2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第三章　函数

该初中数学讲义聚焦“平面直角坐标系与函数”中考核心模块，覆盖点的坐标特征、距离计算、函数概念及自变量取值范围四大考点。通过表格梳理坐标规律、图形直观呈现知识联系，构建系统网络，结合考点梳理、即时练、一题串讲及真题训练，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 特色在于“考点-例题-真题”三阶递进设计，如坐标特征部分用表格对比象限及对称轴上点的坐标规律，培养抽象能力与几何直观。一题串讲以点的平移对称综合题为例，引导学生用数学语言表达关系，提升推理意识。分层练习配合真题限时训练，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专项3　一次函数的交点问题 类型一　一次函数与坐标轴的交点问题 一次函数y=kx+b中,函数图象与x轴交点纵坐标为0,与y轴交点横坐标为0,所以求函数图象与坐标轴的交点坐标,就是把y=0代入解析式求出与x轴的交点坐标,把x=0代入解析式求出与y轴的交点坐标.即一次函数图象与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为(0,b). ❶ 已知直线y=kx+6与坐标轴所围成的图形的面积为18,则k=　　　　.  ❷ 已知一次函数y=kx+4(k≠0),当x=-1时,y=2. (1)求此函数的表达式. (2)在如图所示的坐标系中画出一次函数的图象,该图象与x轴、y轴的交点分别为A,B,求出△AOB的面积. (3)利用图象求出当y≤3时,x的取值范围. 类型二　两个一次函数的交点问题 求两个一次函数的交点的问题,通常是联立两直线解析式求方程组的解.具体步骤如下:假设两直线的解析式分别为ax+by+c=0和mx+ny+d=0. (1)将这两个方程联立,得到一个方程组. (2)解这个方程组,得到的解即为两直线的交点坐标(x,y). 需要注意的是,当这个联立方程组无解时,两直线平行;有无穷多解时,两直线重合;只有一解时,两直线相交于一点. ❸ 如图,已知一次函数y=-x+4的图象与x轴、y轴的交点分别为A,B,点P在直线y=2x上. (1)若点P是一次函数y=-x+4的图象与直线y=2x的交点,求△OBP的面积. (2)若△ABP的面积为12时,求点P的坐标. 【详解答案】 1.±1　解析:直线y=kx+6与y轴的交点坐标是(0,6),与x轴的交点坐标是.∵直线y=kx+6与坐标轴所围成的图形的面积为18,∴×6×=18,=6,∴-=6或-=-6,解得k=-1或k=1. 2.解:(1)∵当x=-1时,y=2, ∴2=-k+4,解得k=2, ∴此函数的表达式为y=2x+4. (2)一次函数的图象如图所示: 当x=0时,y=4, 当y=0时,x=-2, ∴点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,4), ∴△AOB的面积是=4. (3)当y=3时,x=-0.5, 由图象可知,y随x的增大而增大, ∴当y≤3时,x≤-0.5, 即x的取值范围是x≤-0.5. 3.解:(1)依题意,得A(4,0),B(0,4). 由解得 ∴P, ∴S△OBP=·OB·xP=×4×. (2)设P(x,2x),分两种情况: ①若点P在第一象限,则x>0,如图, ∵S△ABP=S△OAP+S△OBP-S△OAB =·OA·yP+·OB·xP-·OA·OB =×4×2x+×4×x-×4×4 =4x+2x-8 =6x-8, ∴6x-8=12,解得x=, ∴P. ②若点P在第三象限,则x<0, ∵S△ABP=S△OAP+S△OBP+S△OAB =×4×(-2x)+×4×(-x)+×4×4 =-4x-2x+8 =-6x+8, ∴-6x+8=12, 解得x=-,∴P. 综上所述,点P的坐标为或-,-. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项7　二次函数性质综合应用 类型一　二次函数与其他函数的综合 ❶ 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线y=相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(-2,2),点B在第四象限内.过点B作直线BC∥x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍,记抛物线顶点为E. (1)求双曲线和抛物线的解析式. (2)计算△ABC与△ABE的面积. (3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. ❷ (2025·河北)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,3),B(6,3),顶点为P.抛物线y=a(x-3)2+d(a<0)经过点C.两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1,L2. (1)求b,c的值及点P的坐标. (2)点D在L1上,到x轴的距离为.判断L2能否经过点D,若能,求a的值;若不能,请说明理由. (3)直线AE:y=kx+n(k>0)交L1于点E,点M在线段AE上,且点M的横坐标是点E横坐标的一半. ①若点E与点P重合,点M恰好落在L2上,求a的值; ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点,请直接写出k的值. 类型二　二次函数与几何图形的综合 ❸ (2025·威海)如图,已知抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0),点B,交y轴于点C.点C向右平移2个单位长度,得到点D,点D在抛物线y=ax2+bx-3上.点E为抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标. (2)连接BC,点M是线段BC上一动点,连接OM,作射线CD. ①在射线CD上取一点F,使CF=CO,连接FM.当OM+FM的值最小时,求点M的坐标; ②点N是射线CD上一动点,且满足CN=CM.作射线CE,在射线CE上取一点G,使CG=CO.连接GN,BN.求OM+BN的最小值. (3)点P在抛物线y=ax2+bx-3的对称轴上,若∠OAP+∠OCA=45°,则点P的坐标为　　　　　　.  ❹ 如图,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A(-2,0)和点B(6,0),与y轴交于点C(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标. (2)连接BD,若点F是y轴上的动点,直线BF与抛物线的另一个交点为G.当∠FBA=∠BDE时,求点G的坐标. (3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请求出点Q的坐标. 【详解答案】 1.解:(1)∵点A(-2,2)在双曲线y=上,∴k=-4, ∴双曲线的解析式为y=-, ∵直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍, ∴可设点B的坐标为(m,-4m)(m>0),代入双曲线解析式即可得到m=1. ∴抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过点 A(-2,2),B(1,-4),O(0,0), ∴ ∴抛物线的解析式为y=-x2-3x. (2)∵抛物线的解析式为y=-x2-3x, ∴顶点E,对称轴为直线x=-, ∵B(1,-4),令-x2-3x=-4,解得x1=1,x2=-4,∴C(-4,-4), ∴S△ABC=×5×6=15. 由A,B两点坐标为(-2,2),(1,-4)可求得直线AB的解析式为y=-2x-2, 设抛物线对称轴与AB交于点F,如图,则F点的坐标为, ∴EF=-1=, ∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=×3=. (3)存在.∵S△ABE=, ∴8S△ABE=15, ∴当点D与点C重合时,显然满足条件; 当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线(图略),其对应的一次函数解析式为y=-2x-12, 令-2x-12=-x2-3x, 解得x1=3,x2=-4(舍去), 当x=3时,y=-18, ∴存在另一点D(3,-18)满足条件. 综上,点D的坐标为(-4,-4)或(3,-18). 2.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,3),B(6,3),顶点为P, ∴ 解得 ∴y=-x2+6x+3=-(x-3)2+12, ∴P(3,12). (2)不能.理由:∵点D在L1(第一象限)上,到x轴的距离为, ∴yD=, 当y=时,=-x2+6x+3, 解得x=或x=, ∴D或D, ∵抛物线y=a(x-3)2+d(a<0)经过点C,对称轴为直线x=3, ∴L2经过点C和, ∴L2不能经过点D. (3)①当E,P重合时,E(3,12), ∵M是AE的中点, ∴M, ∵点M恰好落在L2上,且L2经过点C, ∴ 解得a=-. ②k的值为6-. 解析:直线AE:y=kx+n(k>0)交L1于点E,A(0,3), ∴n=3, ∴直线AE的解析式为y=kx+3, ∵y=a(x-3)2+d(a<0)经过点C, ∴2=a+d,∴d=2-a, ∴y=a(x-3)2+2-a=ax2-6ax+a+2, 联立 消去y得,ax2-(6a+k)x+a-1=0, ∵点M为直线AE与L2的唯一公共点, ∴Δ=(6a+k)2-4×a×=0,① ∴x1=x2=, ∴点M的横坐标为,则点E的横坐标为. ∵点E为直线AE与L1的交点,联立直线AE与L1的解析式得 解得x1=0(舍去),x2=6-k, ∴点E的横坐标为6-k, ∴6-k=, 解得a=-1,经检验a=-1是原分式方程的根. 代入①式可得(-6+k)2-4×(-1)×--1=0, 解得k=6±. ∵点M在第一象限,∴>0, ∴k<6,∴k=6-. 3.解:(1)由题意得,C(0,-3),D(2,-3), ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3, ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴E(1,-4). (2)①∵C(0,-3),D(2,-3), ∴CD⊥OC, ∵CF=CO=3,∴OF=3, ∴OM+FM≥OF=3, 当O,M,F三点共线时,OM+FM的值最小. 由x2-2x-3=0得,x1=-1,x2=3, ∴B(3,0),∴BF⊥OB, ∵∠BOC=90°,∴四边形BOCF是矩形, ∵CF=CO,∴矩形BOCF是正方形, ∴M. ②如图1,过点E作EH⊥CN于点H, ∵E(1,-4),C(0,-3), ∴EH=CH=1, ∴∠ECH=∠CEH=45°. 由①知,四边形BOCF是正方形, ∴∠BCO=45°,∴∠BCO=∠ECH, ∵CO=CG,CM=CN, ∴△OCM≌△GCN(SAS), ∴NG=OM,∴OM+BN=NG+BN≥BG, ∴当B,N,G三点共线时,OM+BN的值最小, ∵∠BCG=90°,BC=3,CG=3, ∴BG==3, ∴OM+BN的最小值为3. (3)(1,1)或(1,-1) 解析:如图2,设EP交AB于点F,过点F作FW⊥BC于点W,连接CF, ∵E(1,-4),∴F(1,0), ∵A(-1,0),∴OA=OF, ∵OC⊥AF,∴AC=FC, ∴∠FCO=∠OCA, ∵∠OCB=45°, ∴∠FCO+∠BCF=45°, ∵∠OAP+∠OCA=45°, ∴∠OAP=∠BCF. ∵BF=OB-OF=2,∠OBC=45°, ∴FW=BW=, ∵BC=3,∴CW=BC-BW=2, ∴tan∠OAP=tan∠BCF=, ∴,∴PF=AF=1, ∴点P的坐标为(1,1)或(1,-1). 4.解:(1)将点A(-2,0),C(0,6)代入y=ax2+2x+c,得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+6. ∵y=-x2+2x+6=-(x-2)2+8,∴D(2,8). (2)∵DE⊥x轴,∴E(2,0),∴BE=4,DE=8,∴tan∠BDE=, ∵∠FBA=∠BDE,∴tan∠FBA=, ∴,即OF=3, ∴F(0,3)或(0,-3), 当F(0,3)时,直线BF的解析式为y=-x+3, 当-x+3=-x2+2x+6时,解得x=6或x=-1,∴G; 当F(0,-3)时,直线BF的解析式为y=x-3, 当x-3=-x2+2x+6时,解得x=6或x=-3, ∴G. 综上所述,点G的坐标为或. (3)∵MN∥x轴, ∴MN关于直线x=2对称, ∵以线段MN为对角线作正方形MPNQ, ∴PQ⊥x轴,又点P在x轴上, ∴P(2,0),点Q的横坐标为2, 设M,则N4-m,-m2+2m+6,Q(2,-m2+4m+12), ∴MN=|4-2m|,PQ=|-m2+4m+12|, ∵PQ=MN, ∴|4-2m|=|-m2+4m+12|, 解得m=3±或m=1±, 当m=3+与m=1-时, Q(2,-2-2); 当m=1+与m=3-时, Q(2,2-2). 综上所述,点Q的坐标为(2,-2-2)或(2,2-2). 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项5　反比例函数与一次函数综合 类型一　两函数图象的交点问题 ❶ 在平面直角坐标系中,函数y=与y=x+1的图象交于点(m,n),则代数式(m-n)2·的值为(　　) A.3 B.-3 C. D.- ❷ 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+b的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C,若点A的坐标为(2,0),,则k的值是(　　) A. B.2 C.3 D.4 ❸ (2025·河北模拟)在平面直角坐标系中,我们把一次函数y=kx+b(k≠0,b≠0)的系数k与b的比值称为该一次函数的“特征值”.如图,将一次函数y=-2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-的图象交于P,Q两点,点P,Q恰好关于原点对称,则一次函数y=-2x+m的“特征值”是(　　) A. B. C.- D.- ❹ 如图,反比例函数y=和正比例函数y=x的图象交于点M,N,动点P(m,0)在x轴上,若△PMN为直角三角形,则m的值为(　　) A.2或 B.或 C.±2或± D.±或± ❺ 如图,一次函数y=2x与反比例函数y=的图象相交于A,B两点,以AB为边作等边三角形ABC.若反比例函数y=的图象过点C,则k的值为　　　　.  ❻ 如图,已知直线y=x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(2,3),与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线交反比例函数y=(x>0)的图象于点C. (1)求直线AB和反比例函数的解析式. (2)求△ABC的面积. ❼ 如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A(-1,2),B两点. (1)求函数y=和y=k2x+b的解析式. (2)若在x轴上有一动点C,当S△ABC=2S△AOB时,求点C的坐标. 类型二　与方程、不等式的结合 ❽ 如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于点A(-1,2),B(2,-1),则不等式kx+b≤的解集是(　　) A.x≤-1或x≥2 B.-1≤x<0或0<x≤2 C.x≤-1或0<x≤2 D.-1≤x<0或x≥2 ❾ 如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于点P(2,a)和Q(-1,-4),则a=　　　　;方程=kx+b的解为　　　　　　　　.  ❿ 如图,一次函数y=2x+3与反比例函数y=的图象交于点A(1,m),B(n,-2). (1)求k,m,n的值. (2)直接写出2x+3>中x的取值范围. (3)直接写出方程2x2+3x-5=0的解. ⓫ 如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=(x>0)的图象交于A(6,1),B两点. (1)求这两个函数的解析式. (2)根据图象,直接写出满足y1-y2>0时,x的取值范围. (3)点P在线段AB上,过点P作x轴的垂线,垂足为M,交反比例函数的图象于点Q,若△POQ的面积为,求点P的坐标. 【详解答案】 1.D　解析:∵函数y=与y=x+1的图象交于点(m,n),∴mn=3,n=m+1.∴m-n=-1,∴=-. ∴(m-n)2·=(-1)2×=-.故选D. 2.C　解析:如图,过点C作CH⊥OA交x轴于点H,则CH∥OB. ∵点A在一次函数的图象上,∴代入得b=-2.∴一次函数的解析式为y=x-2.∵点B的横坐标为0, ∴代入得点B的纵坐标为-2.∴点B(0,-2),∴OB=2. ∵CH∥OB,∴△AHC∽ △AOB, ∴,∴AH=1,CH=,∴点C的坐标为(3,). ∴k=3×=3.故选C. 3.B　解析:∵直线y=-2x+m+3与反比例函数y=-的图象交于P,Q两点,点P,Q恰好关于原点对称,∴点P,O,Q在同一直线上,∴直线y=-2x+m+3经过原点,∴m+3=0,∴m=-3,∴一次函数y=-2x+m的解析式为y=-2x-3,∴一次函数y=-2x+m的“特征值”是.故选B. 4.D　解析:由得或∴点M(2,1),N(-2,-1).∴MN==2.如图,在x轴上原点的两旁取两点P1,P2,使得∠NP1M=∠MP2N=90°. 由题意可知,O为MN的中点,∴OP1=OP2=MN=OM=ON=.∴点P1(,0),P2(-,0).∴m=±.在x轴上原点的两旁取两点P3,P4,使得∠P3MN=∠P4NM=90°,设OP3=a,∴OM2+M=O,即()2+1+(a-2)2=a2,解得a=. ∴OP3=OP4=.∴m=±.故选D. 5.-6　 解析:如图,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,连接OC.根据反比例函数和正比例函数图象的对称性可知点A,B关于点O对称,∴AO=BO.又∵△ABC是等边三角形,∴OC⊥AB,∴. 令2x=,解得x=±1,∴A(1,2),∴OD=1,AD=2.易证△OCE∽△AOD,∴=3.又S△AOD=1,∴S△OCE=3,∴|k|=6.又∵反比例函数y=的图象在第二、四象限,∴k=-6. 6.解:(1)∵直线y=x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(2,3), ∴3=2+b,3=. ∴b=1,k=6. ∴直线AB的解析式为y=x+1,反比例函数的解析式为y=(x>0). (2)令x=0,则y=x+1=1. ∴点B(0,1). 把y=1代入y=(x>0),得x=6. ∴点C(6,1). ∴BC=6. ∴S△ABC=×6×(3-1)=6. 7.解:(1)将点A(-1,2),B分别代入反比例函数y=和一次函数y=k2x+b的解析式,得=2, 解得k1=-2, ∴反比例函数的解析式为y=-, 一次函数的解析式为y=-x+. (2)如图,设AB与y轴交于点D,与x轴交于点E,连接OA,OB,AC,BC. 设点C(m,0), 令x=0, 则y=-x+, ∴点D,∴OD=. 令-x+=0,得x=3, ∴点E(3,0),∴CE=|3-m|. ∵S△AOB=OD·(xB-xA)=×[4-(-1)]=. ∴S△ABC=2S△AOB=. ∴CE·(yA-yB)=, 即·|3-m|·. 解得m=-3或m=9. ∴点C的坐标为(-3,0)或(9,0). 8.D　解析:由题图可知,当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不在反比例函数y=(m≠0)图象上方时,x的取值范围是-1≤x<0或x≥2,∴不等式kx+b≤的解集是-1≤x<0或x≥2.故选D. 9.2　x1=2,x2=-1　解析:将点Q的坐标代入反比例函数解析式,得m=(-1)×(-4)=4.∴反比例函数的解析式为y=.将点P(2,a)代入反比例函数的解析式,得a==2.方程=kx+b的解可看成函数y=kx+b和函数y=图象交点的横坐标,∵一次函数和反比例函数图象的交点为P(2,2),Q(-1,-4),∴x1=2,x2=-1. 10.解:(1)把点A(1,m)代入y=2x+3中,得m=2×1+3=5. 把点B(n,-2)代入y=2x+3中,得2n+3=-2.解得n=-2.5. ∴点B(-2.5,-2),把点B(-2.5,-2)代入y=中,得k=(-2.5)×(-2)=5. (2)x的取值范围为x>1或-2.5<x<0. (3)x=-2.5或x=1. 11.解:(1)∵反比例函数y2=(x>0)的图象经过点A(6,1), ∴m=6×1=6, ∴反比例函数的解析式为y2=(x>0), 把B代入y2=(x>0),得a=8, ∴点B的坐标为, ∵一次函数y1=kx+b的图象经过A(6,1),B, ∴解得 ∴一次函数的解析式为y1=-x+9. (2)满足y1-y2>0时,x的取值范围为<x<6. (3)由题意,设P,≤p≤6,∴Q, ∴PQ=-p+9-, ∴S△POQ=·p=, 解得p1=,p2=5, ∴点P的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项9　二次函数的最值问题 类型一　 求y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值或最小值: (1)确定a的符号,a>0有最小值,a<0有最大值. (2)配方后利用二次函数性质求最值或直接利用公式求解. ❶ 二次函数y=-3x2+12x-5的最大值是(　　) A.7 B.-7 C.17 D.-17 ❷ 定义运算:a⊗b=(a+2b)·(a-b),例如4⊗3=(4+2×3)×(4-3),则函数y=(x+1)⊗2的最小值为(　　) A.-21 B.-9 C.-7 D.-5 ❸ 若二次函数y=-ax2+bx+2的最大值为4,则y=a(x+1)2-b(x+1)-2的最小值为　　　　.  类型二　二次函数自变量特定范围内取最值 求y=ax2+bx+c(a≠0)的最值: 可将解析式化为顶点式,确定对称轴是否在取值范围内,再画出y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象,利用数形结合思想及所给端点离对称轴的距离,再利用二次函数的增减性求最值. ❹ 已知二次函数y=x2-2x-3. (1)若-2≤x≤0,则函数的最大值是　　　　,  最小值是　　　　.  (2)若2≤x≤4,则函数的最大值是　　　　,最小值是　　　　.  (3)若≤x≤,则函数的最大值是　　　　,  最小值是　　　　.  (4)若-≤x≤,则函数的最大值是　　　　,最小值是　　　　.  ❺ 已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-2,5). (1)求b,c的值. (2)当-4≤x≤0时,求y的最大值. 类型三　含“参”二次函数的最值问题 主要分为以下两种情形: (1)轴定区间动 对于二次函数y=ax2+bx+c(a>0,a,b,c是定值)在m≤x≤n(m和n均为参数)上的最值问题: ①当区间在对称轴左侧(右侧)时,离对称轴越近的点,函数值越小; ②当区间包含对称轴时,在对称轴处取得最小值,比较区间两端点离对称轴的距离,离对称轴越远的点,函数值越大. (2)轴动区间定 若m≤x≤n(m,n均为定值),求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的二次项系数或一次项系数含参时的最值,比较函数图象对称轴与所给x的取值范围的大小,进行分类讨论,方法同上. ❻ 已知关于x的二次函数y=x2+2x+2. (1)当-1≤x≤t时,y有最大值4,则t的值为　　　　.  (2)当t≤x≤t+1时,y有最小值,则t的值为　　　　　　　.  ❼ 已知抛物线y=x2+ax+a+1经过点A(-2,3). (1)求a的值. (2)已知点P(m,yP),Q(m-4,yQ)均在该抛物线上. ①若m=0,请直接比较yP与yQ的大小关系; ②当-3≤x≤m时,函数y的最大值是6,最小值是2,求m的取值范围. 类型四　建立二次函数关系式求最值 建立二次函数关系式求最值: 设出自变量,根据函数解析式可得到动点的坐标或根据勾股定理得到方程,将其转化为顶点式,利用二次函数图象的增减性求解. ❽ (人教九上P57T7变式)九(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,最佳方案是(　　) 方案1　 方案2　 方案3 A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 ❾ 九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究,某小组研究如下:如何设计纸盒?选择“素材1”“素材2”设计了实验活动.请你尝试帮助他们解决相关问题. 利用一边长为40 cm的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒 如图,在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形,将剩余部分折成一个无盖纸盒 (1)初步探究,制作一个底面积为484 cm2无盖纸盒,需要剪掉的小正方形边长为多少? (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和剪掉的小正方形的边长;如果没有,请说明理由. 【详解答案】 1.A　解析:∵y=-3x2+12x-5=-3(x-2)2+7,∴顶点坐标为(2,7),又a=-3<0,∴抛物线开口向下, ∴二次函数y=-3x2+12x-5的最大值是7.故选A. 2.B　解析:由题意,得y=(x+1)⊗2=(x+1+2×2)(x+1-2)=(x+5)·(x-1),即y=x2+4x-5=(x+2)2-9,∴函数y=(x+1)⊗2的最小值为-9.故选B. 3.-4　解析:因为二次函数y=-ax2+bx+2的最大值为4,所以a>0,且抛物线顶点的纵坐标为4.因为二次函数y=ax2-bx-2的图象与二次函数y=-ax2+bx+2的图象关于x轴对称,所以抛物线y=ax2-bx-2顶点的纵坐标为-4,且开口向上,所以二次函数y=ax2-bx-2有最小值-4.将二次函数y=ax2-bx-2的图象向左平移1个单位长度可得函数y=a(x+1)2-b(x+1)-2的图象,所以函数y=a(x+1)2-b(x+1)-2的最小值为-4. 4.(1)5　-3　(2)5　-3　(3)-　-4 (4)-　-4 解析:二次函数y=x2-2x-3的对称轴为直线x=-=1. (1)若-2≤x≤0,y随x的增大而减小,当x=-2时,y=5;当x=0时,y=-3,即函数的最大值是5,最小值是-3. (2)若2≤x≤4,y随x的增大而增大,当x=2时,y=-3;当x=4时,y=5, 即函数的最大值是5,最小值是-3. (3)若≤x≤,当x=1时,函数y有最小值-4,当x=时,y有最大值-,即函数的最大值是-,最小值是-4. (4)若-≤x≤,当x=1时,函数y有最小值-4,当x=-时,y有最大值-,即函数的最大值是-,最小值是-4. 5.解:(1)∵函数的图象经过点(0,-3),(-2,5),将数据代入解析式可得 (2)由(1)得函数解析式为y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6, ∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=-3,且当x=-3时,y的值最大,最大值为6, ∵-4≤x≤0, ∴当x=-3时,y的值最大,最大值为6. 6.(1)-1+　(2)-2-或-1+ 解析:∵y=x2+2x+2=(x+1)2+1,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,1). (1)∵当-1≤x≤t时,y有最大值4, ∴x=t(t>-1)时,y=(x+1)2+1有最大值4,∴4=(t+1)2+1,解得t=-1-(舍去)或t=-1+. (2)若t+1<-1,即t<-2,当x=t+1时,y=(x+1)2+1有最小值,则=(t+2)2+1,解得t=-2+(舍去)或t=-2-.若t>-1,当x=t时,y=(x+1)2+1有最小值,则=(t+1)2+1, 解得t=-1+或t=-1-(舍去). 7.解:(1)将点(-2,3)代入y=x2+ax+a+1中,得3=4-2a+a+1, 解得a=2. (2)①yP与yQ的大小关系为yP<yQ. ②∵a=2, ∴抛物线的解析式为y=x2+2x+3, 画出y=x2+2x+3的图象如图. y=x2+2x+3=(x+1)2+2.当x2+2x+3=6时,x1=-3,x2=1. 根据图象和题意可得m的取值范围是-1≤m≤1. 8.C　解析:方案1:如图1,设AD=x米,则AB=(8-2x)米,∴菜园面积S=x(8-2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8,当x=2时,菜园面积最大,为8平方米. 方案2:如图2,过点B作BH⊥AC于点H,则BH≤BA=4米,∵S△ABC=·AC·BH,∴当BH=BA=4米,即∠A=90°时,△ABC的面积最大,为×4×4=8(平方米). 方案3:半圆的半径为米,∴此时菜园的面积为(平方米)>8平方米.故选C. 9.解:(1)设剪掉的小正方形的边长为x cm,则折成的无盖纸盒的底面是边长为(40-2x)cm的正方形, ∴(40-2x)2=484. ∴x1=9,x2=31(不符合题意,舍去). 答:剪掉的小正方形的边长为9 cm. (2)折成的无盖纸盒的侧面积有最大值,设剪掉的小正方形的边长为a cm,折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2, ∴S=4(40-2a)a=-8a2+160a=-8(a-10)2+800, ∵-8<0, ∴当a=10时,S取得最大值,最大值为800. 答:折成的无盖纸盒的侧面积有最大值,最大值为800 cm2,此时剪掉的小正方形的边长为10 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲　二次函数的解析式 考点一　二次函数解析式的确定 ❶ 待定系数法 (1)三种解析式的适用条件 已知条件 选用解析式的形式 形式 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值 一般选用顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是抛物线的顶点坐标 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标 一般选用交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标 (2)用待定系数法求二次函数解析式的步骤 ①设出合适的二次函数解析式; ②根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组); ③解方程(组),求出待定系数的值,从而写出二次函数解析式. ❷ 根据图象变换求函数解析式的方法 (1)将已知解析式化为顶点式. (2)根据下表求出变化后的a,h,k. y=a(x-h)2+k a 顶点(h,k) 平移变换 左右或上下平移 不变 变 轴对称 变换 x轴 相反数 (h,-k) y轴 不变 (-h,k) 旋转 变换 绕顶点(180°) 相反数 (h,k) 绕原点(180°) 相反数 (-h,-k) (3)将变化后的a,h,k代入顶点式中即可得到变化后的函数解析式. 1.求下列二次函数的解析式: (1)把抛物线y=x2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的解析式为　　　　　　　.  (2)已知二次函数的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,-3),则这个二次函数的解析式为　　　　　　　　.  (3)顶点是点M(-2,1),且图象经过原点的二次函数的解析式是　　　　　　　　　.  (4)已知抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与y轴交于点C,若OC=2,则这条抛物线的解析式是　　　　　　　　　　　　　　　　.  (5)一条抛物线的顶点坐标为(2,1),且开口向下,则该二次函数的解析式可以为　　　　　　　　　.  考点二　二次函数与图象变换 ❶ 二次函数图象的平移 方法1:直接平移 (1)把y=ax2+bx+c沿y轴向上(或下)平移m(m>0)个单位得到y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m). (2)把y=ax2+bx+c沿x轴向左(或右)平移m(m>0)个单位得到y=a(x+m)2+b(x+m)+c[或y=a(x-m)2+ b(x-m)+c]. 方法2:将二次函数解析式化为顶点式,即y=a(x-h)2+k的形式后,按以下规律写出解析式: 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律 y=a(x-h)2+k 向左平移m(m>0)个单位 y=a(x-h+m)2+k 给x左加右减 向右平移m(m>0)个单位 y=a(x-h-m)2+k y=a(x-h)2+k 向上平移n(n>0)个单位 y=a(x-h)2+k+n 给等号右边整体上加下减 向下平移n(n>0)个单位 y=a(x-h)2+k-n 口诀:左加右减自变量,上加下减常数项. ❷ 二次函数图象的旋转与对称 (1)绕原点旋转180°:用(-x)和(-y)分别替换x和y. (2)轴对称 2.(1)把抛物线y=2(x+3)2-1先向右平移1个单位,再向下平移3个单位后得到的新抛物线的解析式为　　　　　　.  (2)将抛物线y=x2-6x+1向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线的顶点坐标是　　　　.  (3)将函数y=x2-4x+1的图象沿y轴翻折所得到的图象对应的函数解析式是　　　　　　.  (4)抛物线C1:y=x2-3x+2和抛物线C2关于x轴对称,则抛物线C2的解析式是　　　　　　.  (5)将二次函数y=-2(x-1)2+4的图象绕原点O旋转180°,所得到的图象对应的函数解析式是　　　　　　　　.  已知抛物线C是由抛物线y=2x2+1向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到的. (1)抛物线C的解析式为　　　　　　　　　　.  (2)保持抛物线C的位置不动,将坐标轴先向下平移1个单位,再向右平移2个单位,则此时抛物线C的解析式变为　　　　　　　　.  (3)抛物线C关于x轴对称的抛物线的解析式为　　　　　　　　.  (4)抛物线C关于y轴对称的抛物线的解析式为　　　　　　　　.  (5)抛物线C关于原点成中心对称的抛物线的解析式为　　　　　　　　.  (6)将抛物线C在x轴下方的部分沿x轴翻折,与抛物线C在x轴上方的部分组成的图象记为W,则: ①直线y=0与图象W有　　　　个交点;  ②当直线y=d与图象W有3个交点时,d的值为　　　　;  ③当直线y=d与图象W有4个交点时,d的取值范围为　　　　;  ④当直线y=d与图象W有2个交点时,d的取值范围为　　　　.  (1)由平移规律可知:左右变自变量,上下变常数项,从而求出抛物线解析式. (2)坐标轴的移动,可以看作抛物线的反向移动,从而求出抛物线解析式. (3)(4)(5)由二次函数图象的旋转与对称规律可知:绕原点旋转180°:用(-x)和(-y)分别替换x和y;轴对称 从而求出抛物线解析式. (6)利用数形结合找出直线y=d与图象W的不同交点时的d值或取值范围. 命题点一　二次函数解析式的确定 ❶ (2025·福建)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(1,t),B(2,t). (1)求的值. (2)已知二次函数y=ax2+bx-2的最大值为1-a2. ①求该二次函数的表达式; ②若M(x1,m),N(x2,m)为该二次函数图象上的不同两点,且m≠0,求证:. 命题点二　二次函数与图象变换 ❷ (2022·河北)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧. (1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值. (2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为点P',C'.平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9,求点P'移动的最短路程. ❸ (2024·河北)如图,抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q.抛物线C2:y=-(x-t)2+t2-2(其中t为常数,且t>2),顶点为P. (1)直接写出a的值和点Q的坐标. (2)嘉嘉说:无论t为何值,将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上. 淇淇说:无论t为何值,C2总经过一个定点. 请选择其中一人的说法进行说理. (3)当t=4时, ①求直线PQ的解析式; ②作直线l∥PQ,当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时,求l与x轴交点的横坐标. (4)设C1与C2的交点A,B的横坐标分别为xA,xB,且xA<xB.点M在C1上,横坐标为m(2≤m≤xB).点N在C2上,横坐标为n(xA≤n≤t).若点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,直接用含t和m的式子表示n. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 即时练 1.(1)y=(x+2)2-3 (2)y=x2-2x-3 (3)y=-(x+2)2+1 (4)y=-x2+x+2或y=x2-x-2 (5)y=-3(x-2)2+1(答案不唯一) 2.(1)y=2(x+2)2-4　解析:把抛物线y=2(x+3)2-1先向右平移1个单位,再向下平移3个单位后得到的新抛物线的解析式为y=2(x+3-1)2-1-3,即y=2(x+2)2-4. (2)(1,-5)　解析:由题知,y=x2-6x+1=(x-3)2-8,则将该抛物线向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线的解析式为y=(x-3+2)2-8+3=(x-1)2-5,则所得抛物线的顶点坐标为(1,-5). (3)y=x2+4x+1　解析:将二次函数y=x2-4x+1的图象沿着y轴翻折,所得到的图象对应的函数解析式是y=(-x)2- 4·(-x)+1,即y=x2+4x+1. (4)y=-x2+3x-2　解析:根据函数的对称性,C2的解析式为-y=x2-3x+2,即y=-x2+3x-2. (5)y=2(x+1)2-4　解析:二次函数y=-2(x-1)2+4图象的顶点坐标为(1,4),因为二次函数y=-2(x-1)2+4的图象绕原点旋转180°后得到的抛物线顶点坐标为(-1,-4),所以旋转后的抛物线解析式为y=2(x+1)2-4. 重点难点·一题串讲 例:(1)y=2(x+1)2-3　解析:由平移规律可知,抛物线y=2x2+1向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到的抛物线的解析式为y=2(x+1)2-3. (2)y=2(x+3)2-2　解析:抛物线C的顶点坐标为(-1,-3),若抛物线的坐标轴向下平移1个单位,向右平移2个单位,平移后抛物线的顶点坐标为(-3,-2),∴抛物线C的解析式变为y=2(x+3)2-2. (3)y=-2(x+1)2+3　解析:抛物线C关于x轴对称的抛物线的解析式为-y=2(x+1)2-3,即y=-2(x+1)2+3. (4)y=2(x-1)2-3　解析:抛物线C关于y轴对称的抛物线的解析式为y=2(-x+1)2-3,即y=2(x-1)2-3. (5)y=-2(x-1)2+3　解析:抛物线C关于原点成中心对称的抛物线的解析式为-y=2(-x+1)2-3,即y=-2(x-1)2+3. (6)①2　②3　③0<d<3　④d>3或d=0　解析:图象W如图所示: 由图象可知: ①直线y=0与图象W有2个交点. ②当直线y=d与图象W有3个交点时,即过抛物线的顶点,∴d=3. ③当直线y=d与图象W有4个交点时,0<d<3. ④当直线y=d与图象W有2个交点时,d>3或d=0. 河北中考·考向体验 1.解:(1)二次函数y=ax2+bx-2的图象的对称轴为直线x=-, ∵点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上, ∴2-=--1, ∴-,∴=-3. (2)①由(1)可得b=-3a, ∴该函数的表达式为y=ax2-3ax-2, ∴函数图象的顶点坐标为,-a-2, ∵函数的最大值为1-a2, ∴a<0,且-a-2=1-a2, 解得a=-1或a=4(舍去), ∴该二次函数的表达式为y=-x2+3x-2. ②证明:∵点M(x1,m)在函数y=-x2+3x-2的图象上, ∴m=-+3x1-2, 由①知,点M(x1,m),N(x2,m)关于直线x=对称,不妨设x1<x2, 则x2--x1,即x1+x2=3, ∴ = = = = = =0, ∴. 2.解:(1)∵抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,∴抛物线C的顶点为Q(6,4),对称轴为直线x=6,y的最大值为4.将点P(a,3)代入抛物线C,得3=-(a-6)2+4. ∴a=5或a=7.∵点P在对称轴的右侧,∴a>6.∴a=7. (2)∵平移后得到的抛物线的解析式为y=-x2+6x-9=-(x-3)2, ∴平移后抛物线的顶点坐标为Q'(3,0).∵平移前抛物线的顶点坐标为Q(6,4),∴点P'移动的最短路程为QQ'==5. 3.解:(1)a=,Q(2,-2). 解析:∵抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q, ∴16a-8=0,解得a=, ∴抛物线C1的解析式为y=x2-2x=(x-2)2-2,∴Q(2,-2). (2)选择嘉嘉的说法说理如下: 把Q(2,-2)向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为(0,-2), 当x=0时, C2:y=-(x-t)2+t2-2=-t2+t2-2=-2, ∴点(0,-2)在C2上, ∴嘉嘉的说法正确. 选择淇淇的说法说理如下: C2:y=-(x-t)2+t2-2=-x2+tx-2, 当x=0时,y=-2, ∴C2:y=-(x-t)2+t2-2过定点(0,-2),∴淇淇的说法正确. (答案不唯一,任选其一即可) (3)①当t=4时, C2:y=-(x-t)2+t2-2= -(x-4)2+6, ∴顶点P(4,6). 而Q(2,-2), 设直线PQ的解析式为y=ex+f, ∴解得 ∴直线PQ的解析式为y=4x-10. ②如图1,当C2:y=-(x-4)2+6=-6时(等于6两直线重合,不符合题意),x=4±2, ∴交点J(4-2,-6),交点K(4+2,-6), 由直线l∥PQ,设直线l的解析式为y=4x+b, 当直线l过点J(4-2,-6)时, 4(4-2)+b=-6, 解得b=8-22, ∴直线l的解析式为y=4x+8-22. 当y=4x+8-22=0时,x=-2,此时直线l与x轴交点的横坐标为-2. 同理当直线l过点K(4+2,-6)时, 直线l的解析式为y=4x-8-22, 当y=4x-8-22=0时,x=+2,此时直线l与x轴交点的横坐标为+2. 综上所述,l与x轴交点的横坐标为-2或+2. (4)n=2+t-m. 解析:∵C1:y=(x-2)2-2, C2:y=-(x-t)2+t2-2, ∴C2是由C1通过旋转180°,再平移得到的,两个函数图象的形状相同, 如图2,连接AB交PQ于点L,连接AQ,BQ,AP,BP, 易知四边形APBQ是平行四边形. 若点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,则M与B重合,N与A重合, ∵Q(2,-2),Pt,t2-2, ∴L的横坐标为,∵Mm,m2-2m,Nn,-(n-t)2+t2-2, ∴L的横坐标为, ∴,解得n=2+t-m. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项4　一次函数性质综合应用 ❶ 已知关于x的一次函数y=mx+4m-2. (1)若这个函数的图象经过原点,求m的值. (2)若将(1)中的函数图象向上平移2个单位,求平移后的函数解析式. (3)不论m取何实数,这个函数的图象都过定点,试求这个定点的坐标. ❷ 如图,直线l1经过A(-1,0),B(0,1)两点,已知D(4,1),点P是线段BD上一动点(可与点B,D重合);直线l2:y=kx+2-2k(k为常数)经过点P,交l1于点C. (1)求直线l1的函数解析式. (2)当k=-时,求点C的坐标. (3)在点P的移动过程中,直接写出k的取值范围. ❸ 如图,直线y=-x+6与直线y=x交于点A,与x轴、y轴分别交于点B,C. (1)求出点A,B,C的坐标. (2)若D是线段OA上的点,且△COD的面积为12,求直线CD的表达式. ❹ 如图,矩形OABC的顶点A,C分别在y,x轴的正半轴上,点B的坐标为(6,8),一次函数y=-mx+6的图象与边OA,BC分别交于点D,E,并且满足AD=CE,点P是线段DE上的一个动点. (1)求一次函数的表达式. (2)连接OP,若OP把四边形ODEC面积分成3∶5两部分,求点P的坐标. 【详解答案】 1.解:(1)∵这个函数的图象经过原点(0,0), ∴把(0,0)代入解析式得0=0+4m-2. 解得m=. (2)由(1)得出一次函数的解析式为y=x, ∵函数图象向上平移2个单位, ∴平移后的函数解析式为y=x+2. (3)一次函数y=mx+4m-2变形为m(x+4)=y+2, ∵不论m取何实数,这个函数的图象都过定点, ∴x+4=0,y+2=0, 解得x=-4,y=-2, ∴不论m取何实数,这个函数的图象都过定点(-4,-2). 2.解:(1)设直线l1的函数解析式为y=ax+b, ∵直线l1经过A(-1,0),B(0,1)两点, ∴解得 ∴直线l1的函数解析式为y=x+1. (2)当k=-时,直线l2:y=kx+2-2k=-x+5, 联立解得 ∴点C的坐标为. (3)k的取值范围是k≤-或k≥且k≠1. 解析:∵y=kx+2-2k=k(x-2)+2, ∴直线l2过点(2,2), ∵点P是线段BD上一动点,∴k≠0, ∵两条直线相交,∴k≠1, 把B(0,1)代入y=kx+2-2k得,2-2k=1,解得k=; 把D(4,1)代入y=kx+2-2k得,4k+2-2k=1,解得k=-, ∴k的取值范围是k≤-或k≥且k≠1. 3.解:(1)联立两直线表达式得 解得 所以A(6,3), 当y=0时,代入直线y=-x+6,得0=-x+6,解得x=12,即B(12,0); 当x=0时,y=-x+6=6,即C(0,6). (2)设D, 因为S△COD=12且C(0,6),所以×6x=12, 所以x=4,所以D(4,2), 设直线CD的表达式为y=kx+b, 把C(0,6),D(4,2)代入得 所以所以y=-x+6. 