课下培优巩固练（三十三）对数函数的图象和性质(二)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．设a＝ln 3，b＝3－，c＝lg ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 解析：选D.因为a＝ln 3>ln e＝1，0<b＝3－<30＝1，c＝lg <lg 1＝0，所以c<b<a.故选D. 2．(多选)已知函数f(x)＝lg ，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)的定义域为(－1，1) C．f＋f＝f D．f(x)在定义域上单调递减 解析：选ABC.f(x)＝lg 定义域为，又f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f，所以f(x)为奇函数，AB正确；f＝lg ()＝lg 3，f＝lg ()＝lg 2，f＝lg ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，所以f＋f＝f，C正确；＝－1＋在定义域内为增函数，而y＝lg u单调递增，由复合函数单调性可知：f(x)在定义域上单调递增，D错误．故选ABC 3．(多选)已知函数f＝loga(1－x)(a>0，a≠1)，下列关于f的说法正确的是(　　) A．定义域是 B．值域是R C．图象恒过定点 D．当a>1时，在定义域上是增函数 解析：选ABC.对于A选项，1－x>0，解得x<1，所以定义域是，故A正确； 对于B选项，由对数函数的性质得值域是R，故B正确； 对于C选项，函数f＝loga(1－x)(a>0，a≠1)恒过定点(0，0)，故C正确； 对于D选项，当a>1时，函数y＝logat在上单调递增，函数y＝1－x在上单调递减，故根据复合函数单调性得当a>1时，f在定义域上是减函数，故D错误；故选ABC. 4．(多选)已知0<m<n<1，则(　　) A．lg m<lg n B．0.5m<0.5n C．logmπ<lognπ D．mn<nm 解析：选AD.对于A，由y＝lg x为递增函数，又0<m<n<1则lg m<lg n，A正确； 对于B，由y＝0.5x为递减函数，又0<m<n<1则0.5m>0.5n，B错误； 对于C，由0<m<n<1，结合对数函数的性质，在(1，＋∞)上logmx>lognx恒成立，即logmπ>lognπ，C错误； 对于D，由0<m<n<1，结合指数函数的性质知：mn<mm<nm，D正确．故选AD. 5．若loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为______________. 解析：由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.当a>1时，y＝logax是增函数，∴解得a>，∴a>1；当0<a<1时，y＝logax是减函数，∴解得<a<.∴<a<.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞). 答案：∪(1，＋∞) 6．函数y＝(1－2x)的单调增区间是________． 解析：函数的定义域为.设t＝1－2x，则t在是减函数，而y＝t是减函数，故原函数的增区间为. 答案： 7．若函数f＝(a>0且a≠1). ①若a＝，则f＝________； ②若f有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析：当a＝时，f＝ 所以f＝－(－1)＋3＝4， 所以f＝f＝log4＝－2； 当x≤2时，f＝－x＋3， 当x＝2时，f＝－x＋3取得最小值1， 当0<a<1时，且x>2时，f(x)＝logax<loga2，此时函数无最小值． 当a>1时，且x>2时，f(x)＝logax>loga2，要使函数有最小值，则必须满足loga2≥1，解得1<a≤2. 答案：－2　 1<a≤2 8．比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 解：(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2<log40.2. (4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3， 所以log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 9．已知f(x)＝(logx)2－3logx，x∈[2，4]，试求f(x)的最大值与最小值． 解：令t＝logx, 则y＝t2－3t＝－， ∵2≤x≤4，∴log4≤logx≤log2， 即－2≤t≤－1. 可知y＝(t－)2－在[－2，－1]上单调递减． ∴当t＝－2时，y取最大值为10； 当t＝－1时，y取最小值为4. 故f(x)的最大值为10，最小值为4. 【能力提升题组】 10．(多选)设a＝log，b＝log5，则下列说法中正确的有(　　) A．0<a<1 B．ab<－1 C．a＋b>0 D．a＋b＋ab>0 解析：选ACD.对于A，a＝log>log1＝0，a＝log<log＝1，∴0<a<1，A正确； 对于B，b＝log5<log51＝0，b＝log5>log5＝－1， ∴－1<b<0，∴－1<ab<0，B错误； 对于C，a＋b＝＋＝＝>0，C正确； 对于D，＋＋1＝＋＋1＝＝<0，即<－1.又∵ab<0，∴a＋b>－ab，∴a＋b＋ab>0，D正确．故选ACD. 11．(多选)已知函数f＝ln ，下列说法正确的有(　　) A.当b＝0时，函数f的定义域为R B．当b＝0吋，函数f的值域为R C．函数f有最小值的充要条件为：b2＋4b－4<0 D．若f在区间上单调递增，则实数b的取值范围是 解析：选AC.对于A，当b＝0时，x2＋1>0恒成立，所以函数f的定义域为R，所以A正确， 对于B，当b＝0时，f＝ln ，因为x2＋1≥1，所以ln ≥ln 1＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)，所以B错误， 对于C，令t＝x2－bx－b＋1＝－，则tmin＝－，当－>0，即b2＋4b－4<0时， f一定有最小值，反之也成立，所以C正确， 对于D，令t＝x2－bx－b＋1＝－，则y＝ln t，当f在区间上单调递增时， 解得b<，所以D错误，故选AC. 12．若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0，1]上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．(1，＋∞) 解析：选B.令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0，1]上恒大于零，当x∈[0，1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.综上可得1<a<2.故选B. 13．设常数a>1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，y的最大值为，则a的值为________，x的值为________. 解析：由logax＋2logxa＋logxy＝－3，得logax＋＋＝－3(x>0，y>0，x≠1)，整理可得logay＝－(logax)2－3logax－2.设logax＝t(t≠0)，则有logay＝－＋. ∴当t＝－时，logay的最大值为，y的最大值为a， ∴a＝.∴a＝4，此时x＝at＝4－＝. 答案：4　 14．函数y＝lg 的定义域为R，则实数a的取值范围是______，若此函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________． 解析：y＝lg 的定义域为R⇔x2＋2ax＋1>0⇔Δ<0⇒4a2－4<0⇒－1<a<1； 令t＝x2＋2ax＋1，A＝， 则y＝lg 的值域为R⇔⊆A⇔Δ≥0⇒4a2－4≥0⇒a≥1或a≤－1. 答案： (－1，1)　 (－∞，－1]∪[1，＋∞) 15．函数f＝log2在(－∞，－2]上单调递减，g＝4x－2x＋1a－5a. (1)求a的取值范围； (2)当x∈时，求g的最小值． 解：(1)设t＝x2－2ax－5a，则f＝log2＝log2 由题意可得，所以－2≤a<4， 所以，a的取值范围为. (2)因为x∈，所以2x∈＝.又因为g＝4x－2x＋1a－5a＝－a2－5a，若 a∈，2x＝a时，g 有最小值－a2－5a；若a∈，2x＝时，g 有最小值. 16．已知函数f(x)＝ax－1(a＞0且a≠1). (1)若函数y＝f(x)的图象经过点P(3，4)，求a的值； (2)若f(lg a)＝100，求a的值； (3)比较f与f(－2.1)的大小，并写出比较过程． 解：(1)因为函数y＝f(x)的图象经过P(3，4)，所以a3－1＝4，即a2＝4.又a＞0，所以a＝2. (2)由f(lg a)＝100知，alg a－1＝100. ∴lg alg a－1＝2(或lg a－1＝loga 100). ∴(lg a－1)·lg a＝2. ∴(lg a)2－lg a－2＝0， ∴lg a＝－1或lg a＝2， ∴a＝或a＝100. (3)∵f＝f(－2)＝a－3，f(－2.1)＝a－3.1，当a＞1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为增函数， ∵－3＞－3.1，∴a－3＞a－3.1， 即f＞f(－2.1)； 当0＜a＜1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3＞－3.1，∴a－3＜a－3.1， 即f＜f(－2.1). 学科网（北京）股份有限公司 $