课下培优巩固练（三）子集、真子集-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．下列关系中错误的是(　　) A．∅⊆ B．⊆ C．∈ D．⫋ 解析：选C.因为∅⊆A，A⊆A，{2，3}⫋{1，2，3}，所以选项A，B，D都正确； C选项，集合与集合的关系不能用属于符号，所以C错误． 2．已知集合A＝，则A真子集的个数为(　　) A.3 B．4 C．6 D．7 解析：选A.由题设，A＝{x|－<x<，x∈N}＝{0，1}，∴A的真子集共有22－1＝3个． 3．若集合A＝，集合B＝{y|y＝，k∈Z}，则(　　) A．A＝B B．A⫋B C．B⫋A D．A∪B＝Z 解析：选B.k∈Z时，2k－1为奇数，k＋2为整数，所以集合A是集合B的真子集，即选项B正确． 4．已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝，若A＝B，则实数a的值为(　　) A．0 B．－ C．2 D．5 解析：选C.因为B＝，且A＝B，所以当x＝2时，2a＋1＝5，解得a＝2.故选C. 5．下列选项中正确的有(　　) A．{质数}⊆{奇数} B．集合{1，2，3}与集合{4，5，6}没有相同的子集 C．空集是任何集合的真子集 D．若A⊆B，B⊆C，则A⊆C 解析：选D.对于A, 2是质数，但是它不是奇数，所以{质数}⊆{奇数}错误，所以该选项错误； 对于B, 集合{1，2，3}与集合{4，5，6}有相同的子集∅，所以该选项错误； 对于C，空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误； 对于D，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，所以该选项正确． 6．(多选)已知集合A＝，B＝{4，}，若B⊆A，则实数a的值可能是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选ABC.因为B⊆A，所以4∈A，∈A，则解得a≤1. 故选ABC. 7．若集合A＝，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，C＝，则A、B、C的关系是(　　) A．C⊆A＝B B．A⊆C⊆B C．A＝B⊆C D．B⊆A⊆C 解析：选A.由已知可得，集合A、B为奇数集，则A＝B， ∵C＝⊆B，故C⊆A＝B. 8．若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面(朝上)”与“反面(朝上)”，分别记为H、T，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为Ω＝，则与事件“一个正面(朝上)一个反面(朝上)”对应的样本空间的子集为______． 解析：与事件“一个正面(朝上)一个反面(朝上)”对应的样本空间为， 此空间的子集为∅，{HT}，{TH}，{HT，TH}． 答案：∅，{HT}，{TH}，{HT，TH} 9．设A＝，B＝，若A⊆B，则a的取值范围是_____． 解析：根据题意作图： 由图可知，A⊆B，则只要a≤－1即可，即a的取值范围是. 答案： 10．满足条件：{a}⫋M⊆的集合M的个数为______． 解析：由{a}⫋M⊆可知，M中必含有元素a，且含有b，c，d中的至少一个． 在b，c，d中取1个元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故满足条件的集合M有7个． 答案：7 11．已知集合A＝，B＝，若A⊆B，求实数p的取值范围． 解：由A＝，B＝可知， ①当p＋2＝0，即p＝－2时，A＝∅⊆B，满足题意． ②当p＋2≠0，即p≠－2时，由A⊆B得，x＝－<0，p>－2. 综上可得，实数p的取值范围为. 【能力提升题组】 12．设集合A＝，B＝{x|n－≤x≤n}，且A，B都是集合的子集，如果把b－a叫作集合的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是___________． 解析：由题可知，A的长度为，B的长度为， A，B都是集合{x|0≤x≤1}的子集， 当A∩B的长度最小时，m与n应分别在区间的左右两端，即m＝0，n＝1，则A＝，B＝， 故此时A∩B＝的长度的最小值是：－＝. 答案： 13．当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”．对于集合A＝，B＝，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为___________． 解析：(1)当A与B构成“全食”，即B⊆A时， ①当a＝0时，B＝∅； ②当a≠0时，B＝， 又∵B⊆A，∴a＝－4； (2)当A与B构成“偏食”时，A∩B≠∅且B⃘A，∴a＝－1. 故a的取值为0，－1，－4. 答案： 14．已知M＝，N＝{x|x2＋ax＋1＝0}，且N⫋M，求实数a的取值范围． 解：由题意，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}＝. 当N＝∅时，即Δ＝a2－4<0，解得－2<a<2，此时满足N⫋M， 当N≠∅时，要使得N⫋M，则－1∈N或3∈N， 当－1∈N时，可得(－1)2－a＋1＝0，即a＝2，此时N＝{－1}，满足N⫋M； 当3∈N时，可得32＋3a＋1＝0，即a＝－，此时N＝{3，}，不满足N⫋M， 综上可知，实数a的取值范围为{a|－2<a≤2}． 15．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B⫋A，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． 解：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B. 又B⫋A，∴a－1＝1，即a＝2. ∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当C＝{1，2}时，b＝3； 当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去； 当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2<b<2. 综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求． 学科网（北京）股份有限公司 $