所以直线CD的表达式为y=-x+6. 4.解:(1)对于y=-mx+6,令x=0,得y=6, 则D的坐标是(0,6),OD=6, ∵点B的坐标为(6,8), ∴OC=6,OA=BC=8, ∴AD=8-6=2. ∵AD=CE, ∴CE=2,则E的坐标是(6,2), 把点E的坐标代入y=-mx+6,得 2=-6m+6,解得m=, ∴一次函数的表达式为y=-x+6. (2)设P. S四边形ODEC=(OD+CE)·OC=×(6+2)×6=24, 当S△OPD∶S四边形OCEP=3∶5时, 则S△OPD=×24=9, ∴×6m=9,∴m=3, ∴-m+6=-2+6=4, ∴P(3,4); 当S△OPD∶S四边形OCEP=5∶3时, 则S△OPD=×24=15, ∴×6m=15,∴m=5, ∴-m+6=-+6=, ∴P. 综上可知,点P的坐标为(3,4)或5,. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项6　二次函数的交点问题 ❶ 已知抛物线y=x2-mx+m-2. (1)求证:不论m为何值,此抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)若该抛物线与x轴两交点为(x1,0)和(x2,0),且x1+x2=2x1x2,求m的值. ❷ 已知抛物线y=(x+m)2-(x+m),其中m是常数,该抛物线的对称轴为直线x=. (1)求该抛物线的解析式. (2)把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点? ❸ (1)已知B(3,3),C(0,3).抛物线y=x2-2x+a+2与线段BC至少有一个交点,试求a的取值范围. (2)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+2x-1(a≠0)与线段AB,点A,B的坐标分别是(-3,-3),(1,-1).若抛物线与线段AB有两个不同的交点,试求a的取值范围. ❹ 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a≠0). (1)求抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标. (2)已知点B(3,4),将点B向左平移3个单位长度,得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围. 【详解答案】 1.解:(1)证明:令y=x2-mx+m-2=0, Δ=(-m)2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4, ∵(m-2)2≥0, ∴Δ=(m-2)2+4>0, ∴x2-mx+m-2=0有两个不相等的实数根, ∴不论m为何值,此抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)∵该抛物线与x轴两交点为(x1,0)和(x2,0), ∴x1,x2是一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个根, ∴x1+x2=-=m,x1x2=m-2, ∵x1+x2=2x1x2, ∴m=2(m-2),解得m=4. 2.解:(1)y=(x+m)2-(x+m)=x2+(2m-1)x+m2-m, ∵该抛物线的对称轴为直线x=, ∴x=-=-, 解得m=-1. ∴该抛物线的解析式为y=(x-1)2-(x-1)=x2-3x+2, 即y=x2-3x+2. (2)设该抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线的解析式为y=x2-3x+2+k, ∵它与x轴只有一个公共点,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4(2+k)=0,解得k=, ∴将抛物线沿y轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点. 3.解:(1)根据题意可知,抛物线y=x2-2x+a+2的对称轴为直线x=1,则 当x=3时,y≥3, 即9-6+a+2≥3,解得a≥-2, 当x=1时,y≤3, 即1-2+a+2≤3,解得a≤2. 综上,抛物线y=x2-2x+a+2与线段BC至少有一个交点,则a的取值范围是-2≤a≤2. (2)设直线AB的解析式为y=kx+b. 将点A(-3,-3),B(1,-1)代入y=kx+b,得 解得 ∴直线AB的解析式为y=x-, 抛物线与直线AB有两个不同的交点,即方程ax2+2x-1=x-有两个不相等的实数根, 化简得2ax2+3x+1=0, ∴Δ=9-8a>0, 解得a<, ①当0<a<时,如图, 抛物线过定点(0,-1), 当抛物线经过点A(-3,-3)时, 代入点A的坐标得-3=9a-6-1, 解得a=, 故a的取值范围为≤a<. ②当a<0时,如图,抛物线过定点(0,-1),当抛物线经过点B(1,-1)时,代入点B的坐标得-1=a+2-1,解得a=-2, 故a的取值范围为a≤-2. 综上所述,抛物线与线段AB有两个不同的交点,a的取值范围为≤a<或a≤-2. 4.解:(1)∵抛物线y=ax2-2ax-3a, ∴x=-=1, ∴抛物线的对称轴是直线x=1, 令x=0,得y=-3a, ∴抛物线与y轴的交点坐标为E(0,-3a). (2)y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3), ∴抛物线与x轴交于点A(-1,0),D(3,0),与y轴交于点E(0,-3a),顶点坐标是(1,-4a). 由题意得点C(0,4),又B(3,4), ①当a>0时,如图1,显然抛物线与线段BC无公共点. ②当a<0时,若抛物线的顶点在线段BC上,如图2. 则顶点坐标为(1,4), ∴-4a=4,∴a=-1. ③当a<0时,若抛物线的顶点不在线段BC上,如图3,由抛物线与线段BC恰有一个公共点, 得-3a>4,∴a<-. 综上,a的取值范围是a<-或a=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项8　函数中的代数推理 ❶ 不论m取何值,点P(2m-1,-m+6)都在某一条直线上,则这条直线的解析式为　　　　　.  ❷ 阅读与思考:在一次数学探究活动中,某学习小组成员通过测量计算等方式,在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点,(1,3),(2,2),(4,0),(-1,5),…这些点总是满足某种数学规律. 【规律探究】(1)若平面直角坐标系中的点M(x,y)满足上述规律,请直接写出x与y之间的关系:　　　　.  【感知定义】(2)该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”.请判断A(3,1),B(6,2),C(-4,4)中,点 　　　　是“邂逅点”(填“A”“B”或“C”).  【综合应用】(3)运用“邂逅点”的定义,解决下列问题: ①若点P(-2,b)是反比例函数y=图象上的“邂逅点”,求k的值; ②已知y=ax2-x+5(a<0)的图象上有两个“邂逅点”,求证:这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数. ❸ 在平面直角坐标系中,有直线l:y=m(x+4)-2(m≠0,m为常数)和抛物线G:y=a(x+5)(x-1)(a≠0,a为常数). (1)直线l经过的定点坐标为　　　　.  (2)若无论m取何值时,直线l与抛物线G总有公共点,求a的取值范围. ❹ 已知抛物线y=-(x-a)2+a2-1(a为常数). (1)当-1<x<2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围为　　　　.  (2)嘉嘉发现,在同一平面直角坐标系中,无论a为何值,该抛物线的顶点始终在一条抛物线C上,求抛物线C的函数解析式. 