课下培优巩固练（三十七）同角三角函数关系-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1. 化简(1－cos α)的结果是(　　) A. sin α B． cos α C. －sin α D． －cos α 解析：选A.原式＝(1－cos α)＝＝sin α. 2. 若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于(　　) A. 1 B. －1 C. 0 D． ±2 解析：选C.＋＝＋. 当α的终边在第二象限时，原式＝＋＝0； 当α的终边在第四象限时，原式＝＋＝0. 3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－. 4．如果tanθ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.1＋sin θcos θ＝ ＝＝＝. 5．(多选)若sinα＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　) A．tan α＝ B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－ 解析：选AB.∵sin α＝，且α为锐角， ∴cos α＝＝＝，故B正确， ∴tanα＝＝＝，故A正确， ∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误， ∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误． 6．化简：＝_____________． 解析：原式 ＝ ＝ ＝|cos 40°－sin 40°| ＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40° 7．化简下列各式： (1)cos4α＋sin2α(1＋cos2α)； (2)·(1＋)·. 解：(1)原式＝cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α ＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝1. (2)原式＝·· ＝··＝＝tan α. 8．求证：(1) 1＋tan2α＝； (2)tan2αsin2α＝tan2α－sin2α. 证明：(1)左边＝1＋＝＝＝右边； (2)左边＝·sin2α＝，右边＝－sin2α＝sin2α＝sin2α·＝. 故左边＝右边，从而等式成立． 【能力提升题组】 9．已知角α终边上一点P的坐标为(a，3a)(a≠0)，则的值是(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 解析：选D.由正切函数的定义可得tan α＝3，因此＝＝－，故选D. 10．(2025·南通如皋高一上期末)已知幂函数f(x)＝xm2－2m(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是单调减函数．若f(sin α＋cos α)＝5，α∈(0，π)，则f(sin α－cos α)＝(　　 ) A． B．－ C．－ D． 解析：选A.由题意可得m2－2m<0，解得0<m<2，又m∈Z，所以m＝1，所以f(x)＝， f(sin α＋cos α)＝＝5，所以sin α＋cos α＝， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝⇒2sin αcos α＝－， 所以1－2sin αcos α＝，即(sin α－cos α)2＝. 因为α∈(0，π)，2sin αcos α＝sin 2α＝－<0，所α∈(，π). 所以sin α－cos α＝，所以f(sin α－cos α)＝. 11．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝______，tan2α＋＝________． 解析：∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7. 答案：　7 12．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m的值． 解：设直角三角形的一个锐角为β， 因为在方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中， Δ＝4(m＋1)2－4×4m＝4(m－1)2≥0， 所以当m∈R时，方程恒有两实根． 又因为sin β＋cos β＝，sin βcos β＝， 所以由以上两式及sin2β＋cos2β＝1， 得1＋2×＝，解得m＝±. 当m＝时，sinβ＋cos β＝>0，sin β·cos β＝>0，满足题意； 当m＝－时，sin β＋cos β＝<0，这与β是锐角矛盾，舍去． 综上，m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $