2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第四章　三角形

该初中数学中考复习讲义聚焦几何初步、相交线与平行线及命题三大模块，覆盖直线线段、角及平分线、相交线、平行线判定与性质、命题定理五大核心考点。以“基本事实-性质应用-综合拓展”构建知识体系，通过表格化梳理考点、辅助线作法指导、中考真题及变式训练，帮助学生突破几何直观与空间观念难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“考点-方法-素养”三维融合，如平行线求角度设计“作平行线”“延长相交”两种辅助线策略，配合分层练习（即时练+重点难点一题串讲）。通过真题变式培养推理意识，5分钟限时测试强化应用能力，助力学生高效提升应考技能，教师可据此精准把控复习节奏，实现中考考点全覆盖。

专项13　手拉手模型 类型一　全等手拉手模型 模型 特点 已知 (1)△ABC和△ADE是共顶点的等腰三角形. (2)绕共顶点A旋转 图示 解题 思路 (1)先确定共顶点. (2)再根据顶角及旋转角确定一组角相等. (3)再找等角的两边对应相等 结论 (1)△ABD≌△ACE. (2)两条拉手线BD,CE所在直线的夹角与∠BAC相等或互补 ❶ 如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE,BD与CE交于点O,BD与AC交于点F. (1)求证:BD=CE. (2)若∠BAC=48°,求∠COD的度数. (3)若G为CE上一点,GE=OD,AG=OC,且AG∥BD,求证:BD⊥AC. ❷ 感知:如图1,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点B在线段AD上,点C在线段AE上,我们很容易得到BD=CE,不需证明. 探究:如图2,将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),连接BD和CE,此时BD=CE是否依然成立?若成立,写出证明过程;若不成立,说明理由. 应用:如图3,当△ADE绕点A逆时针旋转,使得点D落在BC的延长线上,连接CE. ①∠ACE的度数为　　　　;  ②线段BC,CD,CE之间的数量关系是　　　　　　;  ③若AB=AC=,CD=1,则线段DE的长为　　　　.  类型二　相似手拉手模型 模型 特点 已知 (1)△ABC和△ADE是共顶点的三角形. (2)绕共顶点A旋转 图示 解题 思路 (1)先确定共顶点. (2)再根据顶角及旋转角确定一组角相等. (3)再找等角的两边对应成比例 结论 (1)△ABD∽△ACE. (2)两条拉手线BD,CE所在直线的夹角与∠BAC相等或互补 ❸ 如图,已知四边形ABCD和EFCG均为正方形,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°. (1)求证:△CAE∽△CBF. (2)若BE=,AE=2,求BF和CE的长. ❹ (1)问题探究:如图1,△ABC,△ADE均为等边三角形,连接BD,CE,求证:BD=CE. (2)类比延伸:如图2,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠ACB=∠AED=90°,∠ABC=∠ADE=30°,连接BD,CE,求证:BD=2CE. (3)拓展迁移:如图3,在四边形ABCD中,AC⊥BC,且AC=BC,CD=4,若将线段DA绕点D按逆时针方向旋转90°得到DA',连接BA',求线段BA'的长. 【详解答案】 1.解:(1)证明:∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴BD=CE. (2)∵△BAD≌△CAE, ∴∠ABD=∠ACE, ∵∠AFB=∠CFO, ∴∠COF=∠BAC=48°, ∴∠COD=180°-∠COF=180°-48°=132°. (3)证明:如图,连接AO, ∵△BAD≌△CAE, ∴∠ADB=∠AEC, 在△ADO和△AEG中, ∴△ADO≌△AEG(SAS), ∴AG=AO,∠DAO=∠EAG, ∵AG=OC,∴OA=OC. ∵∠OAG=∠DAO+∠DAG, ∴∠OAG=∠EAG+∠DAG=∠DAE=∠BAC, 由(2)知∠COF=∠BAC, ∴∠COF=∠OAG. ∵AG∥BD,∴∠AOF=∠OAG, ∴∠COF=∠AOF, ∵OA=OC,∴BD⊥AC. 2.解:探究:成立,证明如下: ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形, ∴AB=AC,AD=AE, ∵将△AED绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),连接BD和CE, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE. 应用:①45°　②BC+CD=CE　③ 解析:①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, 在△ABD与△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ACE=∠B=45°. ②∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE, ∴BC+CD=CE. ③由①得∠ACE=45°,又∵∠ACB=45°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,在Rt△BAC中,∵AB=AC=, ∴BC==2,又∵CD=1,∴CE=BC+CD=3,在Rt△CDE中,DE=. 3.解:(1)证明:∵四边形ABCD和EFCG均为正方形, ∴, 又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°, ∴∠ACE=∠BCF, ∴△CAE∽△CBF. (2)∵△CAE∽△CBF, ∴∠CAE=∠CBF,, 又∵,AE=2, ∴,∴BF=. 又∵∠CAE+∠CBE=90°, ∴∠CBF+∠CBE=90°, ∴∠EBF=90°, ∴EF==2, ∴CF=EF=2, ∴CE==2. 4.解:(1)证明:∵△ABC,△ADE均为等边三角形, ∴AC=AB,AE=AD,∠EAD=∠CAB=60°, ∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD, ∴∠EAC=∠DAB, ∴△EAC≌△DAB(SAS), ∴BD=CE. (2)证明:∵∠ACB=∠AED=90°, ∠ABC=∠ADE=30°, ∴∠EAD=∠CAB=60°,AD=2AE,AB=2AC, ∴∠EAC=∠DAB,, ∴△EAC∽△DAB, ∴, ∴BD=2CE. (3)如图,连接AA', ∵AC⊥BC,且AC=BC, ∴△ABC为等腰直角三角形, ∴∠CAB=45°,, ∵DA绕点D按逆时针方向旋转90°得到DA', ∴△AA'D为等腰直角三角形,∠ADA'=90°, ∴∠DAA'=45°,, ∴∠CAB=∠DAA'=45°,,∴∠BAA'=∠CAD, ∴△BAA'∽△CAD, ∴,即, ∴BA'=4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项14　常考解直角三角形模型 类型一　背靠背型 模型 解读 表述与 图示 图形背景一般为锐角三角形,通过在三角形内作高,构造出两个直角三角形,其中公共边CD是解题的关键 等量 关系 CD为公共边,AD+BD=AB 模型 演变 图示 图1　 　图2 等量 关系 如图1,CE=DA,CD=EA,CE+BD=AB;如图2,CD=EF,CE=DF,AD+CE+BF=AB ❶ 如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°,测得底部点B的俯角为45°,点A与楼BC的水平距离AD=50 m,则这栋楼的高度为　　　　m.(结果保留根号)  ❷ 如图,一艘轮船位于灯塔C的北偏东57°方向,距离灯塔50海里的A处,此时船长接到台风预警信息,台风将在5小时后袭来,他计划立即沿正南方向航行,赶往位于灯塔C的南偏东30°方向上的避风港B处. (1)问避风港B处距离灯塔C有多远. (2)如果轮船的航速是20海里/小时,问轮船能否在5小时内赶到避风港B处. 参考数据:sin 57°≈0.84,cos 57°≈0.54,tan 57°≈1.54,≈1.73 类型二　母子型 模型 解读 表述与 图示 图形背景一般为钝角三角形,通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解,其中公共边BC是解题的关键 等量 关系 BC为公共边,如图1,AD+DC=AC;如图2,DC-AC=DA 模型 演变 图示 等量 关系 如图3,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG;如图4,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE ❸ 某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,如图,在建筑物旁边有一幢高度为12米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB,CD在同一平面内,B,D在同一水平面上),则建筑物CD的高为(　　) A.24米 B.(12+6)米 C.18米 D.15米 ❹ (2025·天津)综合与实践活动中,要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度(如图1).某学习小组设计了一个方案:如图2所示,点A,E,C依次在同一条水平直线上,CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.7 m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°,在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°,CE=32 m.根据该学习小组测得的数据,计算世纪钟建筑AB的高度(结果取整数). 参考数据:tan 22°≈0.4,tan 31°≈0.6. 类型三　拥抱型 模型 解读 表述与 图示 分别解两个直角三角形,其中公共边BC是解题的关键 等量 关系 BC为公共边 模型 演变 图示 等量 关系 如图1,BF+FC+CE=BE;如图2,BC+CE=BE;如图3,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE ❺ 如图,嘉嘉和淇淇住在同一单元楼,他们想测量对面大楼的高度(MN).嘉嘉在窗台B处测得对面大楼顶部N的仰角∠1的度数,淇淇在窗台C处测得大楼底部M的俯角∠2的度数,且∠1=∠2.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31 m,BC=18 m,则对面大楼的高度是(　　) A.76 m B.80 m C.82 m D.90 m ❻ 实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置,安装要求为试管口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图,已知试管AB=24 cm,BE=AB,试管倾斜角∠ABG为12°. (1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度.(结果用含非特殊角的三角函数表示) (2)实验时,导气管紧靠水槽壁MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF于点N(点C,D,N,F在一条直线上),经测量,DE=28 cm,MN=8 cm,∠ABM=147°,求线段DN的长度.(结果用含非特殊角的三角函数表示) 【详解答案】 1.(50+50)　解析:由题意,得AD⊥BC,在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AD=50 m,∴CD=AD·tan 60°=50 m.在Rt△ABD中,∠BAD=45°,∴BD=AD·tan 45°=50 m,∴BC=BD+CD=(50+50)m,∴这栋楼的高度为(50+50)m. 2.解:由题意得∠A=57°,∠B=30°,AC=50海里, 如图,过点C作CD⊥AB于点D,则∠ADC=∠BDC=90°. (1)在Rt△ACD中,sin 57°=, ∴CD=50×sin 57°≈50×0.84=42(海里). 在Rt△BCD中,∠B=30°, ∴BC=2CD=84海里. ∴避风港B处距离灯塔C约84海里. (2)在Rt△ACD中,cos 57°=, ∴AD=50×cos 57°≈50×0.54=27(海里). 在Rt△BCD中,∠B=30°,CD=42海里, ∴BD=CD≈1.73×42=72.66(海里), ∴AB=AD+BD=27+72.66=99.66(海里). ∵99.66÷20=4.983(小时),4.983<5, ∴轮船能在5小时内赶到避风港B处. 3.C　解析:如图,设过点A的水平线与CD交于点E,由题意知,四边形ABDE是矩形, ∴DE=AB=12米,AE=BD,在Rt△BCD中,BD=CD,在Rt△ACE中,AE=(CD-12), ∴(CD-12)=CD,解得CD=18,∴建筑物CD的高为18米.故选C. 4.解:如图,延长DF与AB相交于点G, 根据题意可得四边形GAEF和四边形FECD是矩形,∠GDB=22°, ∠GFB=31°,∠DGB=90°, ∴AG=EF=CD=1.7 m,DF=CE=32 m, 在Rt△FGB中,tan∠GFB=, ∴GF=, 在Rt△DGB中,tan∠GDB=, ∴GD=, ∵GF+DF=GD, ∴+32=. ∴GB=≈=38.4(m). ∴AB=AG+GB=1.7+38.4≈40(m).答:世纪钟建筑AB的高度约为40 m. 5.B　解析:如图,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F, ∴∠CEF=∠BFE=90°,∵CA⊥AM,NM⊥AM,∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形,∴CE=BF,ME=AC, ∵∠1=∠2,∴△BFN≌△CEM(ASA),∴NF=EM=31+18=49(m),由矩形性质可知FM=AB=31 m, ∴MN=NF+FM=49+31=80(m).故选B. 6.解:(1)∵AB=24 cm,BE=AB, ∴BE=×24=8(cm), ∵cos 12°=, ∴BG=8cos 12° cm. (2)∵sin 12°=, ∴EG=8sin 12° cm, 如图,延长GB,NM交于点H, ∴四边形DNHG是矩形, ∴NH=DG=DE-EG=(28-8sin 12°)cm, ∴HM=NH-MN=(20-8sin 12°)cm, ∵∠ABG=12°,∠ABM=147°, ∴∠FBG=135°,∴∠MBH=45°, ∴BH=HM=(20-8sin 12°)cm, ∴DN=GH=BG+BH=(8cos 12°+20-8sin 12°)cm. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲　全等三角形 考点一　全等三角形的定义及性质 定义 能够完全重合的三角形叫做全等三角形 性质1 全等三角形的对应边①　　　　,对应角②　　　　  性质2 全等三角形的周长③　　　　,面积④　　　　  性质3 全等三角形的对应中线、高、角平分线、中位线都⑤　　　  记两个图形全等时,要把对应顶点的字母写在对应位置上. 1.如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,则∠DFE的度数为　　　,EC的长为　　　.  考点二　全等三角形的判定 项目 判定方法 文字叙述 图形 边边边 (SSS) 三边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的⑥　　　　角对应相等的两个三角形全等  角边角 (ASA) 两角和它们的⑦　　　　边对应相等的两个三角形全等  角角边 (AAS) 两角和其中一角的⑧　　　　边对应相等的两个三角形全等  斜边、 直角边 (HL) 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 (注:一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形) 常见全等三角形的简单模型 1.平移型 【特点】沿某一直线平移其中一个三角形,可与另一个三角形重合. 【结论】△ABC≌△EDF(图1). 2.轴对称型 【特点】所给图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,重合的顶点就是全等三角形的对应顶点. 【结论】△ABC≌△ABD(图2);△ABC≌△CDA,△ADO≌△CBO(图3);△ABE≌△ACD,△BOD≌△COE(图4). 3.旋转型 【特点】(1)共顶点,绕该顶点旋转可得两三角形重合. (2)不共顶点,绕某一点旋转后,再平移可得两三角形重合. 【结论】△ABC≌△ADE(图5,图6);△ABC≌△DEF(图7). 2.(北师七下P111复习题T9变式)如图,已知AB∥ DE,AB=DE,请你按下列要求添加一个条件,使△ABC≌△DEF. (1)若利用“SAS”判定,则添加的条件可以是　　　　.  (2)若利用“AAS”判定,则添加的条件可以是　　　　　　.  (3)若利用“ASA”判定,则添加的条件可以是　　　　　　.  3.(冀教八上P56复习题A组T3变式)如图,两车从路段AB的两端同时出发,沿平行路线以相同的速度行驶,相同时间后分别到达C,D两地,CE⊥AB,DF⊥AB,C,D两地到路段AB的距离相等吗?为什么? 如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD与BE交于点O,且OB=OC,连接AO. (1)下面是黑板上给出的问题及不完整的证明过程,请填写横线上的内容. 求证:△OBD≌△OCE. 证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠ODB=∠OEC=90°. 在△OBD和△OCE中, ∴△OBD≌△OCE(　　　　).  (2)求证:△AOD≌△AOE. (3)求证:△ABE≌△ACD. (4)求证:△ABO≌△ACO. (1)结合图形可知在△OBD和△OCE中,由垂直可得∠ODB=∠OEC=90°,由对顶角的性质可得∠DOB=∠EOC,再结合已知OB=OC,从而利用AAS可判定两个三角形全等. (2)由(1)可得OD=OE,且△AOD和△AOE均为直角三角形,从而利用HL可判定两个三角形全等. (3)由(2)可得AD=AE,由(1)已知∠BEA=∠CDA=90°,且∠BAE=∠CAD,从而利用ASA可判定两个三角形全等. (4)由前面的结论可得∠BAO=∠CAO,AB=AC,再利用SAS可判定两个三角形全等. 命题点　全等三角形的性质与判定 ❶ (2024·河北样卷)如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是(　　) A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE C.AB=AE D.∠ABC=∠AED ❷ (2023·河北)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB= A'B'=6,AC=A'C'=4.已知∠C=n°,则∠C' =(　　) A.30° B.n° C.n°或180°-n° D.30°或150° ❸ (2018·河北)如图,∠A=∠B=50°,P为AB的中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α. (1)求证:△APM≌△BPN. (2)当MN=2BN时,求α的度数. (3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围. ❹ (2025·河北)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上,∠BAF=∠EAD. (1)求证:△ABC≌△AFD. (2)若BE=FE,求证:AC⊥BD. ❺ (2019·河北)如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧,I为△APC的内心. (1)求证:∠BAD=∠CAE. (2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值. (3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°,分别直接写出m,n的值. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①相等　②相等　③相等　④相等 ⑤相等　⑥夹　⑦夹　⑧对 即时练 1.100°　2 2.(1)BC=EF(答案不唯一) (2)∠ACB=∠F(答案不唯一) (3)∠A=∠D(答案不唯一) 3.解:C,D两地到路段AB的距离相等. 理由:∵CE⊥AB,DF⊥AB, ∴∠AEC=∠BFD=90°. ∵AC∥BD,∴∠A=∠B. ∵两车行驶的速度、时间相同, ∴AC=BD. 在△AEC和△BFD中, ∴△AEC≌△BFD(AAS), ∴CE=DF, ∴C,D两地到路段AB的距离相等. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)∠DOB=∠EOC　AAS (2)证明:由(1)知△OBD≌△OCE, ∴OD=OE. 又∵∠ODB=∠OEC=90°, ∴∠ODA=∠OEA=90°. 在Rt△AOD和Rt△AOE中, ∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL). (3)证明:由(2)知Rt△AOD≌Rt△AOE, ∴AD=AE. 在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(ASA). (4)证明:由(2)知△AOD≌△AOE, ∴∠DAO=∠EAO. 由(3)知△ABE≌△ACD, ∴AB=AC. 在△ABO和△ACO中, ∴△ABO≌△ACO(SAS). 河北中考·考向体验 1.B 2.C　解析:过点A作AD⊥BC于点D,过点A'作A'D'⊥B'C'于点D'.∵∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,∴AD=A'D'=3.当B,C在点D的两侧,B',C'在点D'的两侧时,如图, ∵AD=A'D'=3,AC=A'C'=4, ∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL). ∴∠C'=∠C=n°.当B,C在点D的两侧,B',C'在点D'的一侧时,如图, ∵AD=A'D'=3,AC=A'C'=4, ∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL). ∴∠A'C'D'=∠C=n°,∴∠A'C'B'=180°-∠A'C'D'=180°-n°.综上,∠C'为n°或180°-n°.故选C. 3.解:(1)证明:∵P是AB的中点, ∴PA=PB. 在△APM和△BPN中, ∴△APM≌△BPN(ASA). (2)由(1)得△APM≌△BPN, ∴PM=PN,∴MN=2PN. ∵MN=2BN,∴BN=PN. ∴α=∠B=50°. (3)α的取值范围为40°<α<90°. 4.证明:(1)∵∠BAF=∠EAD, ∴∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF, 即∠BAC=∠FAD, 在△ABC和△AFD中, ∴△ABC≌△AFD(ASA). (2)由(1)得△ABC≌△AFD, ∴AB=AF, ∵BE=FE, ∴AC⊥BF,即AC⊥BD. 5.解:(1)证明:在△ABC和△ADE中, ∴△ABC≌△ADE(SAS), ∴∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. (2)∵AD=6,AP=x,∴PD=6-x. 当AD⊥BC时,AP=AB=3最小,此时PD=6-3=3,即PD的最大值为3. (3)m=105,n=150. 解析:如图,设∠BAP=α, ∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,∠PCA=60°,∠PAC=90°-α. ∵I为△APC的内心,∴AI平分∠PAC,CI平分∠PCA,∴∠IAC=∠PAC,∠ICA=∠PCA, ∴∠AIC=180°-(∠IAC+∠ICA)=180°-(∠PAC+∠PCA)=180°-(90°-α+60°)=α+105°, ∵0°<α<90°,∴105°<α+105°<150°,即105°<∠AIC<150°,∴m=105,n=150. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲　相似三角形(含位似) 考点一　比例线段的相关概念及性质 ❶ 比例线段的相关概念 线段的比 在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比 比例 线段 在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段 比例中项 如果,即b2=①　　　　,就把b叫做a,c的比例中项  黄金 分割 如图,若,则线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB的黄金分割点,称为黄金比黄金比=≈0.618 ❷ 比例的性质 基本性质 如果,那么②　　　　;如果ad=bc,那么=③　　　　(b,d≠0)  等比性质 如果=…=(b+d+…+n≠0),那么=④　　　  合比性质 如果,那么;如果,那么 1.已知a,b,c,d四条线段成比例,其中a=3 cm,b=5 cm,c=2 cm,则d=　　　　cm.  2.如果且x+y+z=9,那么x+y-z=　　　　.  3.(冀教九上P61习题A组T3变式)我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,如图,在设计人体雕像时,为了增加视觉美感利用黄金分割法,将雕像AB分为上下两部分,其中C为AB的黄金分割点,≈0.618,已知AB长为2米,则BC的长是　　　　米.  考点二　平行线分线段成比例 ❶ 定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图1,直线a∥b∥c,则. 4.(人教九下P31练习T1变式)如图,直线AD∥EB∥FC,如果DE=2EF,AC=9,那么AB=　　　　.  ❷ 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图2,在△ABC中,DE∥BC,则或.如图3,DE∥BC,则. 考点三　相似三角形的性质、判定及应用 性质 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例. (2)相似三角形对应线段(边、高、中线、角平分线)的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于⑤　　　　,相似三角形面积的比等于⑥　　　　　　  判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似. (2)⑦　　　　对应成比例的两个三角形相似.  (3)两边对应成比例且⑧　　　　相等的两个三角形相似.  (4)⑨　　　　对应相等的两个三角形相似.  (5)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似 应用 几何图形的 证明与计算 常见类型是证明线段的数量关系,求线段的长度及图形的面积等 解决实际 问题 常见类型是计算物体的高度和河的宽度等,基本思想是建立相似三角形模型 考点四　相似多边形及其性质 定义 如果两个多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做它们的相似比 性质 (1)相似多边形的对应角⑩　　　　,对应边　　　　.  (2)相似多边形对应对角线的比、周长的比等于　　　　.  (3)相似多边形面积的比等于　　　　　　　  5.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上一点,AD=2,BD=1. (1)增加一个条件(不添加辅助线):　　　　,使△ADE∽△ACB.  (2)若△ADE∽△ABC,则 △ADE与△ABC周长的比为　　　　,  △ADE与△ABC面积的比为　　　　.  (3)若DE∥BC,则 DE∶BC=　　　　　.  (4)若△ADE与△ABC相似,AC=4,则AE=　　　　　.  6.如图,已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,则x=　　　　,y=　　　　,∠C1=　　　　.  考点五　图形的位似 定义 如果两个图形不仅相似,而且经过每对对应顶点的直线相交于一点,对应边互相平行(或同在一条直线上).我们把这样的两个图形称为位似图形,对应顶点所在直线的交点称为　　　　,这时的相似比又叫做　　　　  性质 (1)两个图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. (2)对应点的连线都经过　　　　.  (3)对应边互相　　　　或在同一条直线上.  (4)在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的位似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为　　　　或(-kx,-ky)  位似 作图 (1)确定位似中心. (2)连接图形各关键点与位似中心. (3)依照位似比在所连接的线段(或延长线)上找各关键点变换后的对应点. (4)顺次连接各关键点变换后的对应点,所得图形就是所求作的图形 位似是相似的特例.位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形. 7.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(8,2),点B的坐标为(4,0),连接AB.以原点O为位似中心,按相似比1∶2把线段AB缩小,则点A的对应点A'的坐标是　　　　　　.  8.如图,在正方形网格中,以点O为位似中心,与△ABC位似的图形是　　　　(用图中字母表示),△ABC与该三角形的相似比为　　　　.  在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC所在直线上的点,连接DE. (1)如图1,若D,E分别是AB,AC 的中点,△ADE 的周长为8,则△ABC的周长为　　　　.  (2)将图1中△ADE绕点A逆时针旋转到如图2所示位置,连接BD,CE,则图2中的相似三角形为△ABC∽△　　　　,△ABD∽△　　　　,若BD=6,,则CE=　　　　.  (3)如图3,若∠ADE=∠ACB,且AD=3, AC=5,CE=1,则 AB 的长为　　　　.  (4)如图4,点E与点C重合时,若AC2=AB·AD,且,则S△ABC∶S△ACD=　　　　.  (5)如图5,ED∥BC,,△ABC的面积为18,则△ADE的面积为　　　　.  (6)如图6,,则图6中的相似三角形为　　　∽　　　,若DE=4,则BC的长为　　　　.  (7)如图7,BC∥ED,连接CD,过点A作AF⊥CD于点F,若BC⊥CD,,则的值为　　　　.  (8)在(7)的条件下,小云猜想图7中有4对相似三角形,分别为△ABC∽△ADE,△DBC∽△DAF,△CAF∽△CED,△DCB∽△CDE. 小晶:△DCB∽△CDE不确定是否存在. 小南:那我们用以前学过的反证法来验证一下吧. 下面是证明推理过程,请补充证明过程并在括号中填写依据. 证明:假设存在△DCB∽△CDE, ∴=1(　　　　　　　　　　　),但由题干条件已知　　　　,  ∴假设　　　　(填“成立”或“不成立”),  ∴　　　　(填“存在”或“不存在”)△DCB∽△CDE.  (1)根据D,E为边的中点,得到DE为三角形的中位线,从而得到△ADE和△ABC相似且相似比为1∶2,从而求出△ABC的周长. (2)(3)(4)(5)(6)根据具体条件,利用相似三角形的判定定理证出两三角形相似,再应用相似三角形的性质求出结果. (7)利用DE∥BC,得到△ADE∽△ABC,从而求出的值,然后再根据BC∥AF得到△AFD∽△BCD,从而求出的值. (8)根据反证法的步骤和相似三角形的性质可得出结论. 命题点一　比例线段 ❶ (2024·河北样卷)已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是(　　) A. B. C. D. ❷ (2025·兰州)如图,黄金矩形ABCD中,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形,依此作法,四边形DEGH,四边形KEGL也是黄金矩形,依次以点E,G,L为圆心作,,,曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线”AFHK的长为　　　　.(结果用π表示)  命题点二　平行线分线段成比例 ❸ (2025·云南)如图,在△ABC中,已知D,E分别是AB,AC边上的点,且DE∥BC.若,则=(　　) A. B. C. D. 命题点三　相似三角形的性质和判定 ❹ (2025·河北)如图,在五边形ABCDE中,AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是(　　) A.∠B+∠4=180° B.CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 ❺ (2022·河北)如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则 (1)AB与CD是否垂直?　　　　.(填“是”或“否”)  (2)AE=　　　　.  ❻ (2024·河北)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,点A是线段BB1的中点. (1)△AC1D1的面积为　　　　.  (2)△B1C4D3的面积为　　　　.  ❼ (2023·河北)如图1和图2,平面上,四边形ABCD中,AB=8,BC=2,CD=12,AD=6,∠A=90°,点M在AD边上,且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA',∠A'MA的平分线MP所在直线交折线AB—BC于点P,设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0),连接A'P. (1)若点P在AB上,求证:A'P=AP. (2)如图2,连接BD. ①求∠CBD的度数,并直接写出当n=180时,x的值; ②若点P到BD的距离为2,求tan∠A'MP的值. (3)当 0<x≤8时,请直接写出点A'到直线AB的距离.(用含x的式子表示) 命题点四　相似图形的实际应用 ❽ (2025·河北)“这么近,那么美,周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览,发现青石桥面上有三叶虫化石,他想了解其长度,在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm,笔的实际长度为14 cm,则该化石的实际长度为(　　) A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm ❾ (2021·河北)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时液面AB=(　　) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm ❿ (2025·河北样卷)风力发电是我国电力资源的重要组成部分.嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度,通过测量其影子长度的方法进行计算.如图(图中所有的点均在同一平面,太阳光线视为平行光线),线段OA,OB,OC表示三片风叶,OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,某时刻OA,OB的影子恰好重合为线段EF,OD⊥EF于点D,测得DE=36 m,EF=20 m.同一时刻测得高4 m的标杆MN影长为3 m. (1)直接写出∠ABO的度数及OD的长. (2)求风叶转动时点B到地面DF的最小距离. 命题点五　图形的位似 ⓫ (2020·河北)在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是(　　) A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①ac　②ad=bc　③　④　⑤相似比　⑥相似比的平方　⑦三边　⑧夹角 ⑨两角　⑩相等　成比例　相似比 相似比的平方　位似中心　位似比 同一点　平行　(kx,ky) 即时练 1.　解析:∵a,b,c,d四条线段成比例,∴,∴d=(cm). 2.1　解析:令=k(k≠0),∴x=2k,y=3k,z=4k,∵x+y+z=9,∴2k+3k+4k=9,∴k=1,∴x=2,y=3,z=4, ∴x+y-z=2+3-4=1. 3.1.236 4.6　解析:∵AD∥EB∥FC,∴,∵DE=2EF,AC=9,∴,∴AB=6. 5.(1)∠AED=∠B(答案不唯一) (2)2∶3　4∶9　(3)2∶3　(4)或 解析:(4)若△ADE∽△ABC,则,即,解得AE=.若△ADE∽△ACB,则,即,解得AE=.故AE=或. 6.12　14　75°　解析:∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∴∠A=∠A1=70°,∠D=∠D1=85°,∵∠B1=130°, ∴∠C1=360°-∠A1-∠B1-∠D1=75°,∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∴,解得x=12,y=14. 7.(4,1)或(-4,-1)　解析:∵点A的坐标为(8,2),点B的坐标为(4,0),以原点O为位似中心,按相似比1∶2把线段AB缩小,∴点A的对应点A'的坐标是或8×,2×,即(4,1)或(-4,-1). 8.△GEH　1∶2 重点难点·一题串讲 例:(1)16　(2)ADE　ACE　 (3)　(4)9∶4　(5)8 (6)△ADE　△ACB　6　(7) (8)相似三角形的对应边成比例　　不成立　不存在 河北中考·考向体验 1.A 2.(-1)π　解析:∵黄金矩形ABCD中,且AD=2,∴AB=-1,∵四边形ABFE是正方形,∴AE=EF=BF =AB=-1,∴FC=ED=2-(-1)=3-,∵四边形FGHC是正方形,∴GF=GH=HC=FC=3-,∵CD=AB=-1, ∴HD=CD-CH=(-1)-(3-)=2-4,∵四边形LKDH是正方形,∴LH=HD=2-4,∴“黄金螺线”AFHK的长为π(AE+GH+LH)=π(AE+ED+LH)=π(AD+LH)=π·(2+2-4)=(-1)π. 3.A 4.D　解析:∵AE∥BC,∴∠AEM=∠CND,∠MAE=∠B,当添加∠B+∠4=180°时,∵∠DCN+∠4=180°,∴∠DCN=∠B,∴∠DCN=∠MAE,∴△MAE∽△DCN,故A选项不符合题意;当添加CD∥AB时,∴∠DCN=∠B,∴∠DCN=∠MAE, ∴△MAE∽△DCN,故B选项不符合题意;当添加∠1=∠4时,∵∠MAE+∠1=180°,∠DCN+∠4=180°,∴∠DCN=∠MAE,∴△MAE∽△DCN,故C选项不符合题意;当添加∠2=∠3时,∵∠AEM+∠2=180°,∠CDN+∠3=180°, ∴∠AEM=∠CDN=∠CND,∴不能判定△MAE∽△DCN,故D选项符合题意.故选D. 5.(1)是　(2)　解析:(1)如图1, 在△ACM和△CFD中, ∴△ACM≌△CFD(SAS).∴∠CAM=∠FCD.∵∠CAM+∠CMA=90°,∴∠FCD+∠CMA=90°. ∴∠CEM=90°.∴AB⊥CD. (2)如图2, 在Rt△ABH中,AB==2.∵AC∥BD,∴△ACE∽△BDE.∴,即.解得AE=. 6.(1)1　(2)7　解析:(1)如图,连接B1D1,B1D2,B1C2,B1C3,C3D3, ∵△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×2=1.∵点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,∴AC=AC1=C1C2=C2C3=C3C4=CC4.∵点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,∴AD=AD1=D1D2=D2D3=DD3.∵点A是线段BB1的中点,∴AB=AB1=BB1.在△AC1D1和△ACD中, ∴△AC1D1≌△ACD(SAS), ∴=S△ACD=1. (2)在△AB1D1和△ABD中,∴△AB1D1≌△ABD(SAS),∴=S△ABD=1, ∠B1D1A=∠BDA.由(1)可得∠C1D1A=∠CDA,又∵∠BDA+∠CDA=180°,∴∠B1D1A+∠C1D1A=180°,∴C1,D1,B1三点共线,∴=1+1=2.∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,∴=4=4×2=8. ∵AD1=D1D2=D2D3,=1,∴=3=3×1=3.在△AC3D3和△ACD中,=3=,∠C3AD3=∠CAD,∴△AC3D3∽△ACD,∴=2=32=9,∴=9S△ACD=9×1=9.∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4, ∴×9=12, ∴-=12+3-8=7. 7.解:(1)证明:∵将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA', ∴A'M=AM. ∵∠A'MA的平分线MP所在直线交折线AB—BC于点P, ∴∠A'MP=∠AMP. 又∵PM=PM, ∴当点P在AB上时, △A'MP≌△AMP(SAS). ∴A'P=AP. (2)①∵AB=8,AD=6,∠A=90°, ∴BD==10. ∵BC=2,CD=12, ∴BC2+BD2=(2)2+102=144,CD2=122=144. ∴BC2+BD2=CD2.∴∠CBD=90°. 当n=180时,x=13. 解析:如图1,当n=180时,设PM与BD相交于点N, ∵MP平分∠A'MA,∴∠PMA=90°. ∴PM∥AB.∴△DNM∽△DBA. ∴. ∵DM=2,DA=6, ∴. ∴DN=,MN=. ∴BN=BD-DN=. ∵∠PBN=∠DMN=90°,∠PNB= ∠DNM, ∴△PBN∽△DMN. ∴,即. ∴PB=5. ∴x=AB+PB=8+5=13. ②如图2,当点P在AB上时,过点P作PQ⊥BD于点Q,则PQ=2. ∵AD=6,BD=10,∠A=90°, ∴sin∠DBA=, ∴BP=, ∴AP=AB-BP=8-. ∴tan∠A'MP=tan∠AMP=. 如图3,当P在BC上时,则PB=2,过点P作PE⊥AB交AB的延长线于点E,延长MP交AB的延长线于点H. ∵∠PEB=∠CBD=∠DAB=90°, ∴∠EPB=90°-∠PBE=∠DBA. ∴△PEB∽△BAD. ∴,即. ∴PE=,EB=. ∴AE=AB+EB=8+. ∵PE⊥AB,DA⊥AB, ∴PE∥AD.∴△HPE∽△HMA. ∴.即. 解得HE=. ∴tan∠A'MP=tan∠AMP= tan∠EPH=. 综上所述,tan∠A'MP的值为或. (3)当0<x≤8时,点A'到直线AB的距离为. 解析:如图4,过点A'作IK∥AD交AB于点I,过点M作MK⊥IK于点K,则A'I为点A'到直线AB的距离,设A'I=y. 易得△A'IP∽△MKA', ∴, 即,由,可得IP=(4-y)=x-. 由,可得, 化简得16y+x2y=8x2,即 (x2+16)y=8x2, ∴y=. 如图5,当A'P⊥BA时,四边形A'PAM为正方形, A'到直线AB的距离为A'P=MA=4,此时x=4. 当x=4时,y==4,满足题意. 如图6,过点A'作A'I⊥AB于点I,过点M作MK⊥A'I于点K, 则A'I为点A'到直线AB的距离,设A'I=y. 易得△A'IP∽△MKA', ∴, 即,由,可得IP=(y-4)=-x. 由,可得, 化简得16y+x2y=8x2, 即(x2+16)y=8x2, ∴y=. 综上所述,当0<x≤8时,点A'到直线AB的距离为. 8.C　 9.C　解析:如图1,过点O作OM⊥CD,垂足为M,如图2,过点H作HN⊥AB,垂足为N.∵CD∥AB, ∴△CDO∽△ABH,相似比为.∵OM=15-7=8(cm),HN=11-7=4(cm),∴.∴AB=3 cm.故选C. 10.解:(1)∠ABO=30°,OD=48 m. 解析:如图, ∵OA=OB,∠AOB=120°, ∴∠ABO=∠BAO==30°. 由题意得OE∥NG,∠ODE=∠NMG=90°,∴∠OED=∠NGM, ∴△ODE∽△NMG, ∴,∴, ∴OD=48 m. (2)过点O作OH⊥AB于点H,过点E作EI⊥AF于点I,如图, 在Rt△NMG中,由勾股定理得NG=5 m. 由题意得AF∥NG,∴∠EFI=∠NGM, 又∠EIF=∠NMG=90°, ∴△EIF∽△NMG, ∴,∴, ∴EI=16 m, 由题意得OE∥AF,而OH⊥AF,EI⊥AF, ∴OH=EI=16 m, ∵在Rt△OBH中,∠ABO=30°, ∴OB=2OH=32 m, ∴风叶转动时点B到地面DF的最小距离为OD-OB=48-32=16(m). 11.A 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项12　一线三等角模型 类型一　一线三垂直 模型 特点 已知 A,B,C三点共线,且∠1=∠2=∠3=90° 图示 解题 思路 (1)先找平角180°. (2)再找内角和180°. (3)结合条件中的等角,得到另一组等角 结论 (1)△ABD∽△CEB. (2)当AB=CE或AD=CB或BD=EB时,△ABD≌△CEB ❶ 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,点E是边BC上一点,连接AE,DE,∠AED=90°. (1)求证:△ABE∽△ECD. (2)若AB=EC,求证:△ADE是等腰直角三角形. ❷ 在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示,点N在边AD上,现将矩形折叠,折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边DC上,请判断△MCB与△NDM是否相似?如果不相似,请说明理由;如果相似,请证明. ❸ 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:△ADC≌△CEB. (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,AD=5,BE=2,求线段DE的长. 类型二　一线三等角 模型 特点 已知 A,B,C三点共线,且∠1=∠2=∠3 图示 点B在线段AC上 点B在线段AC的延长线上 结论 (1)△ABD∽△CEB. (2)当AD=CB或AB=CE或BD=EB时,△ABD≌△CEB ❹ 如图,△ABC是等边三角形,点D是BC上一点,连接AD,在AD上取两点E,F,连接CE,BF,若 ∠CED=∠BFD=60°,求证:△ACE≌△BAF. ❺ 如图,在等腰直角三角形ABC中,点P,点D分别为AB,BC上的点,连接CP,PD,且∠CPD=45°,求证:△ACP∽△BPD. ❻ 如图,在▱ABCD中,E为边BC上一点,F为边AB上一点.若∠DEF=∠B,BE=AB,DE=10,求EF的长. 【详解答案】 1.证明:(1)∵∠B=∠C=90°,∠AED=90°, ∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°.∴∠BAE=∠CED. ∴△ABE∽△ECD. (2)在△ABE和△ECD中, ∴△ABE≌△ECD(ASA). ∴AE=ED. ∵∠AED=90°, ∴△ADE是等腰直角三角形. 2.解:△MCB∽△NDM.证明如下: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠D=∠C=90°, ∴∠DNM+∠DMN=90°, 由折叠的性质可知,∠BMN=∠A=90°, ∴∠DMN+∠CMB=90°, ∴∠DNM=∠CMB, ∴△MCB∽△NDM. 3.解:(1)证明:∵AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠ADC=∠CEB=90°, ∴∠DAC+∠ACD=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, ∴∠DAC=∠BCE, 在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB(AAS). (2)∵BE⊥CE,AD⊥CE, ∴∠ADC=∠CEB=90°, ∴∠CBE+∠ECB=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ECB+∠ACD=90°, ∴∠ACD=∠CBE, 在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB(AAS), ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CE-CD=AD-BE=5-2=3. 4.证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°,AB=AC, ∴∠BAF+∠EAC=60°, ∵∠CED=∠BFD=60°, ∴∠AEC=∠AFB=180°-60°=120°, ∴∠BAF+∠ABF=180°-∠AFB=60°, ∴∠EAC=∠FBA, 在△ACE和△BAF中, ∴△ACE≌△BAF(AAS). 5.证明:∵△ABC为等腰直角三角形, ∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°, ∵∠CPD=45°, ∴∠APC=180°-∠BPD-∠CPD=180°-45°-∠BPD=135°-∠BPD, 又∵∠BDP=180°-∠B-∠BPD=180°-45°-∠BPD=135°-∠BPD, ∴∠APC=∠BDP,∴△ACP∽△BPD. 6.解:如图,过点D作DM=DC交BC的延长线于点M,∴∠DCM=∠M. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DM=DC=AB,AB∥DC, ∴∠B=∠DCM=∠M. ∵∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE,∠DEF=∠B, ∴∠DEC=∠BFE, ∴△BFE∽△MED, ∴, ∵BE=AB, ∴, ∴EF=DE=×10=6. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲　等腰三角形 考点一　等腰三角形 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 性质 (1)两腰相等.如图,AB=①　　　　.  (2)两个底角相等(简称“等边对②　　　　”).  如图,已知AB=AC,则∠B=∠③　　　　.  (3)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的④　　　　重合(简称“三线合一”).  如图,已知AB=AC,AD⊥BC,则BD=⑤　　　　,∠BAD=∠⑥　　　　.  (4)是轴对称图形,底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴. 如图,△ABC的对称轴是⑦　　　　　  判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义). (2)等角对等边.如图,若∠B=∠C,则AB=⑧　　　  面积公式 S△ABC=BC·⑨　　　  (1)等腰三角形两腰上的高、中线都分别相等. (2)等腰三角形两底角的平分线相等. (3)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半. (4)等腰三角形顶角处的外角平分线与底边平行. 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,点D为BC的中点. (1)若∠B=50°,则∠C =　　　　.  (2)若∠BAD=20°,则∠BAC =　　　　.  (3)若AB=5,BC=6,则AD的长为　　　　.  2.(人教八上P79练习T1变式)如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有　　　　 个.  考点二　等边三角形 定义 三边都相等的三角形是等边三角形 性质 (1)三边都相等,如图,AB=⑩　　　　=　　　　.  (2)三个内角都相等,并且每一个角都等于　　　　°.  如图,∠BAC=∠　　　　=∠　　　　=　　　　°.  (3)是轴对称图形,共有　　　　条对称轴.  (4)具有一般等腰三角形的所有性质 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形(定义). (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 如图,若∠BAC=∠B=∠C,则△ABC是　　　　三角形.  (3)有一个角是　　　　的等腰三角形是等边三角形.  如图,若AB=AC,∠BAC=　　　　°,则△ABC是等边三角形  面积公式 S△ABC=ah=　　　　a2  3.如图,已知△ABC是等边三角形. 若BD是等边三角形ABC的角平分线,AB=10,则CD=　　　　,S△ABC=　　　　.  4.如图,已知△ABC与△CDE都是等边三角形,点B,C,D在同一条直线上,AD与BE相交于点G,BE与AC相交于点F,AD与CE相交于点H,则下列结论:①△ACD≌△BCE;②∠AGB=60°;③BF=AH;④△CFH是等边三角形,其中正确的是　　　　.(填序号)  如图,在△ABD与△BCD中,AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°,过点C作CE∥BA,交AD于点E,交BD于点F,连接AC,交BD于点H. (1)判断△DEF的形状,并说明理由. (2)求证:AC平分∠DAB. (3)若AD=12,CE=8,求CF的长. (1)先证明△ABD是等边三角形,可得∠ABD=∠ADB=60°,由平行线的性质可得∠CED=∠ADB=∠DFE=60°,可得结论. (2)根据AB=AD,CB=CD,推出直线AC是线段BD的垂直平分线,再根据等腰三角形的性质即可得证. (3)由等边三角形的性质和平行线的性质可得AE=CE=8,即可求解. 命题点一　等腰三角形的性质与判定 ❶ (2018·河北)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是(　　) A.作∠APB的平分线PC,交AB于点C B.过点P作PC⊥AB于点C,且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PC⊥AB,垂足为C 命题点二　等边三角形的性质与判定 ❷ (2025·广西)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD=　　　　.  ❸ (2025·南充)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧;再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是　　　　.  ❹ (2025·河北样卷)日晷是我国古代使用的一种计时仪器,某日晷底座的正面与晷面在同一平面上.如图,☉O表示日晷的晷面圆周,日晷底座的底边AB在水平线l上,△OAB为等边三角形,OA,OB与☉O分别交于P,Q两点.点C,D是☉O上两点,CD∥AB,过O作OE⊥AB于点E,交CD于点F,交☉O于点M.已知CD=60 cm,FM=30 cm,ME=20 cm. (1)求☉O的半径. (2)求图中阴影部分的面积. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①AC　②等角　③C　④高　⑤DC ⑥CAD　⑦AD所在直线　⑧AC ⑨AD　⑩AC　BC　60　ABC ACB　60　3　等边　60° 60　 即时练 1.(1)50°　(2)40°　(3)4 2.3　解析:∵∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴△BDC为等腰三角形. ∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠ABD=36°,∴∠ABD=∠A,∴BD=AD,∴△ABD为等腰三角形. ∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°,∴∠ABC=∠C,∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形. 3.5　25 4.①②③④　解析:∵△ABC与△CDE都是等边三角形,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=60°, ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SAS),故①正确;∴∠CAD=∠CBE, ∴∠AGB=∠AFB-∠CAD=∠AFB-∠CBE=∠ACB=60°,故②正确; ∵点B,C,D在同一条直线上,∴∠ACH=180°-∠ACB-∠ECD=60°,∴∠BCF=∠ACH, 在△BCF和△ACH中, ∴△BCF≌△ACH (ASA),∴BF=AH,故③正确;∵CF=CH,∠FCH=60°,∴△CFH是等边三角形,故④正确.故正确的结论是①②③④. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)△DEF是等边三角形.理由如下: ∵AB=AD,∠DAB=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∴∠ABD=∠ADB=60°, ∵CE∥AB, ∴∠CED=∠DAB=60°, ∠DFE=∠ABD=60°, ∴∠CED=∠ADB=∠DFE, ∴△DEF是等边三角形. (2)证明:∵AB=AD,CB=CD, ∴AC是BD的垂直平分线, 即AC⊥BD, ∵AB=AD, ∴AC平分∠DAB. (3)∵AC平分∠DAB, ∠DAB=60°, ∴∠BAC=∠DAC=30°, ∵CE∥AB, ∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°, ∴AE=CE=8, ∴DE=AD-AE=12-8=4, ∵△DEF是等边三角形, ∴EF=DE=4, ∴CF=CE-EF=8-4=4. 河北中考·考向体验 1.B 2.-1　解析:延长AD交BC于点E,如图,∵AB=CA,BD=CD,∴AE⊥BC,BE=CE, ∵AB=BC=CA=2,∴BE=CE=1, ∴AE=,DE==1,∴AD=AE-DE=-1. 3.　解析:如图,连接OD,由作图可得OC=OD=CD, ∴△OCD是等边三角形,∴∠OCD=60°,∴OE=OC×tan∠OCD=1×. 4.解:(1)∵OE⊥AB,CD∥AB, ∴OE⊥CD, ∴DF=CF=CD, ∵CD=60 cm, ∴DF=30 cm. 如图,连接OD, 设☉O的半径OD=OM=r cm, ∴OF=OM-FM=(r-30)cm, 在Rt△ODF中,r2=(30)2+(r-30)2,解得r=60, 即☉O的半径为60 cm. (2)∵△OAB为等边三角形,OE⊥AB, ∴BE=AB. ∵OE=OM+ME=60+20=80(cm), 在Rt△BOE中, AB2=802+, 解得AB=(负值舍去), ∴S△OAB=AB·OE=×80=(cm2). ∵S扇形POQ==600π(cm2), ∴S阴影=S△OAB-S扇形POQ =cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲　直角三角形 考点一　直角三角形的性质与判定 性质 1.直角三角形的两个锐角①　　　　.  2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的②　　　　.  3.30°角所对的直角边等于斜边的③　　　　.  4.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么④　　　　　.  三个内角分别为30°,60°和90°的直角三角形的三边之比为1∶∶2 判定 1.有一个角等于⑤　　　　的三角形是直角三角形(定义).  2.如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形. 3.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法,应先确定最长边,然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方 面积 S=ab=ch,其中a,b为两条直角边,c为斜边,h为斜边上的高. 已知直角三角形的三边,求斜边上的高时,常用等面积法,利用公式h=进行求解 1.如图,已知在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D. (1)若∠B=40°,则∠DAC=　　　　.  (2)若AB=4,AC=3,则AD=　　　　.  (3)若∠B=30°,AB=6,则BC=　　　　.  (4)若点E是BC 的中点,AD=DE =2,则BC=　　　　.  考点二　等腰直角三角形的性质与判定 性质 1.等腰直角三角形的两直角边相等. 2.等腰直角三角形的两锐角相等且都等于45° 判定 1.有一个角是90°的等腰三角形是等腰直角三角形. 2.有两个角是⑥　　　　的三角形是等腰直角三角形.  3.有一个角是⑦　　　　的直角三角形是等腰直角三角形.  4.有两边⑧　　　　的直角三角形是等腰直角三角形  2.若三角形的三个内角的度数比为1∶1∶2,则这个三角形是一个　　　　　三角形.  (1)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.若AD=1,BE=3,则DE=　　　　.  (2)如图2,在△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC边的中点,点M在AB边上,点N在BC边上.若DM⊥DN,求证:AM2+CN2=MN2. (3)如图3,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,BC=BE,BA=BD,∠EBC=∠DBA=90°,连接CE,ED,DA,延长CB交ED于点F,点P为AC的中点,连接PB.若BP=5,BF=3,求△EBD的面积. (1)证明△ACD和△CBE全等得AD=CE=1,CD=BE=3,由此即可得出DE的长. (2)延长MD到点K,使DK=DM,连接CK,NK,证明△CDK和△ADM全等得CK=AM,证明DN是线段MK的垂直平分线得MN=KN,再证明∠NCK=90°,然后在Rt△NCK中由勾股定理即可得出结论. (3)过点D作DH⊥BF,交BF的延长线于点H,证明△ABC和△BDH全等得BC=DH,AC=BH,进而得BE=DH,由此可证明△BEF和△HDF全等得EF=DF,BF=HF=3,则AC=BH=6,继而得PC=AC=3,再由勾股定理求出BC=BE=4得S△BEF=BE·BF=6,然后根据EF=DF得S△BDF=S△BEF=6,由此即可得出△EBD的面积. 命题点一　直角三角形的性质与判定 ❶ (2025·陕西)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ❷ (2020·河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是(　　) A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 ❸ (2023·河北)如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,若S正方形AMEF=16,则S△ABC=(　　) A.4 B.8 C.12 D.16 命题点二　等腰直角三角形的性质与判定 ❹ (2022·河北)题目:“如图,∠B=45°,BC=2,在射线BM上取一点A,设AC=d,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”对于其答案,甲答:d≥2,乙答:d=1.6,丙答:d=,则正确的是(　　) A.只有甲答得对 B.甲、丙答案合在一起才完整 C.甲、乙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 ❺ (2020·河北)如图,从笔直的公路l旁一点P出发,向西走6 km到达l;从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是(　　) A.从点P向北偏西45°走3 km到达l B.公路l的走向是南偏西45° C.公路l的走向是北偏东45° D.从点P向北走3 km后,再向西走3 km到达l ❻ (2025·广安)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D是BC边上的一个动点,连接AD,则AD的最小值为　　　　.  【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①互余　②一半　③一半　④a2+b2=c2 ⑤90°　⑥45°　⑦45°　⑧相等 即时练 1.(1)40°　(2)　(3)4　(4)4 解析:(1)∵∠BAC=90°,∠B=40°,∴∠C=90°-40°=50°.∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-50°=40°. (2)∵AB=4,AC=3,∴根据勾股定理可得,BC=5,由AB·AC=BC·AD可得,3×4=5AD,∴AD=. (3)在Rt△ABC中,∵∠B=30°,∴BC=2AC,设AC=x,则BC=2x,∴根据勾股定理可得x2+62=(2x)2,解得x=2(负值舍去),∴BC=4. (4)在Rt△ADE中,根据勾股定理可得,AE==2,根据斜边上的中线等于斜边的一半可得,BC=2AE=4. 2.等腰直角　解析:∵三角形的三个内角的度数比为1∶1∶2,∴设该三角形的三个内角分别为α,α,2α,根据三角形内角和定理得α+α+2α=180°,解得α=45°,∴该三角形的三个内角的度数分别为45°,45°,90°,∴该三角形是一个等腰直角三角形. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)4 (2)证明:延长MD到点K,使DK=DM,连接CK,NK,如图所示. ∵点D是AC边的中点, ∴CD=AD, 在△CDK和△ADM中, ∴△CDK≌△ADM(SAS), ∴CK=AM,∠3=∠A, ∵DM⊥DN,DK=DM, ∴DN是线段MK的垂直平分线, ∴MN=KN. 在Rt△ABC中,∠ABC=90°, ∴∠A+∠BCA=90°, ∵∠3=∠A, ∴∠3+∠BCA=90°, 即∠NCK=90°, ∴△NCK是直角三角形. 在Rt△NCK中,由勾股定理得 CK2+CN2=KN2, ∵CK=AM,MN=KN, ∴AM2+CN2=MN2. (3)过点D作DH⊥BF,交BF的延长线于点H,如图所示, 则∠H=90°. ∵∠BCA=90°, ∴∠BCA=∠H=90°, ∴∠2+∠ABC=90°, ∵BA=BD,∠DBA=90°, ∴∠1+∠ABC=90°, ∴∠2=∠1. 在△ABC和△BDH中, ∴△ABC≌△BDH(AAS), ∴BC=DH,AC=BH. ∵∠EBC=90°,BC=BE, ∴∠EBF=∠H=90°,BE=DH, 在△BEF和△HDF中, ∴△BEF≌△HDF(AAS), ∴EF=DF,BF=HF, ∵BF=3,∴BF=HF=3, ∴AC=BH=BF+FH=6, ∵点P为AC的中点, ∴PC=AC=3. 在Rt△BCP中,BP=5, 由勾股定理得BC==4, ∴BC=BE=4, 在Rt△BEF中,BF=3, ∴S△BEF=BE·BF=×4×3=6, ∵EF=DF,∴S△BDF=S△BEF=6, ∴S△EBD=S△BDF+S△BEF=12. 河北中考·考向体验 1.C　解析:∵∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,∴CD=AB,∴CD=AD=BD,∴∠B=∠BCD,∵AD=CD,DE⊥AC,∴∠ADE=∠CDE,∵∠A+∠ADE=90°,∠A+∠B=90°,∴题图中与∠A互余的角共有4个.故选C. 2.B　解析:根据题意,设三个正方形的边长分别为a,b,c.由勾股定理,得a2+b2=c2.A.∵1+4=5,∴两直角边的长分别为1和2,则所围成三角形的面积为×1×2=1.B.∵2+3=5,∴两直角边的长分别为和,则所围成三角形的面积为.C.∵3+4≠5,∴不符合题意.D.∵2+2=4,∴两直角边的长分别为和,则所围成三角形的面积为=1,∵>1,∴B选项符合题意.故选B. 3.B　解析:∵S正方形AMEF=16,∴AM==4.∵在Rt△ABC中,点M是斜边BC的中点,∴BC=2AM=8. ∴AC==4. ∴S△ABC=×AB×AC=×4×4=8.故选B. 4.B　解析:过点C作CA'⊥BM于点A',在A'M上取A'A″=BA',如图, ∵∠B=45°,BC=2,CA'⊥BM, ∴△BA'C是等腰直角三角形, ∴A'C=BA'=,∵A'A″=BA',∴A″C==2,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,通过观察得知点A在点A'时,只能作出唯一一个△ABC,此时d=,即丙的答案;点A在射线A″M上时,只能作出唯一一个△ABC,此时d≥2,即甲的答案;点A在线段BA″(不包括点A'和点A″)上时,能作出两个△ABC(二者的AC边关于A'C对称).故选B. 5.A　解析:过点P作PC⊥AB于点C,如图,根据题意得△PAB是腰长为6 km的等腰直角三角形,由勾股定理,得AB==6 km,∵PC⊥AB,∴PC=3 km,则从点P向北偏西45°走3 km到达l,故选项A错误;公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°,故选项B,C正确;取PB的中点D,连接CD,则PD=PB=3 km,从点P向北走3 km后到达点D,此时CD为△PAB的中位线,则CD=AP=3 km,故再向西走3 km到达l,故选项D正确.故选A. 6.2　 解析:如图,过点A作AH⊥BC于点H, ∴∠AHB=90°, ∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠B=45°,∴△ABH是等腰直角三角形,∴AH=AB=×4=2,∵AD≥AH,∴AD的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲　几何初步、相交线与平行线(含命题) 考点一　直线和线段 两个基 本事实 1.直线的基本事实:经过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线). 2.线段的基本事实:两点之间的所有连线中,线段最短(两点之间,线段最短) 两点间 的距离 连接两点的线段的长度 线段的 和与差 如图,在线段AC上取一点B,则有: AC=AB+①　　　　; AB=②　　　　-BC; BC=AC-③　　　　　　 　　　  线段的 中点 如图,点M把线段AB分成两条线段AM与MB,如果AM=MB,那么点M叫做线段AB的中点,即有AM=MB=④　　　  1.(1)将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子,运用的数学原理是　　　　　　　　.  (2)数学源于生活,寓于生活,用于生活.在修建公路时,有时需将弯曲的道路改直,其依据是　　　　　　　　.  2.如图,点C是线段AB上一点,点D是线段BC的中点,若线段AB=8 cm,AC=2 cm,则线段CD的长为　　　　cm.  考点二　角及角平分线 ❶ 角的分类及关系 角的分类 若0°<α<90°,则α为锐角; 若α=⑤　　　　,则α为直角;  若⑥　　　　　　,则α为钝角;  若α=180°,则α为平角; 若α=360°,则α为周角 度、分、 秒的换算 1周角=360°,1平角=180°, 1°=60',1'=60″, 角的度、分、秒是60进制 两角间 的关系 互余 (1)如果α+β=⑦　　　　,那么α与β互为余角.  (2)性质:同角(或等角)的余角⑧　　　  互补 (1)如果α+β=⑨　　　　,那么α与β互为补角.  (2)性质:同角(或等角)的补角⑩　　　  ❷ 角平分线的性质及判定 (1)定义:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线. (2)定理:角平分线上的点到角的两边的距离　　　　.  (3)逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.(1)已知∠1=85°46',则∠1的补角的度数是　　　　.  (2)如图,点A,O,B在一条直线上,且∠AOC=50°,OD平分∠AOC,则∠BOD=　　　　.  (3)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足是E.若DE=3,则CD的长为　　　　.  考点三　相交线 ❶ 三线八角 对顶角 ∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与　　　　.  性质:对顶角　　　  邻补角 ∠1和∠3都与∠2,∠4互为邻补角; ∠5和∠7都与∠6,∠8互为邻补角. 性质:互为邻补角的两个角之和等于　　　  同位角 ∠1与　　　　,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7  内错角 ∠2与　　　　,∠3与∠5  同旁内角 ∠2与∠5,∠3与　　　  ❷ 垂线及性质 定义 两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足 性质1 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,　　　　最短  点到直线 的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　　　  逆定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的　　　　　  4.(人教七下P7练习T1变式)如图,下列判断:①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角;⑤∠2与∠3是对顶角.其中正确的是　　　　.(填序号)  5.(人教八上P65习题13.1 T6变式)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE分别与AB,BC交于点D,E,AC的垂直平分线FG分别与BC,AC交于点F,G,若BC=18,则△AEF的周长是　　　　.  考点四　平行线的判定与性质 ❶ 平行线的判定与性质 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理 的推论 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,即如果a∥c,b∥c,那么　　　  平行线 的判定 与性质 1.同位角　　　 两直线平行. 2.内错角　　　 两直线平行. 3.同旁内角　　　 两直线平行 平行线间 的距离 定义 从一条平行线上任意一点向另一条平行线作垂线,垂线段的长度叫做两条平行线间的距离 性质 两条平行线间的距离处处相等 ❷ 平行线求角度的辅助线作法 作法1: 作平行线 作法2: 从拐点处 延长相交 角度关系 ∠ABE+∠DCE= ∠BEC ∠ABE+∠DCE+ ∠BEC=360° ∠ABE-∠DCE= ∠BEC ∠ABE-∠DCE= ∠BEC 6.(冀教七下P52习题B组T2变式)如图. (1)若AD∥BC,∠B=30°,则∠BAD=　　　　.  (2)若∠CAD=∠C,则AD ∥　　　　.  (3)在(2)的基础上,若AD是∠EAC的平分线,∠C=30°,则∠B=　　　　.  7.已知直线l1∥l2,将含30°角的直角三角板按如图所示摆放.若∠1=120°,则∠2=　　　　.  考点五　命题、定理与反证法 命题 判断一件事情的语句,叫做命题.命题分为题设和结论两部分 真命题 如果题设成立,那么结论一定成立的命题叫做真命题 假命题 题设成立时,不能保证结论一定成立的命题叫做假命题.判断一个命题为假命题,只要找出一个符合命题题设,不符合命题结论的例子即可 互逆 命题 如果一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设,那么我们把这两个命题称为互逆命题.在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是原命题的逆命题 定理 经过证明的真命题称为定理.对于定理,它是经过证明的真命题,但并不是所有的真命题都是定理.定理可以作为判定其他命题真假的依据 互逆 定理 如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理 反证法 先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发,经过逐步推理论证,最后推出与学过的概念、基本事实、定理、性质或题设条件相矛盾的结果.因此,假设是错误的,原结论是正确的.这种证明命题的方法叫做反证法 8.(人教七下P21练习T1变式)已知命题“同位角相等”. (1)命题改写成“如果……,那么……”的形式为　　　　　　　　　　　　　　,题设为　　　　　　,结论为　　　　　　,该命题为　　　　命题.  (2)“同位角相等”的逆命题为　　　　　　　　　　,该命题为　　　　命题.  9.(人教七下P22练习T2变式)为说明“对于任何实数a,a2>a”是假命题,举一个反例,a的值可以是　　　　.  10.用反证法证明命题“已知a,b,c是三条不同的直线,如果a∥b,a与c相交,那么b与c相交”是真命题时,第一步应假设　　　　.  (1)如图,线段AB上有M,N两点,点M总在点N的左侧,且总有AM=BN.若P是AM的中点,Q是BN的中点,AN=18,MN=12,则PQ的长是　　　　.  (2)已知点C在直线AB上,AB=10,BC=4,点M是线段AC的中点,则线段BM的长是　　　　.  (3)已知∠AOB=70°,∠BOC=30°,OD平分∠BOC,则∠AOD的度数是　　　　.  (4)如图,在同一平面内,∠AOB=∠COD=90°,∠AOF=∠DOF,点E为OF反向延长线上一点(图中所有角均指小于180°的角).下列结论:①∠COE=∠BOE;②∠AOD+∠BOC=180°;③∠BOC-∠AOD= 90°;④∠COE+∠BOF=180°.其中正确的结论是　　　　.(填序号)  (5)如图,四边形纸片ABCD中,AD∥BC,折叠纸片ABCD,使点D落在AB上的点D'处,点C落在点C'处,折痕为EF,C'D'交BC于点G.下列结论一定正确的是　　　　.(填序号)  ①∠BFE=∠D'EF; ②∠D=∠AED'+∠BGD'; ③∠AED'=∠BFC'; ④∠CFE-∠AED'=∠BD'G; ⑤若∠D=∠BD'G,∠AED'∶∠ED'G=2∶5,则∠C-∠B=∠BFE. (1)根据线段的和差关系求出AM,BN的长,进而根据线段中点的定义求出PM,QN的长,再由线段的和差关系求出PQ的长即可. (2)根据点C的位置分情况讨论;然后利用线段中点的性质和线段的和差关系求解即可. (3)根据射线OC的位置分情况讨论,然后利用角的和差关系进行计算即可. (4)根据余角的性质以及角的和差关系进行角度的计算,准确识图是解题的关键. (5)根据平行线的性质和折叠判断①;过点D'作D'M∥AD,即可得到AD∥BC∥D'M,然后根据内错角相等得到∠AED'=∠ED'M,∠BGD'=∠GD'M,即可判断②;用∠DEF表示∠AED',∠BFC',即可判断③;通过证明不能得到∠CFE-∠AED'=∠BD'G判断④;设∠D=α,根据平行线的性质和折叠分别用α表示∠C-∠B,∠BFE,即可判断⑤. 命题点一　直线和线段 ❶ (2021·河北)如图,已知四条线段a,b,c,d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上,请借助直尺判断该线段是(　　) A.a B.b C.c D.d 命题点二　角及角平分线 ❷ (2025·陕西)如图,点O在直线AB上,OD平分∠AOC.若∠1=52°,则∠2的度数为(　　) A.76° B.74° C.64° D.52° 命题点三　相交线 ❸ (2020·河北)如图,在平面内作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 ❹ (2025·河北样卷)将两根矩形木条如图放置,固定其中一根,转动另一根,若∠1增大3°,则下列说法正确的是(　　) A.∠2减小3° B.∠3减小3° C.∠4增大3° D.∠2与∠4的和不变 命题点四　平行线的判定与性质 ❺ (2025·河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图,其中AD∥BC,∠ABC=70°,则∠BAD=(　　) A.70° B.100° C.110° D.130° ❻ (2022·河北)要得知作业纸上两相交直线AB,CD所夹锐角的大小,发现其交点不在作业纸内,无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案(如图1和图2). 对于方案Ⅰ,Ⅱ,说法正确的是(　　) A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ,Ⅱ都可行 D.Ⅰ,Ⅱ都不可行 命题点五　命题、定理与反证法 ❼ (2024·河北样卷)能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(　　) A B C　 D ❽ (2024·河北样卷)已知下列命题:①若|a|=|b|,则a2=b2;②若am2>bm2,则a>b;③等腰三角形的两底角相等.其中原命题和逆命题均为真命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①BC　②AC　③AB　④AB　⑤90° ⑥90°<α<180°　⑦90°　⑧相等 ⑨180°　⑩相等　相等　∠8　相等　180°　∠5　∠8　∠8 垂线段　相等　垂直平分线上 a∥b　相等　相等　互补 即时练 1.(1)两点确定一条直线 (2)两点之间,线段最短 2.3　 3.(1)94°14'　(2)155°　(3)3 4.①②③⑤ 5.18　解析:∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB,∵FG是AC的垂直平分线,∴FA=FC,∴△AEF的周长=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=18. 6.(1)150°　(2)BC　(3)30° 7.150°　解析:如图,过点B作BF∥l1,交AC于点F, ∵∠C=30°,∴∠A=90°-∠C=60°.∵∠1=∠A+∠ADE,∠1=120°,∴∠ADE=60°.∵BF∥l1,∴∠ABF=∠ADE=60°, ∴∠FBG=90°-∠ABF=30°.∵BF∥l1,l1∥l2,∴BF∥l2,∴∠BGH+∠FBG=180°,∴∠BGH=180°-∠FBG=150°, ∴∠2=∠BGH=150°. 8.(1)如果两个角是同位角,那么这两个角相等　两个角是同位角　这两个角相等　假 (2)如果两个角相等,那么这两个角是同位角　假 9.(答案不唯一) 10.b∥c 重点难点·一题串讲 例:(1)18　解析:∵AN=18,MN=12, ∴AM=AN-MN=6,∴BN=AM=6,∵P是AM的中点,Q是BN的中点, ∴PM=AM=3,QN=BN=3, ∴PQ=PM+MN+QN=3+12+3=18. (2)7或3　解析:当点C在线段AB上时,如图1, ∵AB=10,BC=4,∴AC=AB-BC=10-4=6,∵点M是线段AC的中点, ∴MC=AC=×6=3,∴BM=MC+BC=7; 当点C在线段AB的延长线上时,如图2, ∵AC=AB+BC=10+4=14,∵点M是线段AC的中点,∴MC=AC=×14=7,∴BM=MC-BC=7-4=3.综上,BM的长为7或3. (3)55°或85°　解析:如图1,当射线OC在∠AOB内部时,∵OD平分∠BOC,∠BOC=30°,∴∠BOD=∠BOC= ×30°=15°,∵∠AOD=∠AOB-∠BOD,∠AOB=70°,∴∠AOD=70°-15°=55°;如图2,当射线OC在∠AOB外部时, ∵∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠AOB=70°,∠BOD=15°, ∴∠AOD=70°+15°=85°. 综上所述,∠AOD的度数是55°或85°. (4)①②④　解析:∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,而∠AOF=∠DOF,∴180°-∠AOC-∠AOF=180°- ∠BOD-∠DOF,即∠COE=∠BOE,故①正确;∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°,故②正确;∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD,而∠AOC不一定等于∠AOD,故③不正确;∵E,O,F三点共线,∴∠BOE+∠BOF=180°,∵∠COE=∠BOE,∴∠COE+∠BOF=180°,故④正确.故正确的结论是①②④. (5)①②③⑤　解析:∵AD∥BC, ∴∠BFE=∠DEF,根据折叠可得 ∠D'EF=∠DEF,∴∠BFE=∠D'EF,故①正确;过点D'作D'M∥AD,如图,∵AD∥BC,∴AD∥BC∥D'M,∴∠AED'=∠ED'M,∠BGD'=∠GD'M,∴∠D=∠ED'C'=∠ED'M+ ∠GD'M=∠AED'+∠BGD',故②正确; ∵AD∥BC,∴∠EFC=180°-∠DEF, ∠DEF=∠EFB,又∵∠EFC=∠EFC', ∠D'EF=∠DEF,∴∠EFC=∠EFC'=180°-∠DEF,∠D'EF=∠DEF=∠EFB,∴∠AED'=180°-∠DEF-∠D'EF=180°-2∠DEF,∠BFC'=∠EFC'-∠BFE=180°-∠DEF-∠DEF=180°-2∠DEF,∴∠AED'=∠BFC',故③正确;∵AD∥BC, ∴∠AEF=∠EFC,∴∠CFE-∠AED'=∠AEF-∠AED'=∠D'EF=∠DEF=∠EFB,不能得到∠CFE-∠AED'=∠BD'G,故④错误;设∠D=α,则∠ED'G=∠BD'G=α, 又∵∠AED'∶∠ED'G=2∶5,∴∠AED'=α,∠BGD'=α, ∴∠FED'=∠FED=∠BFE=(180°-∠AED')=90°-α,∠BD'M=∠BD'G+∠GD'M=α+α=α, 又∵AD∥BC∥D'M,∴∠B=180°-∠BD'M=180°-α,∠C=180°-∠D=180°-α, ∴∠C-∠B=180°-α-=90°-α=∠BFE,故⑤正确. 故正确的结论是①②③⑤. 河北中考·考向体验 1.A 2.A　解析:∵OD平分∠AOC,∴∠AOC=2∠1=2×52°=104°,∴∠2=180°-∠AOC=76°.故选A. 3.D　4.A　5.C 6.C　解析:∵∠HEN=∠CFG,∴MN∥CD.∴直线AB,CD所夹锐角与∠AEM相等,故方案Ⅰ可行.根据三角形内角和定理可知,直线AB,CD所夹锐角与180°-∠AEH-∠CFG相等,故方案Ⅱ可行.故选C. 7.A　解析:A.两个角都是30°,这两个角相等,但这两个角不是对顶角,可以说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项符合题意;B.两个角都是30°,这两个角相等,这两个角是对顶角,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意;C.两个角不相等,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意;D.两个角不相等,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意.故选A. 8.C　解析:若|a|=|b|,则a2=b2的逆命题为若a2=b2,则|a|=|b|,原命题和逆命题均为真命题;若am2>bm2,则a>b的逆命题为若a>b,则am2>bm2,原命题为真命题,逆命题为假命题;等腰三角形的两底角相等的逆命题为有两角相等的三角形为等腰三角形,原命题和逆命题均为真命题.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项10　与角平分线有关的几何问题 类型一　角平分线+平行线等腰三角形 当题中同时出现角平分线和平行线时,注意找等腰三角形.一般地,角平分线、平行线、等腰三角形中任意两个条件存在,可得第三个条件.如图,OP平分∠MON,PQ∥ON,则△OPQ为等腰三角形. ❶ 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E,D,则DE=(　　) A.14 B.16 C.18 D.20 ❷ 如图,D为△ABC的边BC延长线上一点,∠ABC和∠ACD的平分线交于点O,过点O作BC的平行线,分别交AB,AC于点E,F,若BE=5,CF=3,则EF=　　　　.  类型二　角平分线+边的垂线双垂直 如图,遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时,一般过该点作另一边的垂线,构造双垂直求解. ❸ 如图,点E在∠AOB的平分线上,∠BOE=15°,EC⊥OB,垂足为C,EF∥OB交OA于点F,若EC=4,则OF=(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 ❹ 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,△ABC的面积为30,AB=8,DE=4,则AC的长为(　　) A.4 B.8 C.7 D. 类型三　角平分线+角平分线的垂线等腰三角形 如图,当题目中有垂直于角平分线的线段AP时,通过延长AP,交ON于点B,构造等腰三角形AOB求解. ❺ 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD.若BD=2,求AE的长. ❻ 如图,在△ABC中,M是BC的中点,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,AB=10,AC=14,求DM的长. 类型四　见角平分线作对称全等三角形 如图,若P是∠MON的平分线上一点,A是边OM上任意一点,可考虑在边ON上截取OB=OA,连接PB,构造△OPB≌△OPA,进而将一些线段和角进行等量代换,这是常用的解题技巧之一. ❼ 如图,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点(不与A,B重合),连接DP交对角线AC于点E,连接EB.求证:∠APD=∠EBC. ❽ 如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D.求证:AB=AC+CD. 类型五　角平分线+角平分线三角形内心 如图,三角形任意两条角平分线交于点P,则点P为三角形的内心,且S△ABC=(AB+AC+ BC)·PM,∠BPC=90°+∠A. ❾ 如图,O是△ABC内一点,且点O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则 ∠BOC的度数为(　　) A.70° B.120° C.125° D.130° ❿ 如图,在△ABC中,∠ABC和∠BAC的平分线交于点O,AB=6 cm,BC=9 cm,△ABO的面积为 9 cm2,则△BOC的面积为(　　) A.13.5 cm2 B.18 cm2 C.24 cm2 D.27 cm2 【详解答案】 1.A　解析:∵DE∥BC,∴∠E=∠EBC.又∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠E=∠ABE,∴AE=AB=8.同理可得AD=AC=6,∴DE=AE+AD=AB+AC=8+6=14.故选A. 2.2　解析:∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC, ∵OE∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∴∠ABO=∠EOB,∴EO=EB=5.同理可得FO=CF=3,∴EF=EO-FO=5-3=2. 3.A　解析:如图,过点E作ED⊥OA,垂足为D,∵点E在∠AOB的平分线上,∠BOE=15°,EC⊥OB,垂足为C, ∴CE=DE=4,∠EOF=15°,∵EF∥OB交OA于点F,∴∠OEF=∠COE,∴∠OEF=∠EOF=15°,∴EF=OF, ∴∠EFD=30°,∴EF=2ED=8.∴OF=8.故选A. 4.C　解析:过点D作DF⊥AC于点F,如图,∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF=4,∵S△ABD=×AB×DE=×8×4=16,∴S△ACD=S△ABC-S△ABD=30-16=14,∴×AC×DF=14,∴AC==7. 故选C. 5.解:延长BD,AC交于点F,如图, ∵AD平分∠BAC,BD⊥AD,∴∠DAB=∠DAF,∠ADB=∠ADF=90°, 在△ADF和△ADB中, ∴△ADF≌△ADB(ASA), ∴DF=BD=2, ∴BF=BD+DF=4. ∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠BCF=∠ADB=90°, ∴∠CAE+∠AEC=90°,∠EBD+∠BED=90°, ∵∠AEC=∠BED, ∴∠CAE=∠EBD, 在△ACE和△BCF中, ∴△ACE≌△BCF(ASA), ∴AE=BF=4. 6.解:如图,延长BD与AC相交于点F, ∵AD平分∠BAC,BD⊥AD, ∴∠BAD=∠FAD,∠ADB=∠ADF=90°, 在△ABD和△AFD中, ∴△ABD≌△AFD(ASA). ∴AB=AF,BD=DF, ∵AB=10,AC=14, ∴CF=AC-AF=AC-AB=14-10=4, ∵M为BC的中点, ∴DM是△BCF的中位线, ∴DM=CF=×4=2. 7.证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=CD,AC平分∠BCD, 在△BCE和△DCE中, ∴△BCE≌△DCE(SAS), ∴∠EBC=∠EDC. 又AB∥DC, ∴∠APD=∠EDC, ∴∠APD=∠EBC. 8.证明:如图,在AB上截取AE=AC,连接DE, ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, 在△EAD和△CAD中, ∴△EAD≌△CAD(SAS), ∴∠AED=∠C,ED=CD. ∵∠AED=∠B+∠EDB,∠C=2∠B, ∴∠B+∠EDB=2∠B, ∴∠EDB=∠B, ∴EB=ED=CD, ∴AB=AE+EB=AC+CD. 9.C　解析:∵点O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,∴点O是△ABC三条角平分线的交点,∵∠BAC=70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×110°=55°, 在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°.故选C. 10.A　 解析:过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥BC于点E,如图,∵OB平分∠ABC,OD⊥AB,OE⊥BC, ∴OD=OE, ∴S△BOC∶S△AOB=BC∶AB,∵AB=6 cm,BC=9 cm,△ABO的面积为9 cm2,∴S△BOC=×9=13.5(cm2).故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲　锐角三角函数及其应用 考点一　锐角三角函数 ❶ 定义:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A为一锐角,则有 正弦:sin A==①　　　　;  余弦:cos A==②　　　　;  正切:tan A==③　　　　.  ❷ 特殊角的三角函数值 锐角α 30° 45° 60° sin α ④　　   ⑤　　   cos α ⑥　　   ⑦　　   tan α ⑧　　   1 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2BC,则∠B的正弦值为　　　　,余弦值为　　　　,正切值为　　　　.  2.计算:tan 60°-(4-π)0+2cos 30°+. 考点二　解直角三角形 ❶ 定义:由直角三角形中除直角外的⑨　　　　个已知元素,求出另外⑩　　　　个未知元素的过程叫解直角三角形.  解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是边. ❷ 解直角三角形的依据:在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)三边关系:　　　　　　.  (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=　　　　.  (3)边角之间的关系:sin A=cos B=　　　　,cos A=sin B=　　　　,tan A=　　　　,tan B=　　　　.  ❸ 常见类型及其解法 已知条件 图形 解法 一直角边和 一锐角(a,∠A) ∠B=90°-∠A,c=,b=(或b=) 斜边和 一锐角 (c,∠A) ∠B=90°-∠A,a=c·sin A,b=c·cos A(或b=) 两直角边 (a,b) c=,由tan A=求∠A,∠B=90°-∠A 考点三　锐角三角函数的实际应用 ❶ 仰角、俯角:如图1,在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫　　　　,视线在水平线下方的角叫　　　　.  ❷ 坡度、坡角:如图2,坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫　　　　(也叫“坡比”),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,i=tan α=.  ❸ 方位角:从某个参照点看物体,视线与正北(或正南)方向射线的夹角称为　　　　.如图3,A点位于O点的北偏东30°方向,B点位于O点的南偏东60°方向.  3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,若tan∠ACD=,AC=12,则BC的值为　　　　.  4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,以点B为圆心,BC长为半径画弧交AD于点E,连接CE,过点B作BF⊥CE,垂足为F,则tan∠FBC的值为　　　　.  5.如图,在湖中有A,B,C三个小岛,岛A与岛B相距3 km,岛B在岛A的北偏东40°方向上,岛C在岛A的南偏东50°方向上. (1)请以点A为起点,画出点C所在的射线. (2)岛A在岛B的　　　　 方向上.  (3)从岛A看岛B与岛C所成的视角∠BAC=　　　　.  (4)两艘游艇同时从岛B出发,以相同的速度分别沿直线驶往岛A与岛C,若前往岛A所用的时间是前往岛C所用时间的一半,则岛A与岛C之间的距离为　　　　km.  如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与BC,AB的交点分别为D,E. (1)若AD=10,sin∠ADC=,求AC的长和tan B的值. (2)若AD=1,∠ADC=α,参考(1)的计算过程直接写出tan的值.(用sin α和cos α表示) (1)在直角三角形ADC中利用锐角三角函数的定义求得AC=8,根据勾股定理求得CD=6;然后利用垂直平分线的性质推知AD=BD;最后在直角三角形ABC中,由锐角三角函数的定义来求tan B的值即可. (2)先找到含的直角三角形,根据正切定义和(1)的解答过程可得出结果. 如图1,在同一剖面内,DB是一处斜坡,坡度为3∶4,小明在点A处用测角仪测得坡顶D的仰角为27°,他水平向右前进了一段路程来到斜坡的坡脚B处,沿着斜坡BD上行25米到达点D,DE是一座观测塔.(测角仪的高度忽略不计.参考数据: sin 27°≈0.45,tan 27°≈0.51,≈1.73) (1)斜坡DB的铅直高度CD=　　　　　米,水平宽度BC=　　　　米.  (2)小明前进的路程AB≈　　　　米(结果精确到0.1米).  (3)如图 2,小明登上观测塔,到达塔顶E后,测得斜坡前面一栋楼房的楼顶F的仰角是60°,楼底 H的俯角是45°.若楼底 H距坡底B的距离是15米,则楼房的高度大约是多少米(结果精确到0.1米)? (4)如图3,在(3)的条件下,若在楼顶F观测到北偏东60°,距楼顶70米处有一架无人机G,则此时无人机在观测塔塔顶E的　　　　　方向.  (1)设CD=3x,则BC=4x,在直角三角形BDC中,由勾股定理可得方程,从而求出x的值. (2)根据直角三角形的边角关系和AB=AC-BC求解即可. (3)过点E作EM⊥FH于点M,得到直角三角形FME和直角三角形MEH,从而求出FH的长. (4)延长DE交FG于点N,易知△EFG是直角三角形,根据直角三角形的边角关系求出∠FEG的大小,进而求出∠NEG的大小. 命题点　锐角三角函数及其应用 ❶ (2019·河北)如图,从点C观测点D的仰角是(　　) A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC ❷ (2023·河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向,则淇淇家位于西柏坡的(　　) A.南偏西70°方向 B.南偏东20°方向 C.北偏西20°方向 D.北偏东70°方向 ❸ (2025·河北)2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月,活动主题为“抓早抓小抓关键,更快降低近视率”.如图是一幅眼肌运动训练图,其中数字1~12对应的点均匀分布在一个圆上,数字0对应圆心.图中以数字0~12对应的点为端点的所有线段中,有一条线段的长与其他的都不相等.若该圆的半径为1,则这条线段的长为　　　　.参考数据:sin 15°=,sin 75°=  眼肌运动训练图 使用方法:以0,1,2,3,…的顺序沿着箭头方向移动眼球,移动一圈后再回到原点,反复进行. ❹ (2024·河北样卷)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,点D在BC上,且BD=AD. (1)求AC的长. (2)求cos∠ADC的值. ❺ (2024·河北)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚,淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4 m,仰角为α;淇淇向前走了3 m后到达点D,透过点P恰好看到月亮,仰角为β,如图是示意图.已知,淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6 m,点P到BQ的距离PQ=2.6 m,AC的延长线交PQ于点E.(注:图中所有点均在同一平面) (1)求β的大小及tan α的值. (2)求CP的长及sin∠APC的值. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①　②　③　④　⑤　⑥ ⑦　⑧　⑨两　⑩三　a2+b2=c2　90°　　　　 仰角　俯角　坡度　方位角 即时练 1.　　2　解析:∵∠C=90°,AC=2BC,∴设BC=x,AC=2x,∴AB=x,∴sin B=,cos B=,tan B==2. 2.解:原式=-1+2×+4=2+3. 3.9　解析:∵CD是AB边上的中线,∴CD=AB=AD,∴∠A=∠ACD,又∵tan∠ACD=,∴tan A=. 在Rt△ABC中,tan A=,则,∴BC=9. 4.　解析:如图,连接BE. 由题意得BE=BC=5,∴AE==4,∴DE=AD-AE=5-4=1,∴CE=,∵BC=BE,BF⊥CE,∴点F是CE的中点,∴CF=CE=,∴BF=, ∴tan∠FBC=. 5.解:(1)如图所示. (2)南偏西40°　(3)90°　(4)3 重点难点·一题串讲 例1:解:(1)∵sin∠ADC=,∠C=90°, ∴, 又∵AD=10,∴AC=8,∴在Rt△ADC中,CD==6. ∵DE是AB的垂直平分线, ∴AD=BD, ∴tan B=. (2)tan. 解析:在Rt△ADC中,AC=AD·sin∠ADC,CD=AD·cos∠ADC, ∵AD=1,∠ADC=α, ∴AC=sin α,CD=cos α. ∵DE是AB的垂直平分线, ∴BD=AD=1, ∴∠DAB=∠B. 又∠ADC=∠DAB+∠B, ∴∠B=, ∴tan B=, 即tan. 例2:解:(1)15　20 解析:∵DB的坡度为3∶4,∴设CD=3x,则BC=4x,在Rt△BDC中,BD=25,根据勾股定理可得(3x)2+(4x)2=252,解得x=5(负值舍去),∴CD=15米,BC=20米. (2)9.4 解析:由题意知,tan A=, ∴AC=≈29.41(米), ∴AB=AC-BC=29.41-20≈9.4(米). (3)如图1,过点E作EM⊥FH于点M,则ME=HC=HB+BC=15+20=35(米). ∵∠MEH=45°, ∴MH=ME=35米. 在Rt△FME中, ∵ME=35米,tan 60°=, ∴FM=35米. ∴FH=FM+MH=35+35≈95.6(米). 答:楼房的高度大约是95.6米. (4)北偏东15° 解析:如图2,延长DE交FG于点N. ∵ME=35米,∠MFE=30°, ∴EF=2ME=2×35=70(米). ∵FG=70米, ∴FG=EF. ∵∠EFG=180°-30°-60°=90°, ∴∠FEG==45°. ∵∠FEN=∠MFE=30°, ∴∠NEG=45°-30°=15°, ∴无人机在观测塔塔顶E的北偏东15°方向. 河北中考·考向体验 1.B　2.D 3.　解析:如图所示,设数字0为圆心O,数字6为A,数字7为B,连接OA,OB,过点O作OD⊥AB于点D, 眼肌运动训练图 使用方法:以0,1,2,3,…的顺序沿着箭头方向移动眼球,移动一圈后再回到原点,反复进行. 由图可得,线段AB的长与其他的都不相等,∵数字1~12对应的点均匀分布在一个圆上,360°÷12=30°,∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°, ∴∠AOB=30°×5=150°,∴∠OAB= ∠OBA=(180°-∠AOB)=15°,∵OD⊥AB,∴∠BOD=75°,∴sin∠BOD=sin 75°=,即,∴BD=, ∵OA=OB,OD⊥AB,∴AB=2BD=,∴这条线段的长为. 4.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,∵tan B=, ∴AC=BC·tan B=8×=4. (2)设AD=x,则BD=x,CD=8-x.在Rt△ACD中,由勾股定理,得(8-x)2+42=x2,解得x=5. ∴cos∠ADC=. 5.解:(1)由题意可得,PQ⊥AE,PQ=2.6 m,AB=CD=EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m, ∴CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m), ∵∠CEP=90°,CE=PE, ∴β=∠PCE=45°, tan α=tan∠PAE=. (2)∵CE=PE=1 m,∠CEP=90°, ∴CP=(m). 如图,过点C作CH⊥AP于点H, ∵tan α=tan∠HAC=, ∴设CH=x m,则AH=4x m, ∴x2+(4x)2=AC2=9. 解得x=(负值舍去). ∴CH= m. ∴sin∠APC=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲　三角形的基本性质 考点一　三角形的分类 ❶ 定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形. ❷ 分类 (1)按边分 (2)按角分 1.下列说法正确的是　　　　.(填序号)  ①等腰三角形是等边三角形; ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形; ③等腰三角形至少有两边相等; ④三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 考点二　三角形的边和角 ❶ 三角形的边 (1)③　　　　　　<第三边<④　　　　　　.  (2)三角形具有⑤　　　　性.  ❷ 三角形的角 (1)内角和定理:⑥　　　　　　　　.  (2)外角的性质: 三角形的一个外角⑦　　　　与它不相邻的两个内角的和.  三角形的一个外角⑧　　　　与它不相邻的任意一个内角.  (3)外角和定理:三角形的外角和等于⑨　　　　.  在同一个三角形中,等边对等角,大边对大角,小边对小角. 2.如图,在△ABC中, (1)若AB=2,AC=3,则BC边长度的取值范围是　　　　.  (2)若∠ACB=50°,∠A=∠B+10°,则∠B=　 ,∠ACD=　　　　.  考点三　三角形中的重要线段 名称 图形 性质 拓展 AD是∠BAC的平分线,则∠1=⑩　　　　= ∠BAC  内心:三角形三条角平分线的交点 点D是BC的中点,则BD=　　　　　　 =BC,S△ABD=S△ACD  重心:三角形三条中线的交点 AD是BC边上的高,则AD⊥　　　　,即∠ADB=∠ADC=90°  垂心:三角形三条高线的交点 点D,E分别是AB,AC的中点,则　　　　 ∥BC且DE=　　　　BC  三条中位线所形成的三角形的面积是原三角形面积的 3.如图,在△ABC 中,CD,CF分别是AB 边上的高线、中线,CE是∠ACB的平分线. (1)若∠A=70°,∠B=30°,则∠BCE=　　　,∠DCE=　　　.  (2)若AB=6,CD=4,BF=6EF,则S△ABC=　　　　,  S△BCF=　　　　,S△CEF= 　　　　.  4.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若EF=2,则AD的长为　　　　.  已知△ABC. (1)AB=5,AC=3. ①如图1,若△ABC的周长为奇数,则BC的最大值是　　　　;  ②如图2,若 AD 是△ABC的中线,则AD的取值范围是　　　　.  (2)如图3,若AD,AF分别是△ABC的角平分线和高,∠C=60°,∠B=40°,则∠DAF的度数为　　　　.  (3)AD,AF分别是△ABC的中线和高. ①如图4,若△ABC的面积为80,BD=10,则AF的长为　　　　;  ②如图5,BE是△ABD的角平分线,∠BED=40°,∠BAD=25°,取AC的中点G,连接DG,DG与AF有怎样的数量关系? (4)已知AD为△ABC的角平分线,且DE,DF分别是△ABD和△ACD的高. ①如图6,若AB+AC=10,DE=3,则S△ABC=　　　　;  ②如图7,连接EF,与AD相交于点O,求证:AD垂直平分EF. (1)①根据三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可得BC的取值范围,再根据△ABC的周长为奇数求解即可;②可以利用“倍长中线法”把AD延长到E,使DE=AD,连接BE,利用△ADC和△EDB全等,可得到AE的取值范围,从而确定出AD的取值范围. (2)由三角形内角和定理可得∠BAC的度数,然后根据角平分线、高的性质得到∠BAD,∠BAF的度数,再根据∠DAF=∠BAF-∠BAD求解即可. (3)①根据中线的性质及三角形的面积公式可求出AF的长;②利用30°角所对的直角边等于斜边的一半,以及DG是△ABC的中位线,可得DG=AF. (4)①根据△ABC的面积等于△ABD与△ADC的面积之和,再结合角平分线的性质得到DE=DF=3,即可求解;②利用△AED与△AFD全等得到AE=AF,然后再结合DE=DF,从而得到AD是EF的垂直平分线. 命题点一　三角形的稳定性 ❶ (2018·河北)下列图形具有稳定性的是(　　) A　 B　 C　 D 命题点二　三角形的内角与外角 ❷ (2023·河北)如图,直线l1∥l2,菱形ABCD和等边三角形EFG在l1,l2之间,点A,F分别在l1,l2上,点 B,D,E,G 在同一直线上.若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β等于(　　) A.42° B.43° C.44° D.45° ❸ (2021·河北)如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=110°,则图中∠D应　　　　(填“增加”或“减少”)　　　　°.  命题点三　三角形三边的关系 ❹ (2022·河北)平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段,顺次首尾相接组成凸五边形(如图),则d可能是(　　) A.1 B.2 C.7 D.8 ❺ (2021·河北)如图,直线l,m相交于点O,P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能是(　　) A.0 B.5 C.6 D.7 命题点四　三角形中的重要线段 ❻ (2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的(　　) A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 ❼ (2025·广东)如图,点D,E,F分别是△ABC各边上的中点,∠A=70°,则∠EDF=(　　) A.20° B.40° C.70° D.110° 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①等边三角形　②直角三角形　③任意两边之差　④任意两边之和　⑤稳定　⑥三角形的内角和等于180°　⑦等于　⑧大于 ⑨360°　⑩∠2　DC　BC　DE　 即时练 1.③④ 2.(1)1<BC<5　(2)60°　130° 解析:(1)由题意得3-2<BC<2+3,解得1<BC<5. (2)∵∠ACB=50°,∠A=∠B+10°,∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴∠B+10°+∠B+50°=180°,解得∠B=60°.∵∠ACB+∠ACD=180°, ∴∠ACD=180°-50°=130°. 3.(1)40°　20°　(2)12　6　1 解析:(1)∵∠A=70°,∠B=30°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-30°=80°.∵CE是∠ACB的平分线, ∴∠BCE=∠ACE=×80°=40°.∵∠ACD=90°-∠A=90°-70°=20°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=40°-20°=20°. (2)∵CD是AB边上的高线,AB=6,CD=4,∴S△ABC=AB·CD=×6×4=12. ∵CF是AB边上的中线,∴S△BCF=S△ABC=×12=6.∵BF=6EF,∴S△CEF=S△BCF=×6=1. 4.4　解析:∵E,F分别是BD,BC的中点,∴EF是△BCD的中位线,∴DC=2EF=4, ∵BD是△ABC的中线,∴AD=DC=4. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)①7　②1<AD<4　(2)10° (3)①8 ②∵∠BED=∠ABE+∠BAE, ∠BED=40°,∠BAD=25°, ∴∠ABE=15°. ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABF=30°. 又∵AF是△ABC的高, ∴AB=2AF. ∵D是BC的中点,G是AC的中点, ∴DG是△ABC的中位线, ∴AB=2DG.∴DG=AF. (4)①15 ②证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,即DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. 在Rt△AED和Rt△AFD中, ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL). ∴AE=AF. ∴点A在线段EF的垂直平分线上. 又∵DE=DF, ∴点D在线段EF的垂直平分线上. ∴AD垂直平分EF. 河北中考·考向体验 1.A 2.C　解析:如图,∵∠ADE=146°,∴∠ADB=180°-∠ADE=34°. ∵∠α=∠ADB+∠AHD,∴∠AHD=∠α-∠ADB=50°-34°=16°.∵l1∥l2,∴∠GIF=∠AHD=16°. ∵∠EGF=∠β+∠GIF,∴∠β=∠EGF-∠GIF=60°-16°=44°.故选C. 3.减少　10　解析:如图,延长EF交CD于点G.∵∠A=50°,∠B=60°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°=∠DCE. ∴∠DGF=∠GCE+∠E=70°+30°=100°.∵∠EFD=∠D+∠DGF=∠D+100°=110°,∴∠D=10°.∴∠D应减少10°. 4.C　解析:如图,设这个凸五边形为ABCDE,连接AC,CE,并设AC=a,CE=b,在△ABC中,5-1<a<1+5,即4<a<6,在△CDE中,1-1<b<1+1,即0<b<2,所以4<a+b<8,2<a-b<6,在△ACE中,a-b<d<a+b,所以2<d<8,观察四个选项可知,只有选项C符合.故选C. 5.B　解析:如图,连接OP1,OP2,P1P2. ∵点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,∴OP1=OP=2.8,OP2=OP=2.8. ∵在△OP1P2中,OP1-OP2<P1P2<OP1+OP2,∴0<P1P2<5.6.故选B. 6.B 7.C　解析:∵点D,E分别是BC,AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,∴∠DEB=∠A=70°,同理可得DF∥AB,∴∠EDF=∠DEB=70°.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项11　与“中点”有关的几何问题 类型一　 如图,在三角形中,如果有中点,可构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质定理:DE∥BC,且DE=BC,△ADE∽△ABC,解决线段之间的相等或比例关系及平行问题. ❶ 如图,在四边形ABCD中,E,F分别是DC,AD的中点,EF⊥AB,若BC=13,AB=5,则EF的长度为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 ❷ 如图,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,F是BE的延长线与AC的交点,若AC=6,则AF=(　　) A.3 B.2 C. D. 类型二　 如图,在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即CD=AB,来证明线段间的数量关系,而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△BCD,该模型经常会与中位线的性质一起综合应用. ❸ 如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是(　　) A.2.5 B. C. D.2 ❹ 如图,M是Rt△ABC斜边AB上的中点,D是边BC延长线上一点,∠B=2∠D,AB=16,则线段CD的长为　　　　.  类型三　 如图,等腰三角形中有底边上的中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,BD=CD,解决线段之间的相等及平行问题,角度之间的相等问题. ❺ 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC边中点,MN⊥AC于点N,那么MN的长为　　　　.  ❻ 如图,在△ABC中,D,E为边BC上两点,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE. 类型四　 如图,当三角形一边垂线过这边中点时,可以考虑用垂直平分线的性质得到BE=CE,证明线段间的数量关系. ❼ 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.若DE=2,则CE的长为(　　) A. B.2 C.2 D.4 ❽ 如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点O,若∠BOC=80°,则∠A的度数是(　　) A.40° B.45° C.54° D.50° 如图,当遇见中线或者中点时,可以尝试用倍长中线法构造全等三角形,证明线段间的数量关系,该模型经常会与中位线的性质一起综合应用. ❾ 如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于点F.若BE=AC,求证:AF=EF. 类型六　 (1)圆心O是直径的中点,常连接点O与已知中点,或过点O作一边的平行线或垂直构造中位线解题. (2)如图1,圆中遇到弦的中点,出现“四中点(F,O,E,C)一垂直(FC⊥AB)”,联想“垂径定理”解决相应问题. (3)如图2,圆中遇到弧的中点,可得弧相等、弦相等、圆周角相等,可进一步引出垂径定理、角平分线等来解决相应问题. ❿ 如图,AB是☉O的直径,∠BOD=120°,C为的中点,AC交OD于点E,DE=1,则AE的长为(　　) A. B. C.2 D.2 【详解答案】 1.A　解析:如图,连接AC, ∵E,F分别是DC,AD的中点,∴EF∥AC,EF=AC,又∵EF⊥AB,∴AC⊥AB,则∠BAC=90°, ∴在Rt△ABC中,AC==12,∴EF=AC=6.故选A. 2.B　解析:如图,取BF的中点H,连接DH,∵BD=DC,BH=HF,∴DH=FC,DH∥AC, ∴∠HDE=∠FAE,在△AEF和△DEH中, ∴△AEF≌△DEH(ASA),∴AF=DH=FC,∵AC=6,∴AF=AC=2. 3.B　解析:如图,连接AC,CF, 由正方形的性质可得,∠ACD=∠FCG=45°, ∴∠ACF=90°, ∵H是AF的中点,∴CH=AF, ∵AC2=12+12=2,CF2=32+32=18, ∴AF==2, ∴CH=.故选B. 4.8　解析:如图,连接CM, ∵∠ACB=90°,M为AB的中点,∴CM=BM=AM=AB=8,∴∠B=∠MCB=2∠D, ∵∠MCB=∠D+∠DMC,∴∠D=∠DMC, ∴CD=CM=8. 5.　解析:如图,连接AM,∵AB=AC,点M为BC边中点,∴AM⊥CM,BM=CM,∵AB=AC=5,BC=6,∴BM=CM=3,在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,∴根据勾股定理得AM==4, 又∵S△AMC=MN·AC=AM·CM, ∴MN=. 6.证明:如图,过点A作AF⊥BC,垂足为F,因为AB=AC,AF⊥BC,所以BF=CF,因为AD=AE,AF⊥BC,所以DF=EF,所以BF-DF=CF-EF,即BD=CE. 7.C　解析:如图,连接BE,∵∠C=90°,∠ABC=60°, ∴∠A=30°,∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°=∠ABE, ∵∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,∴CE=DE=2.故选C. 8.A　解析:如图,连接OA,∵∠BOC=80°,∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,∴∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=100°, ∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA=180°-(∠OBC+∠OCB)=80°,∵边AB,AC的垂直平分线交于点O, ∴AO=BO,AO=CO,∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∴∠CAB=∠OAB+∠OAC=40°.故选A. 9.证明:如图,延长AD到点G,使得AD=DG,连接BG. ∵AD是BC边上的中线, ∴DC=DB, 在△ADC和 △GDB中, ∴△ADC≌△GDB(SAS), ∴∠CAD=∠G,BG=AC, 又∵BE=AC,∴BE=BG, ∴∠BED=∠G, ∵∠BED=∠AEF,∴∠AEF=∠CAD, 即∠AEF=∠FAE,∴AF=EF. 10.A　解析:如图,连接OC.∵∠DOB=120°, ∴∠AOD=60°, ∵, ∴∠DOC=∠BOC=60°,∴∠A=∠BOC=30°,∴∠A+∠AOD=90°,∴∠AEO=90°. 在Rt△AOE中,OE=OA=OD=DE=1,∴OA=2, ∴AE=. 学科网（北京）股份有限公司 $