4.2.2　对数的运算性质（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第四章 指数与对数 4.2 对 数 4.2.2　对数的运算性质（第1课时） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解对数的运算性质. 2.会用对数的运算性质进行一些简单的化简、计算. 3.通过运用对数的运算性质进行化简求值，提升数学抽象素养和数学运算素养. 我们知道，指数幂运算有下列性质： asat ＝ as＋t； ＝ as－t； (as)t ＝ ast. 根据对数的定义，有 logaN＝b ⇔ ab ＝ N (a＞0，a≠1，N＞0). 情景导入 那么，对数运算也有相应的性质吗? 设 M＝as，N＝at， 于是 MN＝as＋t. 由对数的定义得 logaM＝s，logaN＝t， loga(MN) ＝ s＋t. 因此，loga(MN) ＝logaM ＋logaN. 新知探究 一、对数的运算性质 (1) 性质： 一般地，我们可以得到如下的对数运算性质： ①积的对数：loga(MN) ＝_________________； ②商的对数：loga＝_________________； ③幂的对数：logaMn＝____________. 其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R. logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM (2) 本质： 正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算. (3) 应用： 广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题. 例 4 求下列各式的值： (1) log2(23×45)； 解：＝log223＋log245 ＝3＋5log24 ＝3＋5×2 ＝13. (2) log5125. 解：＝log5125 ＝1og553 ＝3log55 ＝3. 课本例题 例 5 已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值 (结果保留4位小数)： (1) lg12； 解：＝lg(22×3) ＝lg22＋lg3 ＝2lg2＋lg3 ≈2×0.3010＋0.4771 ＝1.0791. 课本例题 (2) lg . 解：＝lg(22×3) ＝lg33－lg24 ＝3lg3－4lg2 ≈3×0.4771－4×0.3010 ＝0.2273. 1. 用 lgx，lgy，lgz 示下列各式： (1) lg(xy2z3)； 课本练习 (2) lg. 2. 求下列各式的值： (1) log3(9×27)； (2) log (45×82)； ＝ log39＋log327 ＝2＋3 ＝5 (3) lg 25＋lg 4； (4) log 27－log 9； ＝lg (25×4) ＝lg100 ＝2 ＝－log333＋log332 ＝－3＋2 ＝－1 3. 已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值 (结果保留4位小数)： (1) lg 18； (2) lg 72； ＝lg(2×3) ＝lg2＋2lg3 ≈0.3010＋2×0.4771 ＝1.2552 ＝lg(23×32) ＝3lg2＋2lg3 ≈3×0.3010＋2×0.4771 ＝1.8572 (3) lg ； (4) lg 15. ＝ lg(3×2－2) ＝lg3－2lg2 ≈ 0.4771－2×0.3010 ＝－0.1249 ＝lg(10×3÷2) ＝1＋lg3－lg2 ≈1＋0.4771－0.3010 ＝1.1761 4.设 lg 2 ＝ a，lg 3 ＝ b，试用 a，b 表示下列各对数： (1) lg 108； (2) lg . ＝ lg (22×33) ＝lg22＋lg33 ＝2lg2＋3lg3 ＝2a＋3b ＝lg ＝ lg72 － lg100 ＝ lg (23×32) － lg102 ＝ lg23＋lg3－2 ＝ 3lg2 ＋ 2lg3－2 ＝ 3a＋2b－2 5. 不用计算器，求下列各式的值： (1) lg ＋lg； (2) log3 45 － log3 5. ＝ lg(×) ＝ lg ＝ lg10 ＝ lg10＝ ＝log3() ＝log39 ＝ 2 易错点　忽略底数与真数的范围而致错 B 错因分析 x＝5 D 一、选择题 1.计算lg 8＋3lg 5的结果为(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 解析　lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3. 分层练习-基础 19 A 2.如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　) 3.若lg a，lg b是方程3x2－6x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　) 解析　∵lg a，lg b是方程3x2－6x＋1＝0的两个实根， C ∴ab＝100.故选C. ACD 4.(多选题)下列运算错误的是(　　 ) 因为lg(xy)＝lg x＋lg y，所以2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，故B正确，C不正确； D中，lg 20＋lg 50＝lg 1 000＝3.故D不正确. A log320 ＝2(lg 2＋lg 3)－(lg 10－lg 2) ＝3lg 2＋2lg 3－1＝3a＋2b－1. 3a＋2b－1 若lg x＋lg y＝lg(x＋y)，则lg(xy)＝lg(x＋y)， ∴xy＝x＋y， 则lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x－y＋xy)＝lg 1＝0. 解析　若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y， 则lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)， ∴(x－y)(x＋2y)＝2xy， 2 0 三、解答题 9.计算下列各式的值： (2)原式＝2log32－(log325－log332)＋3log32－5log532 ＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7. 10.设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示下列各对数： ＝2lg 3＋lg 2－1＝a＋2b－1. 1 分层练习-巩固 29 A ＝log28＝log223＝3. 