课下培优巩固练（十一）不等式的基本性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．设M＝(x－1)·(x－5)，N＝(x－3)2，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不能确定 解析：选A.由M＝(x－1)(x－5)，N＝(x－3)2， 则M－N＝(x－1)(x－5)－(x－3)2＝(x2－6x＋5)－(x2－6x＋9)＝－4<0， 所以M<N. 2．已知a>b，c∈R，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．< B．a2>b2 C．ac>bc D．a＋c>b＋c 解析：选D.对于选项A，令a＝2，b＝－1，但 >，则A错误； 对于选项B，令a＝2，b＝－3，但a2<b2，则B错误； 对于选项C，当c＝0时，ac＝bc，则C错误； 对于选项D，有不等式的可加性得a＋c>b＋c，则D正确． 3．已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　) A.p>q B．p≥q C．p<q D．p≤q 解析：选C.p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p<q，故选C. 4．(多选)下列变形正确的是(　　) A．如果x＝y，则x－5＝y－5 B．如果x＝m＋1，则x＝1 C．如果x＝5，则x＝ D．如果a＝b，则am＝bm 解析：选ACD.对于A，x＝y，两边都加－5，得x－5＝y－5，故A正确； 对于B，m＋1＝0时，两边都除以0无意义，故B错误； 对于C，因为a2＋1>0，方程x＝5两边同除以a2＋1，得x＝，故C正确； 对于D，两边都乘以m，故D正确． 5．若a>b>0，d<c<0，则下列不等式成立的是(　　) A．ac>bc B．a－d<b－c C．< D．a3>b3 解析：选D.对于A，因为a>b>0，c<0，故ac<bc，故A错误； 对于B，因为a>b>0，d<c<0，故－d>－c，故a－d>b－c，故B错误； 对于C，取d＝－2，c＝－1，易得>，故C错误； 对于D，因为a>b>0，所以a3>b3，故D正确． 6．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若>，则a>b B．若b>a>0，m<0，则> C．若a>b，c<d，则a－c>b－d D．若a2>b2，ab>0，则< 解析：选AC.因为>，且c2>0，不等式两边同乘以c2得：a>b，A正确； －＝，由于b>a>0，m<0，而b＋m可能大于0，也可能小于0，B错误； 由c<d，则－c>－d，由不等式的基本性质得：a－c>b－d，C正确； 当a＝－2，b＝－1时，满足a2>b2，ab>0，但>，D错误． 7．若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．> B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| 解析：选C.对于A，当a＝2，b＝1时，<，故>不一定成立；对于B，当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，故a2>b2不一定成立；对于C，因为c2＋1≥1，a>b，所以>，故>一定成立；对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，故a|c|>b|c|不一定成立． 8．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为__________________. 解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)，又m>1， ∴(m－1)(m2＋1)>0，即m3>m2－m＋1. 答案：m3>m2－m＋1 9．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成______个正确命题． 解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略) 由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0⇒①. 所以可以组成3个正确命题． 答案：3 10．某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材．已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元．设1个排球的价格为A元，1个足球的价格为B元，则A___________B(填“>”“<”或“＝”). 解析：由题意得所以所以A－B>25>0，则A>B. 答案：> 11．已知a，b都是正实数，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2，并指出等号成立的条件． 证明：a3＋b3－(a2b＋ab2)＝－ab ＝≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b， 当且仅当a＝b时等号成立． 12．体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式(以下x1≠x2).方式一：小明一半的时间以x1 m/s的速度行走，剩余一半时间换为以x2 m/s的速度行走，平均速度为1；方式二：小明一半的路程以x1 m/s的速度行走，剩余一半路程换为以x2 m/s的速度行走，平均速度为2； (1)试求两种行走方式的平均速度1，2； (2)比较1，2的大小． 解：(1)设方式一中小明行走的总路程为s，所用时间为t1， 由题意得1·t1＝x1·＋x2·，可知1＝， 设方式二中所用时间为t2，总路程为s， 则2＝＝＝. (2)1－2＝－＝＝. 因为x1>0，x2>0且x1≠x2，所以>0，即1>2. 【能力提升题组】 13．(多选)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则4x＋y可能取的值为(　　) A．1 B．2 C．15 D．16 解析：选BC.由题意，实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9， 令4x＋y＝m(x＋y)＋n(2x－y)，即4x＋y＝(m＋2n)x＋(m－n)y， 可得解得m＝2，n＝1，所以4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)， 则－2≤2(x＋y)≤6，4≤2x－y≤9， 所以2≤4x＋y≤15. 14．某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．若男学生人数为7，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________． 解析：设男学生、女学生、教师的人数分别为x、y、z，则z<y<x<2z. 若x＝7，则可得<z<7，则z∈，当z＝4时，y取最小值5， 即男学生人数为7，则女学生人数的最小值为5； 若x的值未知，当z＝1时，则1＝z<y<x<2，不满足题意， 当z＝2时，则2＝z<y<x<4，不合乎题意， 当z＝3时，则3＝z<y<x<6，此时y＝4，x＝5，则x＋y＋z＝12，合乎题意． 故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为12. 答案：5　12 15．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy. 证明：因为x≥1，y≥1，所以xy≥1， 所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 将上面不等式中的右端减左端，得 [y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1). 因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $