课下培优巩固练（三十）指数函数的图象和性质(二)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．(2025·苏州高一上期末)已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|<2x<2}，则A∩B＝(　　 ) A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2} 解析：选A.因为A＝{0，1，2}，B＝{x|<2x<2}＝{x|－1<x<1}，故A∩B＝{0}． 2．函数y＝的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，1) 解析：选A.由已知得，f(x)的定义域为R， 设u＝1－x，y＝. 因为u＝1－x在R上为减函数， 又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数，所以选A. 3．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞成立的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0.1) D．(1，＋∞) 解析：选D.定义域为R，f(0)＝0，解得a＝1，由f(x)>即>，解得x>1. 4．已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，2) D．(1，＋∞) 解析：选A.根据题意可知函数在R上单调递增，因此可知2－a>0，a>1，2－a＋1≤a，解得实数a的范围是，故选A. 5．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝_____． 解析：∵f(x)是奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)， 即＋a＝－，∴a＝. 答案： 6．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，≥0对x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立， ∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0. 答案：[－1，0] 7．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为______，值域为______． 解析：令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0， ∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)， 令t＝－1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增， 又y＝为减函数，故f(x)的增区间为(－∞，0]. ∵t＝－1≥－1， ∴∈(0，2]. 故f(x)的值域为(0，2]. 答案：(－∞，0]　(0，2] 8．已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝在R上是减函数，所以f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞). (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 9．函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R上的奇函数． (1)求k的值； (2)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集； (3)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m. 解：(1)因为f(x)是定义域为R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 所以k－1＝0， 所以k＝1，经检验k＝1符合题意． (2)因为f(1)>0， 所以a－>0， 又a>0且a≠1， 所以a>1. 易知在R上单调递增，原不等式化为f(x2＋2x)>f(4－x)， 所以x2＋2x>4－x， 即x2＋3x－4>0， 所以x>1或x<－4. 所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}． (3)因为f(1)＝， 所以a－＝， 即2a2－3a－2＝0，解得a＝2或a＝－(舍去). 所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2. 令t＝f(x)＝2x－2－x， 因为x≥1，所以t≥f(1)＝， 所以g(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2. 当m≥，t＝m时，g(t)min＝2－m2＝－2， 所以m＝2； 当m<，t＝时，g(t)min＝－3m＝－2， 解得m＝>，舍去． 综上可知m＝2. 【能力提升题组】 10．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3) 解析：选AD.由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以A、D正确． 11．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：选B.a＝30.2∈(1，3)，b＝0.2－3＝＝53＝125， c＝(－3)0.2＝(－3)<0，所以b>a>c. 12．若关于x的不等式a2x≥a3－x(0<a<1)的解集为A，则函数y＝3x＋1，x∈A的最大值为(　　) A.1 B．3 C．6 D．9 解析：选D.因为0<a<1，且a2x≥a3－x， 所以2x≤3－x，解得x≤1. 所以A＝{x|x≤1}． 又函数y＝3x＋1，x∈A为增函数， 所以当x＝1时，y＝3x＋1取得最大值9.故选D. 13．已知指数函数f(x)＝(2a－1)x，若f(－3)>f(－2)，则实数a的取值范围是______；若f(－3)<f(－2)，则实数a的取值范围是________． 解析：∵指数函数f(x)＝(2a－1)x，若f(－3)>f(－2)， ∴函数f(x)单调递减，∴0<2a－1<1，解得<a<1，同理，若f(－3)<f(－2)，则2a－1>1，解得a>1. 答案：　(1，＋∞) 14．设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，则该函数的最大值为______，最小值为______． 解析：令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4. 则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5. 配方得y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]， ∴y＝(t－3)2＋在t∈[1，3]上单调递减；在t∈[3，4]上单调递增， ∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝. 故函数的最大值为，最小值为. 答案：　 15．设函数f(x)＝＋(e为无理数，且e＝2.718 28…)是R上的偶函数且a>0. (1)求a的值； (2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－1)＝f(1)，∴＋＝＋， 即－＝－ae. ∴＝e， ∴－a＝0，∴a2＝1， 又a>0，∴a＝1. (2)f(x)＝ex＋e－x.设x1，x2>0，且x1<x2， ∵x1，x2>0，x1<x2， ∴，即f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 16．定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 解：法一　f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0， 因为f(x)的定义域为[－1，1]， 所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1]内有解， 令t＝2x，则t∈，故－2m＝t＋， 设g(t)＝t＋，则在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t∈时，g(t)∈， 即－2m∈， 所以m∈. 法二　当f(x)＝2x＋m时，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0， 令t＝2x，则t∈，故关于t的二次方程t2＋2mt＋1＝0在上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”，设f(t)＝t2＋2mt＋1. ①当方程t2＋2mt＋1＝0在上只有一个解或有两个相同的解时， 需满足或f·f(2)≤0， 解得m＝－1或m＝－， 当m＝－时，方程在区间上有两个解，不符合，故m＝－1. ②当方程t2＋2mt＋1＝0在上有两个不相等实根时， 需满足⇒ 故－≤m<－1， 综上，m∈. 学科网（北京）股份有限公司 $