课下培优巩固练（十九）对数的运算性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．若lg x－lg y＝t，则lg－lg＝(　　) A．3t B．t C．t D． 解析：选A.lg －lg ＝3lg －3lg ＝3lg ＝3(lg x－lg y)＝3t. 2．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac B．a＝cd C. c＝ad D．d＝a＋c 解析：选B.由已知，得a＝，d＝，所以a＝cd. 3. (lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5的值为(　　) A．4 B．1 C．6 D．3 解析：选B.原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋(lg 5)2＋2lg 2·lg 5＝(lg 2＋lg 5)2＝1. 4．已知lg 2＝m，lg 3＝n，用m，n表示log46为(　　) A． B． C．2m2n D． 解析：选D.log46＝＝＝＝. 5．以下四个式子中a>0且a≠1，x>0，m>0，n>0，其中恒成立的是(　　) A．(logax)3＝3logax B．loga(m＋n)＝logam＋logan C．loga＝logam－logan D．＝logaxm 解析：选C.由对数的运算性质可知a>0且a≠1，m>0，n>0.loga＝logam－logan，＝logax，故选C. 6．若log3(log2x)＝log2(log3y)＝0，则x＝________ ，y＝________ . 解析：由已知得log2x＝1，故x＝2.同理，y＝3. 答案：2　3 7．3log72－log79＋2log7()＝_________ . 解析：原式＝log723－log79＋log7()2＝log7＝log71＝0. 答案：0 8．计算log23·log34＋8＋log27＝____ . 解析：log23·log34＋8＋log27＝log23·＋22－log333＝2＋4－3＝3. 答案：3 9．(1)已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求log的值； (2)求方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解． 解：(1)由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)得xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，化为－5＋4＝0，解得＝4或＝1. 又∵x>0，y>0，x－2y>0，∴>2.∴＝4，∴log＝log4＝log()4＝4. (2)原方程可化为log2(x＋1)＝log4(x＋4)＋1，即log2(x＋1)＝log4[4(x＋4)]. 所以log4(x＋1)2＝log4(4x＋16)， 即(x＋1)2＝4x＋16，解得x＝－3或x＝5. 又x＋1>0且x＋4>0，所以x>－1. 所以x＝－3不满足题意，因此应舍去． 故方程的解为x＝5. 10．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)2(lg )2＋lg ·lg 5＋ . 解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. (2)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋＝lg (lg 2＋lg 5)＋1－lg ＝lg ＋1－lg ＝1. 【能力提升题组】 11．计算2log63＋log64的结果是(　　) A．log62 B．2 C．log63 D．3 解析：选B.原式＝ 12．已知log34·log48·log8m＝log416，则m的值为(　　) A． B．9 C．18 D．27 解析：选B.××＝2，＝2，lg m＝lg 9，∴m＝9. 13．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为(　　) A． B． C．2 D．1 解析：选B.因为31＝4x，x＝log43，所以4x＋4－x＝＝3＋＝. 14．(多选)下列运算错误的是(　　) A．2log10＋log0.25＝2 B．log427·log258·log95＝ C．lg 2＋lg 50＝10 D．log(2＋)(2－)－(log2)2＝－ 解析：选ABC.对于A，2log10＋log0.25＝log(102×0.25)＝log52＝－2，A错误； 对于B，log427·log258·log95＝··＝＝，B错误； 对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误； 对于D，log(2＋)(2－)－(log2)2＝－1－()2＝－，D正确．选ABC. 15．(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系不正确的有(　　) A．＋＝1 B．＋＝2 C．＋＝2 D．＋＝ 解析：选BCD.a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确．＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20≠2，故B不正确．＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确． 16．方程log5(x＋1)－log(x－3)＝1的解为x＝________． 解析：log5(x＋1)－log(x－3)＝log5(x＋1)＋log5(x－3)＝log5[(x＋1)(x－3)]＝1， 所以解得x＝4. 因此方程log5(x＋1)－log(x－3)＝1的解为x＝4. 答案：4 17．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0.lg 3 ≈0.477 1) 解：设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y＝0.75；经过2年，剩余量是y＝0.75 2；…… 经过x年，剩余量是y＝0.75x； 由题意得0.75x＝， ∴x＝log0.75＝＝≈4. ∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的. 18．解下列方程： (1)(lg x－lg 3)＝lg 5－lg (x－10)； (2)lg x＋2log10xx＝2. 解：(1)首先，x应满足x＞10， 其次，原方程可化为lg ＝lg ， ∴ ＝，即x2－10x－75＝0. 解得x＝15或x＝－5(舍去)， 经检验，x＝15是原方程的解． (2)首先，x＞0且x≠，其次，原方程可化为lg x＋＝2，即(lg x)2＋lg x－2＝0.令t＝lg x，则t2＋t－2＝0. 解得t＝1或t＝－2，即lg x＝1或lg x＝－2.∴x＝10或x＝. 经检验，x＝10与x＝都是原方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $