精品解析：甘肃省兰州市第四片区2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年第一学期12月月考 高三数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则计算即可. 【详解】. 故选：A 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算即可． 【详解】由已知，， 故选：B. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性，再结合充分必要条件的定义判断即可． 【详解】在内单调递减， ， 根据三角形中，大角对大边，大边对大角， ， “”是“”的充要条件． 故选：C 4. 若集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出指数函数的值域可得集合,求出根式函数得定义域可得集合，再由集合的并集定义计算即得. 【详解】因，， 故. 故选：A. 5. 已知函数，则的单调递增区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 6. 在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，由向量共线定理可得答案. 【详解】（等和线法）如图，作，延长与相交于点， 因为三点共线，所以． 故选：A． 7. 平行四边形中，，，，点M为边的中点，则（ ） A. B. C. -4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由基底表示表示，再结合题设和数量积的运算律即可计算求解. 【详解】由题得， 所以. 故选：D 8. 定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数转化已知不等式，利用得出函数单调性，最后利用函数单调性结合函数零点求出不等式的解集． 【详解】令，则不等式等价于， ，， 是定义在上的增函数， ，， 是增函数，，， 不等式的解集为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】由图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 因，则的图象关于点对称，A正确； 因，则的图象不关于对称，B不正确； 因，则，所以在上为增函数，C正确； 的图象向右平移个单位长度，得到是偶函数，D不正确. 故选：AC 10. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，的夹角为钝角，则x的取值范围为 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B，根据平面向量共线的坐标表示求解判断即可；对于C，由的夹角为钝角可得，且不共线，进而求解判断即可；对于D，可得，换元，利用判别式法求解判断即可. 【详解】因为向量，， 对于选项A：若，则，解得，故A正确； 对于选项B：若，则，即，故B正确； 对于选项C：由的夹角为钝角，则，且不共线， 可得且，所以x的取值范围为，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，可得， 令，则， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，则，解得且， 综上所述：，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 有两个极值点 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的对称性判断A；求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断BC；利用导数的几何意义求的切线方程，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，所以关于对称，故A正确； 对于B，由得，令得：， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有两个极值点(为极大值点，为极小值点），故B正确； 又，， 而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大； 所以仅有1个零点(如图所示)，故C错误； 对于D，设切点，在处的切线为， 即， 若是其切线，则，则，此时切点为时， 切线方程为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将正、余弦化为正切后计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知向量满足，且，则向量的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的夹角公式即可求解. 【详解】由已知得， 又， 所以， 所以向量夹角为. 故答案为： 14. 若直线与函数的图象相切，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】设切点为，根据导数的几何意义结合切点在直线与函数的图象上，列式求解，即得答案. 【详解】由，可得， 直线与函数的图象相切，设切点为， 则，即； 而点既在直线，又在函数上， 故，，即得， 故，则， 则， 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，的夹角为120°，且，求： （1）； （2）； （3）与的夹角. 【答案】（1）12 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算，再结合数量积的运算律即可； （2）利用向量的求模公式即可； （3）先计算，再利用公式计算. 【小问1详解】 由题意可知，， 则； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， 则， 因，则， 故与的夹角为 16. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求取得最大值时自变量的集合，并求出最大值. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，根据求出最小正周期； （2）在（1）的基础上，利用正弦函数的图象与性质，求出及此时自变量的集合. 【小问1详解】 ∴ 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）知函数取得最大值时，， 解得 故取得最大值时自变量的集合为 此时，. 17. 已知的内角对的边分别为，，. （1）求A； （2）若边上的中线为，求. 【答案】（1）； （2）2﹒ 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理边化角和，利用三角恒等变换即可求A； (2)利用及向量数量积即可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理可得， ， ， ， ， ∴ ∴，即， ， ，； 【小问2详解】 ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴， 即 解得. 18. 在中，点D是的中点，且，． （1）若，求的值； （2）求的值； （3）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量中点公式求解； （2）由两边平方即可求解； （3）利用余弦定理求出，结合基本不等式即可求出范围，从而得到周长范围． 【小问1详解】 在中，点是的中点， ，则，， ． 【小问2详解】 ，两边平方得， ，即， 化简整理得． 【小问3详解】 ， 由余弦定理得， ， ，解得：， ，当且仅当时等号成立， 又， ， ，则周长的取值范围为． 19. 已知函数，其中. （1）若，求函数的图像在处的切线方程; （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）设函数（为自然常数）.若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出时的函数解析式，然后求导，求出处的函数值和导数值，即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据极值点求出，然后进行验证确定的值，结合函数的单调性和图像，可求得符合题意的的范围. （3）可将原问题等价于函数在上单调递减，函数在上单调递增，然后分别讨论、求导求出最值即可得出结果. 【小问1详解】 时，，求导得. 所以，而， 所以函数的图像在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 根据题意知，求导得. 因为在处有极值，所以，解得. 所以. 当时，；当或时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，故符合要求. 因为有3个不同的实根，， 根据函数的单调性和极值画出图像为： 所以当时，满足题意，解得. 【小问3详解】 单调递减，对任意且时， . 则对任意且时，均有成立， 转化为，对任意且时，均有成立， 即， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，故， 得在上恒成立，令，令，得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，故. ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，故， 得在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数， 故，此时. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期12月月考 高三数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若集合，，（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的单调递增区间为（　　） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 平行四边形中，，，，点M为边的中点，则（ ） A. B. C. -4 D. 4 8. 定义在上的函数满足：对任意且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 10. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，的夹角为钝角，则x的取值范围为 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 有两个极值点 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 13. 已知向量满足，且，则向量的夹角为______. 14. 若直线与函数的图象相切，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，的夹角为120°，且，求： （1）； （2）； （3）与的夹角. 16. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求取得最大值时自变量的集合，并求出最大值. 17. 已知的内角对的边分别为，，. （1）求A； （2）若边上的中线为，求. 18. 在中，点D是的中点，且，． （1）若，求的值； （2）求的值； （3）求周长的取值范围． 19. 已知函数，其中. （1）若，求函数的图像在处的切线方程; （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）设函数（为自然常数）.若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $