课下培优巩固练（十二）基本不等式的证明-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．已知x>0，则x＋的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选C.因为x>0，则x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时取“＝”， 所以x＋的最小值为2. 2．已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选A.因为x>－2，所以x＋2>0， 所以x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2， 当且仅当x＋2＝，即x＝0时取等号，所以x＋的最小值为2. 3．设m>0，n>0，且m＋2n＝1，则＋的最小值为(　　) A．4 B．3＋ C．3＋2 D．6 解析：选C.由＋＝(m＋2n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当m＝n＝－1时等号成立． 4．设a>0，b>0，若ab－5＝4a＋b，则ab的最小值是(　　) A．5 B．9 C．16 D．25 解析：选D.因为a>0，b>0，所以ab－5＝4a＋b≥2＝4， 即ab－4－5＝(－5)(＋1)≥0，则－5≥0，所以ab≥25， 当且仅当4a＝b时等号成立，由⇒ 5．(多选)下列能够取得最小值为4的函数有(　　) A．函数y＝x＋(x＞2) B．函数y＝x＋(x>0) C．函数y＝2－x－(x<0) D．函数y＝5－x (4－4x)(0<x<1) 解析：选ABD.y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，A正确； y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，B正确； y＝2－x－≥2＋2＝6，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，C错误； y＝5－x(4－4x)＝5－≥5－＝4，当且仅当4x＝4－4x，即x＝时等号成立，D正确． 6．设正实数x、y、z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 解析：选C.因为正实数x、y、z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2， 则＝＝≤＝1，当且仅当y＝2x>0时取等号．故的最大值为1. 7．已知a，b为正实数，a＋b＝3，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D．4 解析：选A.因为a＋b＝3，所以＋＝(a＋1＋b＋2)＝(＋＋2)≥(2＋2)＝， 当且仅＝，即a＝2，b＝1时等号成立． 8．已知t>0，则函数y＝的最小值为________. 解析：∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥－2，当且仅当t＝1时，ymin＝－2. 答案：－2 9．当x>－2时，函数y＝的最小值为_________． 解析：因为x>－2，则x＋2>0，则y＝＝＝(x＋2)＋≥2＝2，当且仅当x＝－2时，等号成立， 所以当x>－2时，函数y＝的最小值为2. 答案：2 10．已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋取到最小值时，ab＝________． 解析：＋＝＝≥＝＋， 当且仅当＝时，等号成立，又a＋b＝2，解得a＝4－2，b＝2－2， ab＝(4－2)(2－2)＝12－16. 答案：12－16 11．求解下列问题： (1)若x>0，y>0，且x＋2y－xy＝0，求x＋y的最小值； (2)若x>0，y>0，且(x＋2)(y＋1)＝9，求x＋3y＋5的最小值． 解： (1)因为x>0，y>0，且x＋2y－xy＝0，所以＋＝1， 则x＋y＝(x＋y)＝2＋＋＋1≥3＋2＝3＋2. 当且仅当＝，即x＝y时，也即时，上式取等号， 故当时(x＋y)min＝3＋2. (2)因为x>0，y>0，且(x＋2)(y＋1)＝9， 所以x＋3y＋5＝(x＋2)＋3(y＋1)≥2＝6， 当且仅当(x＋2)＝3(y＋1)时，又(x＋2)(y＋1)＝9， 所以当且仅当时，上式取等号， 故当时，(x＋3y＋5)min＝6. 【能力提升题组】 12．若1≤a≤3，则＋的最小值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选D.因为1≤a≤3，所以4－a>0， ∴＋＝[a＋(4－a)]＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1， 当且仅当＝，即a＝2时取等号，所以＋的最小值为1. 13．(多选)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则下列说法中正确的是(　　) A．xy有最大值为 B．＋有最小值为9 C．x2＋2y2有最小值为 D．＋有最小值为3 解析：选ABD.由x>0，y>0，且x＋y＝1，可知x＋y≥2，即xy≤＝， 当且仅当x＝y＝时取等号，故A正确； ＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故B正确； 由x>0，y>0，且x＋y＝1，可知0<x<1，故x2＋2y2＝x2＋2(1－x)2＝3x2－4x＋2， 当x＝∈(0，1)时，x2＋2y2＝3x2－4x＋2取得最小值为3×－4×＋2＝，故C错误； ＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，故D正确． 14．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为________． 解析：由题意可知，＝＝＝＋ ＝(＋)(x＋y)＝4＋5＋＋≥9＋2＝9＋4， 当且仅当＝，2x＝y时取等号， 此时x＝5－2，y＝2－4， 故的最小值为9＋4. 答案：9＋4 15．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号). ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. 解析：因为a＞0，b＞0，a＋b＝2，所以ab≤＝1，所以①恒成立； ＋≤2 ＝2，所以②不恒成立； a2＋b2≥＝2，所以③恒成立； 当a＝b＝1时，a3＋b3＝2＜3，所以④不恒成立； ＋＝(a＋b)＝≥2，所以⑤恒成立． 答案：①③⑤ 学科网（北京）股份有限公司 $