13.2.2 勾股定理及其逆定理的综合运用 教学设计 2025-2026学年 华东师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理及其逆定理的综合运用，核心是用勾股定理在方格纸上画无理数线段。通过有理数与无理数线段作图对比制造认知冲突，承接勾股定理证明与网格三角形知识，连接无理数几何意义，搭建“数-形”转化的学习支架。 特色在于“数-形”结合的探究式教学，通过“定目标-找直角边-构直角-连斜边”步骤，如√5作图中确定直角边1和2构造直角三角形，培养几何直观与推理意识，建立无理数到直角三角形的模型。动手实践与分层作业设计，助学生深化理解提升能力，为教师提供清晰教学路径与实施支持。

13.2.2 勾股定理及其逆定理的综合运用 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十三章 课题 13.2.2 勾股定理及其逆定理的综合运用 课时 1课时 课标要求 通过本节课的学习，能结合方格纸的直角特性，利用勾股定理构造直角三角形，画出表示常见无理数的线段，理解无理数的几何意义。经历“无理数的几何表示需求—勾股定理建模—方格纸作图实践”的完整过程，掌握“定直角边—构直角三角形—得斜边”的无理数线段作图步骤。体会“数与形”的辩证统一，深化勾股定理的应用价值，提升几何直观能力和数学建模能力。 教材分析 本节课是华师大版八年级上册第13章“勾股定理”第2节的内容，承接“勾股定理的理解与证明”“勾股定理与网格三角形”等前置知识，是勾股定理在“几何作图”领域的专项应用，也是连接“数系扩张（无理数）”与“几何直观”的关键纽带。从知识逻辑来看，学生在七年级已认识无理数的概念，但仅停留在“数”的抽象层面，缺乏直观的几何感知；而方格纸中横线与竖线垂直的特性，为构造直角三角形提供了天然载体，借助勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可将无理数转化为直角三角形的斜边长度，实现“无理数—线段长度—几何图形”的转化。 学情分析 八年级学生已掌握勾股定理的核心内容（直角三角形三边平方关系），能熟练计算直角三角形的边长；已认识无理数的概念，能区分有理数与无理数，知道等常见无理数的近似值；具备方格纸作图的基本能力（如画直线、直角、正方形等），了解方格纸小正方形边长为1的默认规则，这些为“用勾股定理作无理数线段”奠定基础。 核心素养目标 1.通过将无理数转化为“两直角边平方和为n的直角三角形斜边”，抽象出“无理数—直角三角形斜边—线段”的对应模型，深化对无理数几何意义的理解。 2.经历“目标无理数→确定直角边长度（依据勾股定理）→构造直角三角形→画出斜边”的推理过程，能严谨解释作图的理论依据（勾股定理），培养演绎推理能力。 3.能将“画无理数线段”的问题转化为“构造直角三角形”的模型，建立“无理数n→直角边a、b（a2+b2=n）→斜边”的建模流程，能运用模型解决复杂无理数线段的作图问题。 教学重点 掌握用勾股定理在方格纸上画无理数线段的核心方法：根据目标无理数，确定两直角边长度a、b（满足a2+b2=n，a、b为正整数），在方格纸上构造直角三角形，其斜边即为表示的线段。 教学难点 直角边长度的确定：对于复杂无理数（如等），能快速找到满足a2+b2=n的正整数a、b，突破“逆向运用勾股定理”的思维障碍。 教学准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 【想一想】我们学过的无理数有哪些？ 这些无理数是无限不循环小数，你能在纸上画出一条长度恰好为的线段吗？ 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，我们能画出长度为1、2、3的线段，那么长度为的线段怎么画？ 回顾无理数的概念和勾股定理的内容，明确有理数线段可通过数方格直接画出，但无理数线段无法直接数出，产生认知困惑。 通过“有理数线段与无理数线段的作图对比”，制造认知冲突，激发学生探究“无理数线段作图方法”的兴趣；结合预习反馈，自然引出“勾股定理转化”的核心思路，为新知探究铺垫。 二、探究 【思考】是无理数，如何用勾股定理将其转化为几何线段？ 勾股定理是“a2+b2=c2 ”，若斜边c=，则c2 =5，那么两直角边a、b满足什么关系？ a2+b2=5 结合方格纸特点(直角边长度为正整数)，a和b分别是多少？ a=1，b=2，因为12+22=5. 【画一画】根据上面的推导，在方格纸上画一画. 第一步：定直角顶点。在方格纸的格点上取一点A作为直角顶点。 第二步：画直角边。从A点出发，沿水平方向向右画1个单位长度，标记点B；沿竖直方向向上画2个单位长度，标记点C。 第三步：连斜边。用直尺连接B、C两点，线段BC即为长度为的线段。 【想一想】为什么BC的长度是？ 在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 总结归纳 结合的作图过程，想一想“用勾股定理在方格纸上画无理数线段的一般步骤是什么？” 第一步：定目标。明确要画的无理数，计算n的值(即斜边的平方)。 第二步：找直角边。确定两直角边长度a、b，满足a2+b2=n(a、b可为正整数或已画出的无理数线段)。 第三步：构直角。在方格纸上取格点作为直角顶点，画出长度为a、b的两条垂直直角边。 第四步：连斜边。连接两直角边的另一个端点，斜边即为表示 的线段。 【例3】如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： （1）画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为的线段； 如图，AB、AC、AE、AD的长度均为 （2）画出所有以小题（1）中所画线段为腰的等腰三角形. 如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED 就是所要画的等腰三角形. 