精品解析：河南省平顶山部分学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二上学期数学12月月考试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．） 1. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线性质可得、，即可得解. 【详解】由，则，解得，，故. 故选：B. 2. 若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案. 【详解】A选项，，所以，，是共面向量； B选项，，所以，，是共面向量； C选项，， 所以，，是共面向量； D选项，令，显然无解，故不是共面向量. 故选：D 3. 过点，，的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角坐标系内画出三角形，利用数形思想，结合两直线垂直的判定方法判定该三角形的形状，再利用直角三角形外接圆的性质，再结合圆的标准方程进行求解即可. 【详解】由如图，已知，，所以， 故该圆的圆心是的中点； 半径为， 所以圆的标准方程为， 故选：C 4. 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，，过作直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，联立方程组解得，再根据椭圆的定义，即可求得周长. 【详解】设椭圆方程为， 由题可知：，结合， 解得. 由椭圆的定义可知，三角形的周长为. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆的简单性质，属基础题. 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为， 当时，， ②当时，直线的斜率， 由于或， 所以,,， 所以， 综上所述：； 故选：C． 6. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 7. 直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由所给信息可得平面，与的法向量，后利用向量知识可得直线的方向向量，即可得答案. 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为. 同理可知，与分别为平面与的一个法向量. 设直线的方向向量为，则， 不妨取，则.设直线与平面所成的角为， 则. 所以. 故选：D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）． A. 若，则向量、的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点P，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【解析】 【分析】考虑，的夹角为0可判断A；根据空间向量共面定理可判断BCD. 【详解】对于A，当，的夹角为0时，，故A错误， 对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C，因为，则向量共面， 又有公共点，所以P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误． 故选：BC． 10. 已知直线：和圆：交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线：垂直 C. 当最小时，其余弦值为 D. 若，直线被圆截得的弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：整理可得，即可判断定点；对于B：分析可知对任意，直线与圆相交，取符合题意；对于C：分析可知取到最小值，等价于取到最小值，结合余弦定理运算求解；对于D：先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】对于选项A：因为直线：，即， 所以直线恒过定点，且斜率为，故A错误； 对于选项B：圆：的圆心为，半径， 因为，可知点在圆内， 则对任意，直线与圆相交， 又因为直线：的斜率为， 所以当，则，两直线垂直， 所以存在使得直线与直线：垂直，故B正确； 对于选项C：若取到最小值，等价于取到最小值， 当且仅当时，取到最小值， 此时直线：,， ， 又因为直线：不可能表示，所以,即无最小，故C不正确； 对于选项D：若，则直线：， 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为，故D正确； 故选：BD. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程，求出a，c的值，代入离心率公式，即可判断A的正误；当P位于短轴端点时，的面积最大，求出面积最大值，分析即可判断B的正误；根据椭圆定义及基本不等式，即可判断C的正误；设，可求出，坐标，根据数量积公式，结合椭圆方程及x的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意，所以， 求得，所以离心率，故A正确； 选项B：当P位于短轴端点时，不妨取上端点，则， 此时的面积最大，且为， 所以的面积最大为，不可能为2，故B错误； 选项C：由椭圆定义得， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为4，故C正确； 选项D：设，由题意， 所以， 所以， 因为P在椭圆上，所以，且， 所以， 所以当时，的最小值为-2，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线：，：，当时，直线与之间的距离是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，再根据平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，与重合，不符合题意； 当，直线：,：,即，满足， 故直线与之间的距离是. 故答案为:. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合椭圆定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 又因为，即，可得， 所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 14. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点和直线． （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）先根据平行得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后转化为一般式即可； （2）先分直线经过原点及直线不经过原点，应用点斜式及截距式设直线再代入点计算求参，最后转化为一般式即可. 【小问1详解】 由直线的方程可知它的斜率为， 因为，所以直线的斜率为． 又直线经过点， 所以直线的方程为：，即． 【小问2详解】 若直线经过原点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即； 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，即，故直线方程为． 综上所述，直线的方程为或． 16. 如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，再由即可求解； （2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解. 【小问1详解】 因为点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以 【小问2详解】 由题意得， 故 ． 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 18. 已知双曲线：的离心率为，且过． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）证明:设，， 联立，得， ， ，，又 所以 ， 所以， 所以直线的方程为，恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得关于的方程组，解得，即可得到双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理再化简得，即可得出直线恒过定点． 【小问1详解】 根据题意可得，解得，， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 证明略，定点为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，、分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，. （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为棱中点，得， 又是长方形边的中点，则， 因此，则四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）（i）； （ii）不存在，理由如下： 假设在棱上存在点，使平面， 而，， 令，则， 由平面，得，因此，无解， 所以在棱上不存在点，使平面. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）（i）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解；（ii）假定存在，利用空间位置关系的向量证明推理判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又，， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 易得平面的一个法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期数学12月月考试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．） 1. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 过点，，的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，，过作直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）． A. 若，则向量、的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点P，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10. 已知直线：和圆：交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线：垂直 C. 当最小时，其余弦值为 D. 若，直线被圆截得的弦长为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线：，：，当时，直线与之间的距离是_________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是______. 14. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点和直线． （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 18. 已知双曲线：的离心率为，且过． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，、分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，. （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $