课下培优巩固练（四十五）函数y＝A sin (ωx＋φ)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．为了得到函数y＝sin 的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：选B.y＝sin ＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin 的图象． 2．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选A.y＝sin 2x y＝sin ＝sin ＝－sin (π－2x)＝－sin 2x. 由于－sin (－2x)＝sin 2x，所以是奇函数． 3．(2025·丹阳高一上期末)若将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为(　　 ) A．y＝sin (x－) B．y＝－sin 2x C．y＝－cos x D．y＝－cos 2x 解析：选A.函数y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin x，再将图象向右平移个长度单位得到y＝sin [(x－)]＝sin (x－). 4．要得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选A.y＝cos ＝sin [＋]＝sin ＝sin .由题意知，要得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度． 5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y).若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　) A．y＝sin ，t∈[0，＋∞) B．y＝sin ，t∈[0，＋∞) C．y＝sin ，t∈[0，＋∞) D．y＝sin ，t∈[0，＋∞) 解析：选C.由题意可得函数初相为，排除B、D.又T＝60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.故选C. 6．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin ＋2 解析：选D.将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin ＋2的图象，故选D. 7．将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为________． 解析：将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得y＝sin ＝sin (4x＋)，所以φ的值为. 答案： 8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________． 解析：由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.∴ω＝＝. 答案： 9．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则f＝________． 解析：由图象知T＝π，∴T＝，A＝2， 又∵T＝，∴ω＝3，将点代入y＝2sin (3x＋φ)得sin ＝0，取φ＝－π.∴f(x)＝2sin ， ∴f＝2sin ＝2sin π＝0. 答案：0 10．要得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin 的图象向______平移____个单位长度． 解析：∵y＝sin ＝sin ， ∴要得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin 的图象向右平移个单位长度． 答案：右　 11．已知函数y＝sin ，x∈R.用五点法作出它在一个周期内的简图． 解：列表： 2x＋ 0 π 2π x － y 0 0 － 0 描点、连线，如图所示． 12．已知函数f(x)＝3sin (2x＋φ)，其图象向左平移个单位长度后，关于y轴对称． (1)求函数f(x)的解析式； (2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的． 解：(1)将函数f(x)＝3sin (2x＋φ)图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝3sin ＝3sin . 因为图象平移后关于y轴对称， 所以2×0＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z)， 因为φ∈，所以φ＝. 所以f(x)＝3sin . (2)将函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin ，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin 的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin 的图象． 【能力提升题组】 13．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则(　　) A．B＝4 B．φ＝ C．ω＝1 D．A＝4 解析：选B.由函数图象可知f(x)min＝0，f(x)max＝4. 所以A＝＝2，B＝＝2. 由周期T＝＝4知ω＝2. 由f＝4得2sin ＋2＝4， sin ＝1， 又|φ|<，故φ＝. 14．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos 2x的图象，只要将f(x)的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：选D.由图可知，A＝1，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2.∴f(x)＝sin (2x＋φ).又f＝sin ＝0，|φ|<，∴＋φ＝π，即φ＝.∴f(x)＝sin .因此，只需把f(x)的图象向左平移个单位长度便可得到g(x)＝sin ＝cos 2x的图象． 15．(多选)下列有四种变换，其中能使y＝sin x的图象变为y＝sin 的图象的是(　　) A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 解析：选AD.由y＝sin x的图象变为y＝sin 的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的；第二种：先伸缩，后平移，各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度． 16．(多选)将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为(　　) A． B． C．0 D．－ 解析：选ABD.将函数y＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到y＝sin 的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.当k＝－1时，φ＝－.当k＝1时，φ＝π，故选ABD. 17．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________． 解析：函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin (其中ω＞0)，将代入得sin ＝0，所以＝kπ(k∈Z)，解得ω＝2k(k∈Z)，故得ω的最小值是2. 答案：2 18．将函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝A sin x的图象，则ω＝________，φ＝________． 解析：y＝A sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝A sin 的图象，再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝A sin (x＋)的图象，即为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象，所以f(x)＝A sin ，所以ω＝，φ＝. 答案：　 19．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r. (1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期； (2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象． 解：(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦线．∴y＝r sin [π－(ωt＋φ)] ∴y＝r sin (ωt＋φ)，因此T＝. (2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin ， 如图，其图象是将y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到． 20．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0. (1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R，且a<b)满足y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值． 解：(1)因为ω>0，根据题意有 ⇒0<ω≤. 所以ω的取值范围为. (2)f(x)＝2sin 2x，g(x)＝2sin ＋1＝2sin ＋1， g(x)＝0⇒sin ＝－， 解得x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z， 即g(x)的零点相离间隔依次为和， 故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $