3.2.2基本不等式的应用（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

3.2.2基本不等式的应用 第三章 不等式 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 教学难点： 会求（判定）某些简单命题的条件关系 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 会求（判定）某些简单命题的条件关系； 会判断、证明充要条件； 通过学习，弄清对条件的判断应该归结为什么。 课程目标 学科素养 数学抽象：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 逻辑推理：对命题真假的判断； 数学运算：通过命题之间的逻辑关系求参数的范围。 新知引入 基本不等式：对，，都有 当且仅当时，等号成立. 一正二定三相等 积定和最小 和定积最大 练习巩固 辨析1：若，且，则下列不等式中恒成立的是（　） . . . +> . +≥2 【答案】：. 解析:∵ ，∴ 错误. 对于，当时，明显错误. 对于，∵ ，∴ +≥＝2，当且仅当时，等号成立. 小技巧：本基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和. 新知探究 几个重要的不等式： （1） +≥2（同号）； （2）当时， +≥2；当时， +≤-2； （3）（a，b，c∈R）； （4）基本不等式链：若，则≤≤≤. 当且仅当时等号成立.其中和分别叫作的调和平均数和平方平均数. 练习巩固 练习1：已，求 最小值 解： 因为， 所以 所以， 当且仅当，即时取等 故的最小值为1 拆项裂项求最值 小技巧：裂项与拆项 裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值. 练习巩固 变式1：已，求 最大值 解： 因为， 所以 所以， 当且仅当，即时取等 所以 故 最大值为 练习巩固 练习2：若为正数，则+的最小值为_____. 并项求最值 【答案】：. 解析:∵ 当且仅当，且＝，即时，取等号，此时原式取得最小值. 练习巩固 变式2：若为正数，则的最小值为_____. 【答案】：. 解析:∵ 当且仅当，即时，取等号，此时原式取得最小值. 小技巧：利用基本不等式求最值的关键：依据定值去探求最值，探求的过程中常需要依据具体的问题进行合理的拆、配、凑等变换. 练习巩固 练习3：已知，，则的最小值为______. . 常量代换法求最值 【答案】：. 解析:∵因为，所以＝≥2+＝2+2＝4， 当且仅当时，取等号，所以+的最小值为4. 小技巧：把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘由基本不等式确定最值 练习巩固 变式3-1：已知，且求的最小值. 解：∵，且 ∴ 当且仅当即时，等号成立. ∴的最小值为. 练习巩固 变式3-2：已知，且求的最小值. 解：∵，且 ∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立. ∴的最小值为. 典例精讲 例3：用长为 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大? 解：设矩形长为，则宽为 ，面积为，. 由基本不等式，得 ≤＝. 上式当且仅当 ，即 时，等号成立. 由此可知，当时，取得最大值 . 答 ：将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为. 典例精讲 例4：某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为 . 如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元? 解：设总造价为 元 (，池底的一边长为 ()， 则另一边长为，即 . 由题中条件可得 由题意知 ，及 (当且仅当 时，等号成立)， 所以 ，且时，取得等号. 典例精讲 利用基本不等式解决实际问题的一般步骤： （1）理解题意，设好变量； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在自变量范围内，求出函数的最大值或最小值； （4）结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题. 练习巩固 练习4：(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 篱笆的长度为 (1)由已知得 由，可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短， 最短篱笆的长度为 练习巩固 练习4：(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：(2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 典例精讲 例5：如图，在三角形中，，，，且.当 三角形面积最小时，求，的值。 解：由题意知，，由基本不等式，得 因为，所以，得 于是，当且仅当，即，时，等号成立 因此，当三角形面积最小时，， 典例精讲 例6：如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白。如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少? 解：设纸张的面积为，排版矩形的长和宽分别是 则。所以由题意及基本不等式，得 当且仅当，即，时，有最小值，此时纸张的长和宽分别为和 小结 一正二定三相等 积定和最小 和定积最大 基本不等式 求最值 常量代换 配凑法 直接法 拆项裂项 并项 基本不等式：对，，都有 当且仅当时，等号成立. 感谢聆听 数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系． ——希尔伯特 $$