精品解析：四川天府新区实外高级中学2025-2026学年高二上学期第二次段考数学试题

四川天府新区实外高级中学 2025-2026学年度上期高二年级数学学科第二次段考考试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 2. 某地区有大型商铺家，中型商铺家.为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为的样本，则应抽取中型商铺（ ） A. 家 B. 家 C. 家 D. 家 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比求出答案. 【详解】依题意，分层抽样的抽样比为， 所以应抽取中型商铺（家）. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线坐标运算列式求解即可. 【详解】向量，，若，则， 所以，，故. 故选：A． 4. 已知直线，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 5. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在圆外及方程表示圆，列出不等式求解. 【详解】由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 6. 已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量. 【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3， 而圆心距为5，故两圆外切， 所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 7. 当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先判断直线经过定点，且定点在圆内，要使弦长最短，只需使，计算即得. 【详解】由得，圆心坐标是，半径是 直线：过定点，且在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由解得. 故选:B. 8. 已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解. 【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得 ，因为线段AB的中点为，所以，， 所以，由，得，又因为，解得，， 所以椭圆C的方程为． 故选：A． 二、多选题. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的纵截距为 B. 直线必过定点 C. 已知直线：，直线：，若，则或 D. 过点且在坐标轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】令，求出即可判断A；将直线方程化为，由此即可判断B；根据两直线平行的充要条件即可判断C；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断D. 【详解】对于A，令，则， 所以直线在轴上的纵截距为，故A正确； 对于B，将直线化为， 令，得， 所以直线必过定点，故B正确； 对于C，因为直线：与直线：平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合， 所以，故C错误； 对于D，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得，所以直线方程为， 综上所述，所求直线方程为或，故D错误. 故选：AB. 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 若，满足圆的方程，则的最大值是 C. 若圆上存在个点到直线的距离为，则 D. 过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：根据定义化简方程可得圆的方程；B：设，根据直线与圆有交点列出不等式可求结果；C：根据条件判断出圆心到直线的距离所满足的不等关系即可求解出结果；D：根据面积公式判断出取最小值时四边形的面积取最小值，由此可计算出结果. 【详解】对于A：由题意可得，化简可得，故错误； 对于B：设，则直线与有公共点， 所以，解得，所以的最大值是，故正确； 对于C：圆的圆心为，半径为，因为圆上存在个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离小于，所以，解得，故正确； 对于D：如图所示，设， 因为， 当取最小值时，取最小值，即有最小值， 当时，此时取最小值， 所以，所以，故正确； 故选：BCD. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点P是线段的中点，点Q是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. Q到平面的距离为 C. 与所成角的取值范围为 D. 三棱锥外接球体积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由面面平行得到线面平行；B用空间向量法求出点到平面的距离；C找到与所成的角就是与所成的角，由边长关系确定即可找到最大和最小；D由和外接球体积最小确定球心，再由球的体积公式求出即可. 【详解】A：由题意可知，且面，面， 所以面面， 又因为面， 所以平面， 故A正确； B：因为平面， 所以Q到平面的距离等于到平面的距离， 以所在直线分别为轴，以为原点建立空间直角坐标系，如图 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则，所以， 所以到平面的距离，故B错误； C： 因为，所以与所成的角就是与所成的角， 因为点Q是线段上的动点（不含端点），所以与所成角的最大值为， 又因为，， 所以， 所以在中，，即为与所成角的最小值，但不能取得， 所以与所成角的取值范围为，故C正确； D： 因为，又是直角三角形，，取的中点， 则， 因为棱锥外接球体积最小，所以需要， 所以为外接球的球心， 所以， 所以外接球体积的最小值，故D正确； 故选：ACD 三、填空题. 12. 过点且与直线平行的直线方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与直线平行的直线方程为将点代入方程求出即可. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 又所求直线过点，可得， 所以所求直线方程为：， 故答案为：. 13. 中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为______________________________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：椭圆长轴的长为18，即2a=18，得a=9，因为两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c=•2a=6，得c=3，因此，b2=a2-c2=81-9=72，再结合椭圆焦点在y轴上，可得此椭圆方程为. 考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 点评：本题给出椭圆的长轴长和焦点的位置，求椭圆的标准方程，着重考查了椭圆的基本概念和标准方程等知识，属于基础题．但要注意焦点在x轴上与焦点在y轴上椭圆标准方程形式的不同． 14. 已知，为椭圆（）的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆离心率的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，在 内运用余弦定理求解. 【详解】 设 ， ，由条件知： ， …① 在 中，由余弦定理知： ， 由①得： ； 故答案为： . 四、解答题. 15. （1）已知圆经过，两点，圆心在轴上，求圆的标准方程； （2）已知椭圆的方程为．求椭圆的长轴长、离心率、焦点坐标． 【答案】（1）；（2）椭圆的长轴长为8、离心率为、焦点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及几何关系，构建方程，求出圆心坐标及半径，得到圆的标准方程. （2）将椭圆方程化为标准方程，求出，，的值，根据椭圆的性质求出长轴长、离心率和焦点坐标. 【详解】（1）设圆心坐标为，半径为. 因为圆经过，两点，所以, 即，解得， 所以圆心坐标为，此时， 故圆的标准方程为. （2）椭圆的方程可化为. 所以，，，即，，， 所以长轴长为，离心率， 因为，所以焦点在轴上，焦点坐标为. 因此，椭圆的长轴长为8、离心率为、焦点坐标为. 16. “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． （1）求的值； （2）估计这组数据的中位数； （3）估计这组数据的平均数． 【答案】（1） （2） （3）50 【解析】 【分析】根据频率分布图的频率之和为1，计算即可求出，进而利用中位数与平均数的意义求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 【小问2详解】 因为，， 所以中位数在内，故中位数为. 【小问3详解】 平均数为. 17. 已知圆． （1）求过点且与圆相切的直线方程． （2）若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据切线斜率是否存在进行分类讨论，则切线方程可求； （2）通过两圆方程相减可得直线的方程，再由到直线的距离以及的半径可求. 【小问1详解】 因为，所以在圆外； 当切线斜率存在时，设切线，即， 所以，解得，即切线方程为； 当切线斜率不存在时，切线方程为，且，故满足条件， 综上所述，切线方程为或. 【小问2详解】 ， 将的方程相减可得，即， 所以直线的方程为； 因为的圆心为，半径为， 所以. 18. 如图1所示，在等腰梯形，，垂足为E，，将沿折起到的位置，如图2所示.点为棱上一个动点，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：， ，又平面，平面， 平面. （2）； （3）存在，此时. 【解析】 【分析】（1）证明，再通过线面平行的判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与平面所成角的正弦值； （3）设，其中，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， .因此，两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系. 在等腰梯形中，， 因此易证得，故， 则. 设平面的法向量为，则， 即，取，则，则. 设直线与平面所成角为，则. 【小问3详解】 ，设，则. 设平面的法向量为，则有， 即，取，则，即. 由题（2）可知，平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）. 因此，棱上存在点G，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值； （3）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得的面积最大值. 【小问1详解】 由题可知，，故，因此， 又因为点在椭圆上，故， 联立，解得，故椭圆. 【小问2详解】 由题可知，，故直线，设点， 联立直线与椭圆，得， 根据韦达定理，，， 由弦长公式知. 【小问3详解】 易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立，得， ， 由韦达定理可得， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川天府新区实外高级中学 2025-2026学年度上期高二年级数学学科第二次段考考试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 某地区有大型商铺家，中型商铺家.为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为的样本，则应抽取中型商铺（ ） A. 家 B. 家 C. 家 D. 家 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 4. 已知直线，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的纵截距为 B. 直线必过定点 C. 已知直线：，直线：，若，则或 D. 过点且在坐标轴上截距相等的直线方程为 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 若，满足圆的方程，则的最大值是 C. 若圆上存在个点到直线的距离为，则 D. 过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点P是线段的中点，点Q是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. Q到平面的距离为 C. 与所成角的取值范围为 D. 三棱锥外接球体积的最小值为 三、填空题. 12. 过点且与直线平行的直线方程是_________． 13. 中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为______________________________ 14. 已知，为椭圆（）的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆离心率的取值范围为____________. 四、解答题. 15. （1）已知圆经过，两点，圆心在轴上，求圆的标准方程； （2）已知椭圆的方程为．求椭圆的长轴长、离心率、焦点坐标． 16. “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． （1）求的值； （2）估计这组数据的中位数； （3）估计这组数据的平均数． 17. 已知圆． （1）求过点且与圆相切的直线方程． （2）若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 18. 如图1所示，在等腰梯形，，垂足为E，，将沿折起到的位置，如图2所示.点为棱上一个动点，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $