精品解析：河南省洛阳市洛龙区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期期中学科素养调研 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据一元二次方程的定义，对四个选项中的方程逐一分析，再进行判断． 【详解】解：是二元一次方程，故A不符合； 是一元二次方程，故B符合； 中最高次数为3，故C不符合； 中分母含未知数，故D不符合， 故选：B． 2. 下面四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 下列二次函数中，二次项系数是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的一般形式为，其中a为二次项系数，直接比较各选项中的系数即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 二次项系数是，不符合题意； B. 二次项系数是1，不符合题意 C. 二次项系数是，不符合题意； D. 二次项系数是，符合题意； 故选：D． 4. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意，   故选：A ． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 与轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，关键是熟练应用知识点解题； 根据二次函数的顶点式形式，直接判断开口方向、顶点坐标、增减性和与轴的交点情况。 【详解】解：∵ 函数为顶点式， ∴ 顶点坐标为，故B正确； ∵ ， ∴ 开口向上，故A错误； ∵ 对称轴为 ，且开口向上， ∴ 当时，随增大而增大，故C错误； 令，得，即，无实数解， ∴ 与轴无交点，故D错误； 因此，正确答案为B． 故选：B． 6. 如图是某公司去年8~12月份生产成本统计图，设9~11月每个月生产成本的下降率都为，根据图中信息，得到所满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设9~11月每个月生产成本的下降率都为x，根据该公司9月份及11月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越大解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点为，，， ∴与对称轴的距离分别为， ∴， ∴． 故选：A． 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，关于原点对称，牢记根与系数的关系是解题的关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系求出m和n，得到点坐标，再求该点关于原点对称的点． 【详解】解：方程 中，，，， ，． 点在平面直角坐标系中坐标为． 点 关于原点对称的点为， 点在平面直角坐标系中关于原点对称的点为． 故选：C． 9. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若且，则 D. 若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 10. 将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，观察可知6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转后的坐标为， 第二次旋转后的坐标为， 第三次旋转后的坐标为， 第四次旋转后的坐标为， 第五次旋转后的坐标为， 第六次旋转后的坐标为， ⋯， 可知，6次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点A对应点的坐标为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值：_____． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴当取3时，方程有两个相等的实数根． 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 13. 如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，由旋转的性质可得，由正方形的性质可得，则可得到，再根据等边对等角求解即可． 【详解】解；由旋转的性质可得， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， 故答案为： 14. 对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，关键是明确题目意思，掌握一元二次方程的解法．由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， 配方，得：， ， 直接开平方，得：， ， ，； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 因式分解，得：， ， 或， ，． 17. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … （1）求的值． （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）． （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． 【答案】（1） （2） 根据表格中数据，描点、连线得：如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）依据题意，根据表格数据可设，将代入得，求出a的值即可得出解析式，再把代入解析式即可求出m的值； （2）描点、连线即可得出答案； （3）根据二次函数的性质求出最小、最大值即可得出y的范围． 【小问1详解】 解：由题意，根据表格数据，设， ∴将代入得， ∴， ∴抛物线解析式为，即， 把代入得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象，当时，y的取值范围为． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点，，的坐标： ， ， ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，，， 【解析】 【分析】本题考查了中心对称作图，旋转作图，以及写出点的坐标． （1）分别作出点关于原点成中心对称的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕点顺时针旋转后的点，再顺次连接即可作图，即可写出坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】（1）4个 （2）6米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【小问1详解】 解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； 【小问2详解】 解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 20. 中国的基建速度震惊世界，大大激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．已知桥拱与抛物线的形状相同． （1）的值为 ． （2）当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． （3）若水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】（1） （2）当水面的宽度为时，桥拱顶点到水面的高度为 （3）若水面下降，水面宽度增加米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． （1）根据二次函数的性质即可解得； （2）由题意得，令解出方程即可得到解答； （3）由题意得，令解出方程即可得到解答． 【小问1详解】 解：∵桥拱可以用抛物线的一部分表示，其解析式为，且桥拱与抛物线的形状相同， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：水面的宽度为， 点的横坐标为5， 把代入中，得：， 当水面的宽度为时，桥拱顶点到水面的高度为； 【小问3详解】 解：由（2）得，当水面下降时，拱桥顶点到水面的高度为， 把代入中，得：， 解得：， 此时水面的宽度为：（米）， 若水面下降，水面宽度增加米． 21. 数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点……第行有个点……． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．例如：求前10行的点数和， ①， 由①式倒序：②． ①+②，得： 所以，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前行的点数和． （2）前 行的点数和是120． 【拓展应用】 （3）如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，，你能探究出前行的点数之和的规律吗？请说明理由． 【答案】（1）前行的点数和为； （2）15； （3）前行的点数之和的规律为，理由： 根据题意，前面的解答，得， 故 . 前行的点数之和的规律为． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料提供的解题方法，解答即可． （2）根据题意，构造一元二次方程解答即可． （3）根据结论，提取公因式后解答即可． 本题考查了有理数的加法，解方程，提取公因式，数形结合思想，熟练掌握解方程，数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：设①， 由①式倒序：②. ①+②，得： . ， 前行的点数和为． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得（舍去） 故答案为：15． （3）略 22. 发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标系，结合抛物线性质分析其运动规律． 如图1所示，某发石车置于山坡底部的处，现以为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知石块从点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与的水平距离为9米，且到地面（轴）的竖直距离为6米；在点处建有一堵防御墙，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题： （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （3）在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是_______________米． 【答案】（1） （2）石块不能飞越防御墙 （3）在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值，再与的长进行比较即可得到结论； （3）先求出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，求出的最大值即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意知， 设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， ∴拋物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意知， 在中，当时，， ， ∴石块不能飞越防御墙． 【小问3详解】 解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 【答案】（1） ， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学科素养调研 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次函数中，二次项系数是的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 与轴有两个交点 6. 如图是某公司去年8~12月份生产成本统计图，设9~11月每个月生产成本的下降率都为，根据图中信息，得到所满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若且，则 D. 若两点都在抛物线的图像上，则 10. 将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值：_____． 12. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 13. 如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数为________． 14. 对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 15. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … （1）求的值． （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）． （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点，，的坐标： ， ， ． 19. 新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 20. 中国的基建速度震惊世界，大大激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．已知桥拱与抛物线的形状相同． （1）的值为 ． （2）当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． （3）若水面下降，水面宽度增加多少？ 21. 数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点……第行有个点……． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．例如：求前10行的点数和， ①， 由①式倒序：②． ①+②，得： 所以，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前行的点数和． （2）前 行的点数和是120． 【拓展应用】 （3）如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，，你能探究出前行的点数之和的规律吗？请说明理由． 22. 发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标系，结合抛物线性质分析其运动规律． 如图1所示，某发石车置于山坡底部的处，现以为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知石块从点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与的水平距离为9米，且到地面（轴）的竖直距离为6米；在点处建有一堵防御墙，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题： （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （3）在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是_______________米． 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $