江苏省启东中学2025-2026学年高三上学期周练6数学试题

2025—2026学年第一学期高三数学周练6 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、单选题 1．设集合.集合.则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4．为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（ ） A. 先向正东走4米，再向正北走3米 B. 先向正东走6米，再向正南走2米 C. 先向正西走2米，再向正北走3米 D. 先向正西走4米，再向正南走6米 5．已知，则（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 6．已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则下列说法中不正确的有( ) A． B．在处的切线方程为: C．若函数，，使得成立，则 D．若函数有两个零点，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于对称 B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，为抛物线上的三点，为拋物线的焦点，且，则（    ） A． B． C．存在三点，使分别为一个三角形的三条边长 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是 . 13．函数(，)为偶函数，且函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，则的解析式为 . 14．在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足.则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（分）如图，在四边形中，，，. （1）求的长； （2）若的面积为6，求的值. 16．（分）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, . （1）证明:平面平面; （2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值. 17．（分）已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足，为等差数列，其前n项和为，如图________，的图象经过A，B两个点. (1)求Sn； (2)若存在正整数n，使得bn＞Sn，求n的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答. 18．（分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，） 19．（分）已知椭圆的焦距为4，的三个顶点在椭圆E上，两点关于坐标原点O对称，，且直线与的斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）当为椭圆的右顶点时，求直线的方程； （3）若直线与轴交于点，与轴垂直，垂足为，证明：. 《高中数学2025年12月02日》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B C B A C BCD ABD 题号 11 答案 ABD 8．【解析】对于A项，，A项正确； 对于B项，两边同时对求导得， ，，又，， 在处的切线方程为，即，B项正确； 对于C项，由题意得，当时，， 要使有意义，则需， ，， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，，使得成立， ，解得，C项错误； 对于D项，由题意得，， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 又当时，，，，解得， 不妨设，则，由得， ，， 要证，只需证，即证， 即证，只需证， 只需证，只需证， 设，，则， 令，，则， 在上单调递减，，， 在上单调递增，又， ，即，，D项正确．故选C． 10．ABD 【详解】对于选项A:由，则, 所以, 因为， 所以， 所以的图象关于对称，故选项A正确； 对于选项B: 因为的图象关于对称，所以， 因为，故，所以,故选项B正确； 对于选项C:因为为奇函数，所以为奇函数， 即关于对称，结合的图象关于对称， 可得的周期为， 因为，所以， 所以，故选项C错误； 对于选项D:因为是周期为4的奇函数， 故是周期为4的偶函数， 所以， 故，故选项D正确. 故选项：ABD. 11．【详解】由题设可知， 所以，且，故A正确； ，所以，，同理可得，，故B正确； 不妨设，则，代入， 得，所以，故C不正确； 由 ，故D正确. 故选：ABD. 12．192 【详解】因为在6和768之间插入6个数，使它们组成共有8项的等比数列，那么768=6q7,q=2,因此可知这个等比数列的第6项是192，故答案为192. 13． 【详解】∵函数，∴， 由题意得，∴，则. ∵为偶函数，∴，∴，， 又∵，故，即，∴.故答案为： 14． 【详解】因为，，，，则四边形为直角梯形， 平面，平面，则， ，，平面，则平面， 、平面，，，则， 故， 平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点， 由可得，化简可得， 即点的轨迹为圆，当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大， 不妨设点，设三棱锥的球心为， 由，可得，解得， 所以，三棱锥的外接球球心为，球的半径为， 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【详解】解：（1）由题可知. 在中，， 所以. （2），则. 又， 所以. 16．（1）详见解析；（2）. 【详解】解：（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以. 在中，分别为的中点，所以，且. 于是在中， ， 所以为直角三角形，且. 因为，,所以. 因为，，， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，, ,,. 设平面的一个法向量为, 则即，取,得. 设平面的法向量, 则即，取,得. 所以， 又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17．(1)Sn＝8－23－n (2)答案见解析 【分析】（1）设等比数列{an}的公比为，求得，，结合等比数列的求和公式，即可求解； （2）设等差数列的公差为，根据题意得到选择图②③均满足“存在正整数n，使得”，进而结合图②和图③，即可求解. 【详解】（1）解：设等比数列{an}的公比为， 由，可得，故， 又因为，所以，所以. （2）解：设等差数列的公差为， 由题图①知：T1＝b1＝1，T3＝－3，可得，故数列是递减数列， 又由是递增数列，且，所以不满足“存在正整数n，使得”. 由题图②知：T1＝b1＝1，T3＝6，可判断，故数列是递增数列. 由题图③知：T1＝b1＝－3，T3＝0，可判断，故数列是递增数列. 所以选择图②③均满足“存在正整数n，使得”. 若选择图②，则T1＝b1＝1，T3＝6，可得，所以. 当1，2，3，4，5，6，7时，不成立， 当8时，b8＝8，S8＝8－23－8，即， 所以使得成立的正整数n的最小值为8. 若选择图③，则T1＝b1＝－3，T3＝0，可得，所以. 当1，2，3，4时，不成立； 当时，b5＝9，S5＝8－23－5，即， 所以使得成立的正整数n的最小值为5. 18．(1)极小值为1，无极大值 (2) 【详解】（1）当时，，，所以， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）不等式在上恰有3个整数解，等价于在上恰有3个整数解， 令，，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 又， ， 所以要使有3个整数解，需满足， 即，此时的整数解为：2，3，4. 所以的取值范围为. 19．【答案】（1） （2）或. （3）证明见解析 【小问1详解】 由题，设，则， 因为点在椭圆上，所以， 两式作差得， 即，所以①，设椭圆的焦距为，则②， 又③，综合①②③解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为为椭圆的右顶点，所以此时要满足，则直线的斜率存在且不等于0， 设，与椭圆的方程联立得 得，因为，所以， 又，所以，得， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 方法一： 证明：，则， 设直线，与椭圆的方程联立， 得， 则. 所以， 因为，所以， 化简得，所以或， 当时，与重合，不合题意，舍去； 所以，此时，易得， 可得，所以，得证 方法二： 证明：记直线的斜率分别为， 令，则， 因为，所以，又，故， 设直线， 令得， 所以，故， 又因为，所以， 所以，得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $