课下培优巩固练（十三）基本不等式的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．已知某产品的总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝Q2＋3 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q)(单位：元/件)，则f(Q)的最小值是(　　) A．30 B．60 C．900 D．180 解析：选B.某产品的总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝Q2＋3 000， ∴f(Q)＝＝＋≥2＝60，当且仅当＝，即Q＝100时，等号成立． ∴f(Q)的最小值是60. 2．已知a、b∈(0，＋∞)，若＋≥恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[5，＋∞) B．[9，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，9] 解析：选D.因为a、b∈(0，＋∞)，由已知可得λ≤(a＋b)， 因为(a＋b)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当b＝2a时等号成立，故实数λ的取值范围为(－∞，9]. 3．若a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　) A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 解析：选D.对于A，都不大于2，结论不一定成立，如a＝2，b＝3，c＝4时，三个数a＋，b＋，c＋都大于2，所以选项A错误； 对于B，都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如a＝1，b＝2，则a＋<2，所以选项B错误； 对于C，至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如a＝2，b＝3，c＝4时，三个数a＋，b＋，c＋都大于2，所以选项C错误； 由题意，∵a，b，c均为正实数，∴a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6.当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号，若a＋<2，b＋<2，c＋<2，则结论不成立， ∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2，所以选项D正确． 4．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__________． 解析：因为x>0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)， 所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥. 答案：a≥ 5．(2025·盐城五校联盟高一上期末)对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于(　　 ) A．12 B．12 C．6＋6 D． 解析：选C.如图所示，在Rt△ABC中，两直角边长为a，b，斜边长为c＝6，则a2＋b2＝c2＝36. 因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋2ab＋b2≤2(a2＋b2)＝72，即(a＋b)2≤72， 当且仅当a＝b＝3时，等号成立，又a＋b>0，则a＋b≤6， 所以Rt△ABC的周长a＋b＋c≤6＋6， 即这个直角三角形周长的最大值等于6＋6. 6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______m，面积最大为______m2. 解析：设矩形的宽为y，由三角形相似得：＝，0<y<40， 即y＝40－x，∴40＝x＋y≥2，所以xy≤400， 当且仅当x＝y＝20时，矩形的面积S＝xy取得最大值400. 答案：20　 400 7．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、挤压、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投人x(1<x<10)万元，珍珠棉的销售量可增加p＝吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨珍珠棉还需要投人其他成本万元． (1)写出该公司本季度增加的利润y万元与x之间的函数关系； (2)当x为多少万元时，公司在本季度增加的利润y最大？最大为多少万元？ 解： (1)y＝p－x－＝－x－8(1<x<10). (2)y＝－x－8＝18－. ∵1<x<10，∴2<x＋1<11， ∴＋(x＋1)≥2＝10， 当且仅当＝x＋1，即x＝4时等号成立，∴y≤18－10＝8， ∴当x＝4万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元． 8．“三星堆”考古发掘出大量的古代象牙，博物馆需要在馆内一个透明且密封的长方体玻璃罩内充入保护液，保护出土的这些古代象牙，该博物馆需要支付的总费用由两部分构成： ①保护液的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少0.5 m3，且每立方米的保护液费用为500元． ②还需支付一定的保险费，且支付的保费与保护罩的容积成反比，当容积为2 m3时，支付的保费为4 000元． (1)求该博物馆支付的总费用y(元)与保护罩容积x(m3)之间的函数关系式； (2)求博物馆支付的总费用的最小值． 解：(1)设需要支付的保费为(k>0)，当x＝2时，＝4 000.∴k＝8 000. 所以总费用y＝500(x－0.5)＋(x>0.5). (2)y＝500(x－0.5)＋＝500x＋－250≥2－250＝4 000－250＝3 750.当且仅当500x＝，即x＝4时等号成立． 所以当容积x＝4时，总支出费用最少，费用为3 750元． 【能力提升题组】 9．在使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做－x2＋2x的上确界，若a>0，b>0且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　) A．－3 B．－4 C．－ D．－ 解析：选D.根据题意，由a＋b＝1，得－－＝(a＋b)＝－－，因为a>0，b>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即b＝2a＝时，等号成立，因此－－≤－2－＝－，根据定义知，－－的上确界为－. 10．(多选)甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分別为T1，T2，T3.甲有一半的时间以速度V1米/秒奔跑，另一半的时间以速度V2米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度V1米/秒奔跑，另一半的路程以速度V2米/秒奔跑．其中V1>0，V2>0.则下列结论中一定成立的是(　　) A．T1≤T2≤T3 B．T1≥T2≥T3 C．T1T3＝T D．＋＝ 解析：选AC.由题意知：T1V1＋T1V2＝100，所以T1＝，T2＝， T3＝＋＝， 由基本不等式可得≥，所以≤＝， 所以≥≥>0，故T1≤T2≤T3，当且仅且V1＝V2时等号全部成立． 故A选项正确，B选项错误； 又由·＝()2，故易知T1T3＝T，即C项正确； ＋＝，＝，取V1＝1，V2＝2，此时＋≠，所以D选项不一定成立． 11．已知a，b，c都是正数，若a＋b＋c＝3，证明：＋＋≥. 解：因为已知a，b，c都是正数，a＋b＋c＝3，所以(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝6， 则左边＝[＋ ＋ ]＝ (3＋＋＋＋＋＋)≥(3＋2＋2＋2)＝. 当且仅当⇒a＝b＝c＝1时取“＝”． 即＋＋≥成立． 12．已知a、b、c、d为正实数，请利用均值不等式证明(1)，并指出等号成立的条件，然后利用(1)证明(2)，并解决(3)中的实际问题． (1)求证：≥≥； (2)利用(1)中的结论证明：≥； (3)如图，将边长为1的正方形纸片的四个角都沿实线剪去一个边长为x的小正方形，再将四个部分都折起，做成一个无盖长方体盒子．求该长方体盒子的容积V的最大值，以及取到最大值时实数x的值． 解： (1)因为a、b、c、d为正实数， 所以≥，≥，当且仅当a＝b，c＝d时等号成立， 所以≥＋，当且仅当a＝b，c＝d时等号成立． 又因为≥＝，当且仅当＝时等号成立， 所以≥≥， 当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立． (2)由于≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立， 令d＝，得≥＝＝(abc)＝， 即a＋b＋c＋≥4，故a＋b＋c≥3. 所以≥，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立． (3)做成的长方体的底面是一个边长为1－2x的正方形，高为x. 所以V＝(1－2x)(1－2x)x. 由(2)中已证的不等式，可知 ≤ ＝， 当且仅当1－2x＝1－2x＝4x时等号成立． 所以(1－2x)(1－2x)(4x)≤，因此V＝(1－2x)(1－2x)x≤，当且仅当x＝时等号成立．综上所述，长方体盒子的容积V的最大值为，此时x＝. 学科网（北京）股份有限公司 $