精品解析：河南省驻马店市实验中学2025-2026学年九年级上学期期中素质调研数学试卷

2025-2026学年度上学期九年级数学素质调研测试卷 本试卷共三道大题，共120分，考试时间100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答． 【详解】解：当中时是一元二次方程，故A选项不符合题意； 不符合定义，故B选项不符合题意； 符合定义，故C选项符合题意； 中含有两个未知数，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握成比例线段并能运用求解． 根据成比例线段的顺序，得出比例式，再代入已知值求解． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 3. 如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义．利用反比例函数k值的几何意义，可知，再结合反比例函数的图象即可得解． 【详解】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则； 又由于，则． 故选：D 4. 如图，在中，点，分别在边，上，．若，，，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到，再根据相似比即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 5. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 6. 若点在反比例函数的图象上，则的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由知，函数图象位于一、三象限，且在各个象限中单调递减．据此解答即可． 【详解】解：， 函数图象位于一、三象限，且在各个象限中单调递减， 点在反比例函数的图象上， ∴点在第三象限，点、在第一象限， ∴，，， 又∵， ∴在第一象限内，， 综上，． 故选：B． 7. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 8. 反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】A．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误； B．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误； C．反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误； D．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置． 9. 如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：分别用表示哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁张卡片， 画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 10. 如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点包括正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直的判定以及线段最小值的求解．通过，可证明四边形为矩形，可得，再证明，得，等量代换可得，即①正确；因为，可得，由，等边对等角得，所以，即②正确，由，得，由①可知，四边形是矩形，四边形是正方形．故③正确；由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小，此时，④不正确；即可解答． 【详解】解析：如图所示，连接，交于点O， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，即①正确； ， ， ， ， ，即②正确， 当时， ， ， 由①可知，四边形是矩形， 四边形是正方形．故③正确； 由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小， 此时， 的最小值为，④不正确． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若函数是反比例函数，则____． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数满足的次数为，且系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况是解题的关键． 13. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 14. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 15. 如图，四边形中，，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据翻折的性质可得，，设，则，在直角中，根据勾股定理可得，即可得到的长度，由翻折性质可得，，由矩形的性质可得，即可得出是等腰三角形，，即可得出答案． 【详解】解：设，则， 根据勾股定理可得，， 解得：， 由翻折性质可得，， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质以及矩形的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）；（配方法） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 所以，． 17. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据两直线平行，内错角相等求出，等量代换可得， 根据等角对等边的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 18. 某校在暑假期间组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭；B．洗碗；C．打扫；D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： 抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图 （1）本次接受抽样调查的总人数是_________人； （2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整； （3）小雯在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定从《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四本书中随机奖励她两本．在随机抽取的两本书中，求恰好是《论语》和《大学》的概率． 【答案】（1）120 （2） 补全两个统计图如下： 抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）由B的人数除以其百分比即可； （2）先求解A的百分比与C的人数，再补全图形即可； （3）分别用A，B，C，D表示《论语》《孟子》《大学》《中庸》4本书名，再利用列表法求解概率即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次接受抽样调查的总人数是120人； 【小问2详解】 ，（人） 【小问3详解】 分别用A，B，C，D表示《论语》《孟子》《大学》《中庸》4本书名，列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中抽到的两本书恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，分别是和． ． 19. 如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形； （2）首先证得是等边三角形，得到，由平行四边形性质得到，根据勾股定理知即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 在矩形中，． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形判定与性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 20. 鸿星尔克专卖店销售一批衬衫，会计做账时发现如果每件衬衫盈利40元，平均每天可售出20件，老板为了用扩大销售量来增加盈利、该商场决定采取适当降价措施，发现如果每件衬衫每降价1元，该商场平均每天可多售出2件衬衫． （1）若某天该衬衫每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）如果该商场平均每天盈利1200元且要求尽可能减少库存，那么该衬衫每件应降价多少元？ 【答案】（1）962元 （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天可以盈利元，且减少库存更多． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式即可求解； （2）设每件衬衫应降价x元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：元． 【小问2详解】 若商场平均每天要盈利1200元，设每件衬衫应降价x元， 依题意得 ， 整理得： 解得： ∵要求尽可能减少库存， ∴不符合题意，舍去，取， 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天可以盈利元，且减少库存更多． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 21. 坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得：，，，，请你求出超然楼的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意先证得四边形为矩形，得到，，然后证明，得到，代入数据求得的长度，即可求得的长度． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴超然楼的高度为． 22. 如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，腰的中点为，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的另外2个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将等腰沿轴方向向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1） （2） 描绘格点及反比例函数图象，如下， . （3） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数图象经过点，解答即可． （2）利用描点法画图象即可． （3）设平移后点A的坐标为，将代入反比例函数，得， 解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，描点法画图象，平移，熟练掌握待定系数法，平移是解题的关键． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， 代入得， ， 这个反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设平移后点A的坐标为，将代入反比例函数，得， 等腰向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离a为． 23. “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】 （1）如图①，是的角平分线，求证：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点A恰好落在边的中点E处．若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点F，连接，当时，的长为________． 【答案】 （1）小明的思路： 过点作，如下图所示， 平分， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ； 选择小红的思路： 过点作，过点作，过点作，如图所示， 平分， ， ， ，， ， 又，， ， ； （2）； （3）6 【解析】 【分析】（1）小明的思路：过点作，根据平行线的性质可证，根据对顶角相等可得，所以可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； 小红的思路：过点作，过点作，过点作，根据高相等的两个三角形的面积比等于它们的底边之比可得：，，从而可证结论成立； （2）根据（1）中的结论可得，根据折叠的性质可知：，，从而得到，设，则有，在中利用勾股定理可以求出的长度； （3）根据垂直平分线的性质可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，从图中可以看出，所以可证，再根据，可证，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如下图所示， 由（1）可知， 根据折叠的性质可知：，， 点为的中点， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为； （3）解：如下图所示， 为的角平分线， 由（1）可知， ，，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，解决本题的关键是根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质找出图中相等的角，从而得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期九年级数学素质调研测试卷 本试卷共三道大题，共120分，考试时间100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. D. 6 4. 如图，在中，点，分别在边，上，．若，，，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4.5 5. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若点在反比例函数的图象上，则的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 8. 反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若函数是反比例函数，则____． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 13. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 14. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 15. 如图，四边形中，，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）；（配方法） （2）． 17. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 18. 某校在暑假期间组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭；B．洗碗；C．打扫；D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： 抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图 （1）本次接受抽样调查的总人数是_________人； （2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整； （3）小雯在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定从《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四本书中随机奖励她两本．在随机抽取的两本书中，求恰好是《论语》和《大学》的概率． 19. 如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 20. 鸿星尔克专卖店销售一批衬衫，会计做账时发现如果每件衬衫盈利40元，平均每天可售出20件，老板为了用扩大销售量来增加盈利、该商场决定采取适当降价措施，发现如果每件衬衫每降价1元，该商场平均每天可多售出2件衬衫． （1）若某天该衬衫每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）如果该商场平均每天盈利1200元且要求尽可能减少库存，那么该衬衫每件应降价多少元？ 21. 坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得：，，，，请你求出超然楼的高度． 22. 如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，腰的中点为，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的另外2个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将等腰沿轴方向向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 23. “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】 （1）如图①，是的角平分线，求证：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点A恰好落在边的中点E处．若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点F，连接，当时，的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $