（1）证明：∵和是“友好三角形”， ∴D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的边上的中线， ∴和是“友好三角形”； （2）2或4； （3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质及等腰三角形的性质等知识，理解题中新概念是解题的关键． （1）由题意得点D是的中点，再证明，得，从而可证结论成立； （2）分两种情况：当点P在线段的延长线上时；当点P在线段的反向延长线上时；利用“友好三角形”的意义即可求解； （3）分是顶角与底角两种情况考虑，利用三角形内角和求出底角或顶角即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：当点P在线段的延长线上时，如图2， 当时，和是“友好三角形”, ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在线段的反向延长线上时，如图3， 当和是“友好三角形”时,则， ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为2或4； （3）解：当是顶角时，则底角为， ∴； 当是底角时，则顶角为， ∴； 综上，k的值为或； 故答案为：或． 25. 如图1，和是两个等腰直角三角形，，，与分别交于点，和交于点G，连接，． （1）若，求的度数； （2）求证： （3）如图2，延长，交于点M，，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图，取中点O，连接， 则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由得，从而可求得的度数，再由即可求解； （2）连接，由得，再由等腰直角三角形的性质得，则可得，从而得； （3）易得，结合等腰三角形的性质及三角形内角和得，再由四边形内角和可得；取中点O，连接，得是等边三角形，又可得，继而由三角形外角的性质可得，从而． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质等知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭县2025∽2026学年第一学期农村片区校半期联考 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，3，4 C. 1，3，3 D. 2，3，7 3. 如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　） A. 12 B. 7 C. 2 D. 14 4. 如图，已知，加一个条件不能判定和全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的面积相等 C. 如果，那么 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 7. 下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是( ) A. B. C. D. 8. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 10. 如图，在等边中，是边上的高，，在下列结论中：①图中有三对全等三角形；②；③；④．正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为_____． 12. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 13. 如图，，，，则______． 14. 如图，△ABD和△ACD关于AD所在的直线对称，点D在BC上，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若的周长为12，的周长为21，则的长为_______． 16. 如图，等边三角形的边长为4，点P为上一动点，E为边的中点，则的最小值 _____． 三、解答题（共86分，共9题，共86分） 17. 如图，，垂足分别为C，D，．求证． 18. 如图所示，在中，平分是的高，，求的度数． 19. 在如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标是． （1）写出点B，C的坐标； （2）已知点，，画出，并判断与是否成轴对称，若成轴对称，请画出对称轴． 20. 如图，在中，，，的平分线交于点D． （1）尺规作图：作的平分线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的度数． 21. 图1是小朋友荡秋千的场景．静止时场景平面图中，秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若． （1）求证：； （2）求到的距离． 22. 如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．求证： （1）∠CAF＝∠CBE； （2）△CEF是等边三角形． 23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在斜边AB上，且AD=AC，过点B作BE⊥CD交直线CD于点E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD=2BE． 24. 【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 25. 如图1，和是两个等腰直角三角形，，，与分别交于点，和交于点G，连接，． （1）若，求的度数； （2）求证： （3）如图2，延长，交于点M，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $