课下培优巩固练（四十六）三角函数应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin ，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　) A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s 解析：选D.依题意是求函数s＝6sin 的周期，T＝＝1. 2．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　) A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 解析：选D.该质点的振动周期为T＝2(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，故C是错误的． 3．如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是(　　) A．， B．2， C．，π D．2，π 解析：选A.当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为. 4．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：选C.根据图象得函数的最小值为2， 有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8. 5．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin ，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动的次数为________． 解析：因为f＝＝＝＝50， 所以0.5 s内往复运动的次数为0.5×50＝25. 答案：25 6．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位：米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为____________________． 解析：设h＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，由图象知A＝6，T＝12，∴＝12，得ω＝＝.点(6，0)为五点作图法中的第一点，故×6＋φ＝0，得φ＝－π.∴h＝6sin ＝－6sin t(0≤t≤24). 答案：h＝－6sin t(0≤t≤24) 7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃. 解析：由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos ＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos ＋23＝20.5. 答案：20.5 8．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin (160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)T＝＝＝(min). (2)f＝＝80. (3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg). 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内． 【能力提升题组】 9．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　) A．[0，1] B．[1，7] C．[7，12] D．[0，1]和[7，12] 解析：选D.由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，点A的坐标是(，)，∴y＝sin ，t∈[0，12].可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]. 10．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是(　　) A．， B．， C．， D．， 解析：选B.由题意可知，A＝，32＋＝52，则T＝8，ω＝＝，y＝sin (x＋φ).由sin φ＝，得sin φ＝.∵|φ|＜，∴φ＝.因此频率是，初相为. 11．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0，60]. 解析：将解析式可写为d＝A sin (ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin . 答案：10sin 12．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝A sin ＋60(P：美元，t：天，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________． 解析：因为A sin ＋60＝80，sin ≤1，所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，即sin (150ωπ＋)＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋＝π，解得ω＝. 答案： 13．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化． (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t＝1表示2月1日)； (2)估计当年3月1日动物种群数量． 解：(1)设动物种群数量y关于t的解析式为 y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)， 则解得A＝100，b＝800. 又因为周期T＝2×(6－0)＝12， 所以ω＝＝. 所以y＝100sin ＋800. 又当t＝6时，y＝900， 所以900＝100sin ＋800. 所以sin (π＋φ)＝1.所以sin φ＝－1. 所以可取φ＝－， 所以y＝100sin ＋800. (2)当t＝2时，y＝100sin ＋800＝750， 即当年3月1日动物种群数量约是750. 学科网（北京）股份有限公司 $