解析　由2x＝3，∴x＝log23. A.3 B.8 C.4 D.log48 13.计算下列各式的值： (1)log345－log35； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. 2 分层练习-拓展 课堂小结 17．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C．(0，1)∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 使对数loga (－2a＋1)有意义需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a≠1，,－2a＋1>0，))解得0<a<eq \f(1,2). 18．方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为__________． 原方程可化为 log2(x＋1)＝log4(x＋4)＋1， 即log2(x＋1)＝log4[4(x＋4)]． 所以log4(x＋1)2＝log4(4x＋16)， 即(x＋1)2＝4x＋16， 解得x＝－3或x＝5. 又x＋1>0且x＋4>0，所以x>－1. 所以x＝－3不满足题意，应舍去． 故方程的解为x＝5. 由lg x＝lg，可得x＝. A.x＝eq \f(ab3,c5) B.x＝eq \f(3ab,5c) C.x＝a＋3b－5c D.x＝a＋b3－c3 解析　lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lgeq \f(ab3,c5)， A.2 B. C.100 D. ∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－eq \f(－6,3)＝2，即lg(ab)＝2， A.2log10＋log0.25＝2 B.2lg(xy)＝2lgx·2lgy(x，y为正实数) C.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y(x，y为正实数) D.lg 20＋lg 50＝100 解析　A中，2logeq \f(1,5)10＋logeq \f(1,5)0.25＝logeq \f(1,5)100＋logeq \f(1,5)0.25＝logeq \f(1,5)25＝－2.故A不正确； A.3t B.t C.t D. 解析　lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq \s\up12(3)－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq \s\up12(3)＝3lgeq \f(x,2)－3lgeq \f(y,2)＝3lgeq \f(x,y)＝3(lg x－lg y)＝3t. 5.若lg x－lg y＝t，则lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq \s\up12(3)－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq \s\up12(3)＝(　　) 解析　∵3a＝2，3b＝， ∴a＝log32，b＝log3， ∴2a－b＝2log32－log3eq \f(1,5)＝log3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22÷\f(1,5)))＝log320. 二、填空题 6.已知3a＝2，3b＝eq \f(1,5)，则2a－b＝________. 解析　lgeq \f(36,5)＝lg 36－lg 5＝lg(4×9)－lg eq \f(10,2) 7.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lgeq \f(36,5)＝________________ (用含a，b的式子表示). 得x2－2y2＝xy，∴－＝1， ∴＝2或＝－1(舍去). 8.若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，则eq \f(x,y)＝________；若x，y∈(0，1)，若lg x＋lg y＝lg(x＋y)，则lg(1－x)＋lg(1－y)＝________. 解　(1)原式＝log3eq \f(3\f(3,4),3)＋lg(25×4)＋2＝log33－eq \f(1,4)＋lg 102＋2＝－eq \f(1,4)＋2＋2＝eq \f(15,4). (1)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72； (2)2log32－log3＋log38－52log53. 解　(1)lg ＝lg 108＝lg(4×27) (2)lg＝lg 32－lg 5＝2lg 3－(1－lg 2) ＝eq \f(1,2)(lg 22＋lg 33)＝lg 2＋eq \f(3,2)lg 3＝a＋eq \f(3,2)b. (1)lg ；(2)lg. ＝eq \f(1－2log63＋（log63）2＋（1－log63）（1＋log63）,2log62) ＝＝＝1. 解析　原式＝eq \f(（1－log63）2＋log6（6÷3）·log6（6×3）,log622) 11.计算：eq \f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________. ∴x＋2y＝log23＋2log4 ＝log23＋2log22 ＝log23＋log2＝log2 12.已知2x＝3，log4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y＝(　　) 解　(1)原式＝log3eq \f(45,5)＝log39＝log332＝2. 解析　由题意 ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b)))eq \s\up12(2)＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－4×eq \f(1,2)＝2. 14.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b)))eq \s\up12(2)＝________. 1.熟练掌握1个知识点 对数的运算性质. 2.掌握2种方法 (1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度. (2)利用结论loganMm＝logaM(a＞0且a≠1，M＞0，n∈R，m≠0)化简求值更方便. 3.注意1个易错点 在各对数有意义的前提下才能运用运算性质. $$