课下培优巩固练（二十二）函数的表示方法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4}) 解析：选D.题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}． 2．如图，函数f的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为，，(3，1)，则f的值等于(　　) A．1 B．2 C．3 D． 解析：选B.由图象可知f＝1，f＝2, ∴f＝f＝2. 3．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　) 解析：选B.法一　函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，故选B. 法二　由f(－1)＝2，知图象过点(－1，2)，排除A，C，D. 4．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 解析：选A.法一　设t＝x－1，则x＝t＋1. ∵f(x－1)＝x2＋4x－5， ∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t， ∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x. 法二　∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)， ∴f(x)＝x2＋6x， ∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x. 5．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________． 解析：定义域为各段的并集， 即(0，1)∪{0}∪(－1，0)＝(－1，1). 值域为各段的并集(0，1)∪{0}∪(－1，0)＝(－1，1). 答案：(－1，1)　(－1，1) 6．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________． 解析：由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0. 答案：y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞) 7．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式； (3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21， 所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5. (2)因为f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1. 又因为f(x－1)－f(x)＝4x， 所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2， 所以f(x)＝－2x2－2x＋1. (3)因为f＝＋2＋1＝＋3，所以f(x)＝x2＋3. 【能力提升题组】 8．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的值域为(－∞，4) B．f(1)＝3 C．若f(x)＝3，则x的值是 D．f(x)<1的解集为(－1，1) 解析：选AC.当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故A正确；当x＝1时，f(1)＝12＝1，故B错误；当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，由x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，由x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．故选AC. 9．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　) A．(0，4] B． C． D． 解析：选C.因为y＝x2－3x－4＝－，所以对称轴为直线x＝，当x＝时，y＝－. 因为x＝0时，y＝－4，由二次函数图象可知解得≤m≤3，所以m的取值范围是. 10．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 解析：在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示． 由题意，可知2a＝－1，则a＝－. 答案：－ 11．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t左侧的图形的面积为f. (1)求函数f解析式； (2)若a，b为正实数，f(t0)＝，已知2a＋2b＝t0，求＋的最小值． 解：(1)当0≤t≤1时，设直线x＝t与△OAB分别交于C、D两点如图，则＝t， ∵△OAB是正三角形，∠AOB＝60°， 又∵＝tan 60°，∴＝t， ∴f＝·＝t·t＝t2； 当1<t≤2时，设直线x＝t与△OAB分别交于M、N两点，则＝t，＝2－t， 又∵＝tan 60°， ∴＝， ∴f＝S△OAB－S△AMN＝×－·＝－×，∴f＝－t2＋2t－； 当t>2时，f＝S△OAB＝，不符合题意； 综上所述： f＝ (2)∵f＝ 且f(t0)＝， 当0<t≤1时，f＝t2＝， ∴t0＝±，不符合题意； 当1<t≤2时，f＝－t＋2t0－＝，∴t0＝2，符合题意； 当t>2时，由f＝可知，t0＝不符合题意； 综上：t0＝2. ∵2a＋2b＝t0，且t0＝2，∴2a＋2b＝2， ∴a＋b＝1， ∴＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝b＝时取等号， ∴＋的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $