课下培优巩固练（八）充要条件-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选C.因为圆的内接四边形对角互补，若“A，B，C，D四点共圆”，可得“∠A＋∠C＝180°”； 因为对角互补的四边形内接于圆，所以若“∠A＋∠C＝180°”可得“A，B，C，D四点共圆”． 所以“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的充要条件． 2．已知c＝1，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.若a，b，c的平均数大于1，则＝>1，∴a＋b>2，∴>1，即a，b，c的平均数大于1，反之亦成立． 3.如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的两点，若α：＝，β：DE∥BC，则α是β的(　　) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 解析：选C.因为＝，所以△ADE～△ABC， 所以∠ADE＝∠ABC，所以DE∥BC，所以α是β的充分条件； 由DE∥BC，可得∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，所以△ADE～△ABC， 所以＝，所以α是β的必要条件． 所以α是β的充要条件． 4．若集合A＝，B＝{x|－2<x<a}，则“A∩B≠∅”的一个充要条件是(　　) A．a>－2 B．a≥－2 C．a>－1 D．a>1 解析：选C.x2－x－2<0，解得－1<x<2， ∴A＝，又B＝ ，故A∩B≠∅的等价条件为a>－1， 则“A∩B≠∅”的一个充要条件是a>－1. 5．(多选)下列各命题中，是充要条件的有(　　) A．p：a≠0，q：y＝ax2＋bx＋c为二次函数 B．p：x>0，q：x2>0 C．p：四边形是菱形，q：菱形对角线互相平分 D．p：x＝1或x＝2，q：x－1＝ 解析：选ACD.对选项A，若a≠0，y＝ax2＋bx＋c为二次函数，满足充分性， 若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，满足必要性，故A选项为充要条件； 对选项B，若x>0时，则x2>0，满足充分性， 若x2>0时，则x≠0，不满足必要性，故B不符合充要条件； 对选项C，若四边形是菱形，则菱形对角线互相平分，满足充分性， 若菱形对角线互相平分，则四边形为菱形， 满足必要性，故C符合充要条件； 对选项D，若x＝1或x＝2，则x－1＝，满足充分性， 若x－1＝，则解得x＝1或x＝2，满足必要性， 故D选项为充要条件． 6．设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　) A．a，b都为1 B．a，b不都为1 C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0 解析：选C.由ab＋1＝a＋b可得：(a－1)(b－1)＝0， ∴a＝1或b＝1，故“a，b中至少有一个为1”是“ab＋1＝a＋b”的充要条件． 7．“x2＋2x－3＝0”可作为下列结论______的充要条件． ①x＝1 ②x＝－3 ③x＝1或x＝－3 ④x＝－1或x＝－3 解析：由“x2＋2x－3＝0”可推得x＝1或x＝－3，反之也成立． 所以“x2＋2x－3＝0”是③的充要条件． 答案：③ 8．设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是__________． 解析：因为a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a2＝b2＝0，即a＝b＝0； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，所以“a2＋b2＝0”的充要条件是“a＝b＝0”． 答案：a＝b＝0 9．设n∈Z，求证：“n是偶数”是“是奇数”的充要条件． 解：若n是偶数，则n＋1为奇数，仍然是奇数，故“n是偶数”是“是奇数”的充分条件； 若是奇数，则n＋1是奇数，所以n为偶数，故“是奇数”是“n是偶数”的必要条件． 所以“n是偶数”是“是奇数”的充要条件． 10．请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围；若问题中的a不存在，请说明理由． 问题：已知集合A＝，B＝，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的______？ 解：选①，则A是B的真子集，则1－a≤0且1＋a≥4(两等号不同时取)， 又a>0，解得a≥3， ∴存在a，a的取值集合M＝ 选②，则B是A的真子集，则1－a≥0且1＋a≤4(两等号不同时取)， 又a>0，解得0<a≤1， ∴存在a，a的取值集合M＝， 选③，则A＝B，则1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解 ∴不存在满足条件的a. 【能力提升题组】 11．(多选)如图所示的电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图有(　　) 解析：选BD.对于A，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，也可能是S上方开关闭合，因此“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件，A不正确； 对于B, 当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，只可能是S开关闭合，因此B正确； 对于C, 当开关S闭合时，灯泡L不一定亮，所以C不正确； 对于D, 当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，只可能是S开关闭合，因此D正确. 故选BD. 12．在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记[k]＝{6n＋k|n∈Z}，则“整数a，b属于同一‘类’”是“a－b∈[0]”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除的余数相同，从而a－b被6除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”． 13．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q的______条件，p是q的_____条件． 解析：∵p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．q⇒s⇒r⇒q，q⇔s；r⇒q⇒s⇒r，r⇔q；s⇒r⇒p. ∴q，r，s互为充要条件，则s是q的充要条件，p是q的必要条件． 答案：充要　必要 14．已知集合A＝，B＝{0，7，m2＋4m－2，2－m}，求A∩B＝的充要条件． 解：若A∩B＝，A＝{2，3，m2＋4m＋2}，B＝{0，7，m2＋4m－2，2－m}， ∴m2＋4m＋2＝7，且m2＋4m－2＝3，解得m＝1或m＝－5； 或m2＋4m＋2＝7，且2－m＝3(无解，舍去). 经检验，m＝－5时，2－m＝7，不满足集合中元素的互异性，不合题意舍去， 则m＝1，所以m＝1是A∩B＝的必要条件； 若m＝1，A＝，B＝，所以A∩B＝， 所以m＝1是A∩B＝的充分条件， 综上得A∩B＝的充要条件为m＝1. 15．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0. 两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c). ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 学科网（北京）股份有限公司 $