【例4】如图，已知CD= 6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m.求图中着色部分的面积. 分析：着色部分的面积=△ABC的面积-△ADC的面积，因此需要求出两个三角形的面积即可解决问题。 解：在Rt△ADC中， ∵ AC2= AD2+ CD2=82+62=100(勾股定理)， ∴AC=10. ∵ AC2+ BC2= 102+ 242= 676 = 262 = AB2， ∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理). 跟随教师的逆向推理过程，明确对应的直角边为1和2，理解“数→形”的转化逻辑。 小组内互相检查作图结果，用勾股定理互相讲解BC长度为的依据，强化理解。 根据选定的组合，在方格纸上规范作图，标记直角顶点、直角边长度和斜边（标注无理数）。 动手设计并画出等腰三角形，在小组内讲解作图依据 从正整数直角边到无理数直角边”的探究顺序，逐步突破难点；通过“自主作图—展示交流—总结步骤”的流程，让学生在实践中提炼方法，强化“数—形”转化的核心思路。 基础练习巩固定理的核心应用，强化“直角边组合探究”和“作图规范性”；提升练习将无理数线段作图与三角形设计结合，培养知识综合运用能力和创新思维；小组互评促进学生间的交流，深化对作图依据的理解。 三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，则图中长度为的线段是( D ). A.AB B.AC C.AD D.CD 2.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点在格点上，则△ABC中，边长是无理数的边有__2___条. 3.如图，∠A=∠OCD=90°，OA=2，OD= ，AB=BC=CD=1，则△OBC的形状是____直角三角形___________. 4.如图所示的一块地，已知∠ADC= 90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为___96___m2. 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长是( B ). A. B. C. 17 D. 29 6.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为___7___. 【综合拓展类作业】 7. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，若AB=6cm，BC=10cm，求EC的长. 解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm，DC=AB=6cm，∠B=90°， 由题意得AF=AD=10cm， 设DE=EF=x，EC=6-x， 由勾股定理得BF2=102 - 62=64(cm)， ∴BF=8cm，CF=10-8=2cm， 在△ECF中，由勾股定理得 x2=22+(6-x)2，解得x= ， 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。 四、提升 适时小结，兴趣延伸 1.用勾股定理在方格纸上画无理数线段的步骤： 第一步：定目标。 第二步：找直角边。 第三步：构直角。 第四步：连斜边。 2.勾股定理及其逆定理的综合运用. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统地认识。 板书 设计 13.2.2 勾股定理及其逆定理的综合运用 1.用勾股定理在方格纸上画无理数线段 2.勾股定理及其逆定理的综合运用 3.例题讲解 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（ C ）. A. B. C. D. 5 2.如图，△ABC中，AB=1，BC=2，AC=，AD是BC边上的中线，则AD的长为 . 3. 如图，在4×4的网格图中，小正方形的边长为1，则图中用字母表示的四条线段中长度为线段是 AE . 4.如图，∠A=∠OBC=∠OCD =∠ODE = 90°，OA=AB=BC=CD=DE=1，则下列线段首尾顺次连结能组成直角三角形的是( C ). A.OC，OD，OE C.OB，OC，OE B.OB，OD，OE D.OB，OC，OD 【综合拓展类作业】 5.如图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图，现测得AB=CD=60cm，BC=30 cm，AD=90cm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连结(即∠ABD =90°)，根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准. 解：∵∠ABD =90°，AB=60 cm，AD =90 cm， ∴BD2=AD2 - AB2=902 - 602=4500. ∵BC=30cm，CD =60 cm , ∴BC2+CD2=302 + 602=4500， ∴BC2 + CD2 = BD2,∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°， ∴BC⊥CD. ∴该车符合安全标准. 教学反思 本节课以“用勾股定理在方格纸上画无理数线段”为核心，遵循“情境导入—探究新知—应用巩固—小结作业”的教学流程，注重“数—形”结合和动手实践，基本达成预设的核心素养目标。本节课通过动手实践有效突破了“无理数线段作图”的核心难点，深化了“数—形结合”思想，但在细节规范和个体差异关注方面仍需改进。后续教学中，将更加注重“细节规范”和“分层指导”，提升教学的精准性和有效性。 学科网（北京）股份有限公司 $