【详解答案】 1.y=-x+　解析:∵P(2m-1,-m+6),∴设x=2m-1,y=-m+6,由x=2m-1得m=,∴y=-+6=-x+,即不论m取何值,点P(2m-1,-m+6)都在直线y=-x+上. 2.解:(1)x+y=4　(2)A (3)①∵P(-2,b)是“邂逅点”, ∴-2+b=4.∴b=6, 将P(-2,6)代入y=中,得k=-2×6=-12, 即k的值为-12. ②证明:由题意知,“邂逅点”所在直线为y=-x+4, 设两个“邂逅点”的横坐标分别为x1,x2, 联立得ax2+1=0, ∴x1+x2=-=0, ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数. 3.解:(1)(-4,-2) (2)如图,∵抛物线G:y=a(x+5)(x-1)与x轴的交点为(-5,0),(1,0),当a<0时,无论m为何值,直线l和抛物线G总有公共点, ∴a<0满足题意; 当a>0时,∵无论m为何值,直线l和抛物线G总有公共点,∴当x=-4时,a(x+5)(x-1)≤-2,即-5a≤-2,解得a≥, ∴a≥满足题意. 综上,当a<0或a≥时,直线l与抛物线G总有公共点. 4.解:(1)a≥2 (2)∵抛物线y=-(x-a)2+a2-1,∴顶点坐标为(a,a2-1),∴ ∴抛物线C的函数解析式为y=x2-1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲　二次函数的图象与性质 考点一　二次函数的定义 　　一般地,形如①　　　　　　(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数,其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.  1.已知函数y=(m+3)-2x+1(m为常数),当m=　　　　时,y是x的二次函数.  考点二　二次函数的图象与性质 ❶ 根据二次函数解析式判断函数性质 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向②　　　  开口向③　　　  对称轴 直线x=④　　　  顶点坐标 ⑤　　　　　　　  最值 抛物线有最低点,当x=⑥　　　　时,y有最小值,最小值为⑦　　　　  抛物线有最高点,当x=⑧　　　　时,y有最大值,最大值为⑨　　　　  增 减 性 在对称 轴左侧 当x<⑩　　　　时,y随x的增大而　　　　  当x<　　　　时,y随x的增大而　　　　  在对称 轴右侧 当x>　　　　时,y随x的增大而　　　　  当x>　　　　时,y随x的增大而　　　　  ❷ 二次函数图象与系数a,b,c的关系 a 决定开 口方向 的大小 a>0⇔开口　　　　;  a<0⇔开口　　　　;  |a|越大,抛物线开口越小; |a|越小,抛物线开口越大 a,b 决定对称 轴的位置 b=0⇔对称轴为y轴; a,b同号⇔对称轴在y轴的　　　　;  a,b异号⇔对称轴在y轴的　　　　.  简记:左同右异 c 决定与y轴 的交点位置 c=0⇔抛物线过原点; c>0⇔抛物线与y轴交于　　　　半轴;  c<0⇔抛物线与y轴交于　　　　半轴  b2-4ac 决定与x轴 的交点个数 b2-4ac=0⇔与x轴有唯一交点(顶点); b2-4ac>0⇔与x轴有　　　　交点;  b2-4ac<0⇔与x轴没有交点 二次函数图象与特殊代数式之间的关系 (1)如遇见2a+b,2a-b类的式子,可利用对称轴与±1比较进行判断. (2)如遇见a+b+c,a-b+c类的式子,可利用x=±1时求出y值的大小关系进行判断. (3)如遇见只有a,c或b,c关系的式子,可利用对称轴的大小关系与x取某个特殊值时y的式子联立进行判断,如2a+c,b+c等. (4)如遇见含有系数平方形式的式子,如(a+c)2<b2,先因式分解,再利用x取某两个特殊值时y的式子联立进行判断,如(a+c)2<b2,转化为(a+c-b)(a+c+b)<0的形式. 2.(冀教九下P38习题A组T2变式)已知二次函数y=x2-2x-3 ,回答下列问题: (1)该二次函数的图象开口向　　　　,对称轴为直线　　　　;函数有最　　　　(填“大”或“小”)值,其值为　　　　.  (2)该二次函数图象与x轴的交点坐标为　　　　　,与y轴的交点坐标为　　　　.  (3)当-1≤x≤2 时,y的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  (4)若点(-,y1),(,y2),(2,y3)在该函数图象上,则y1,y2,y3的大小关系为　　　　(用“>”连接).  3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为(-1,0).分析判断下列结论,用“>”“<”或“=”填空. (1)a　　　　0,b　　　　0,c　　　　0,abc　　　　0.  (2)b2-4ac　　　　0.  (3)2a+b　　　　0.  (4)a-b+c　　　　0.  (5)4a+2b+c　　　　0.  (6)9a+3b+c　　　　0.  (7)2c-a　　　　0.  (8)3a+c　　　　0.  (9)8a+c　　　　0.  考点三　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函 数与一 元二次 方程 二次函数y=ax2+bx+c的图象与　　　　轴的交点的　　　　坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根  当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个不同的交点,方程ax2+bx+c=0有两个　　　　的实数根  当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个　　　　的实数根  当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实数根 二次函 数与不 等式 不等式ax2+bx+c>0的解集⇔二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围 不等式ax2+bx+c<0的解集⇔二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围 4.如图是函数y=x2+x-6的图象,利用图象回答下列问题: (1)方程x2+x-6=0的解是　　　　　　.  (2)不等式x2+x-6>0的解集是　　　　.  (3)不等式x2+x-6<0的解集是　　　　.  (2025·河南)在二次函数y=ax2+bx-2中,x与y的几组对应值如下表所示. x … -2 0 1 … y … -2 -2 1 … (1)求二次函数的表达式. (2)求二次函数图象的顶点坐标,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象. (3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后,当0≤x≤3时,若图象对应的函数最大值与最小值的差为5,请直接写出n的值. (1)利用待定系数法把表格的数据(-2,-2)和(1,1)代入y=ax2+bx-2,解方程组得a,b值即可. (2)依据题意,(1)中求出的二次函数的表达式,可配方成顶点式求出顶点坐标,也可以利用顶点公式求出顶点坐标,进而可以作图得解. (3)根据二次函数图象左右平移时x左加右减改写顶点式,得到对称轴,分三种情况分别讨论而得解. 命题点一　二次函数的图象与性质 ❶ (2025·威海)已知点(-2,y1),(3,y2),(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(　　) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 ❷ (2025·陕西)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是(　　) A.图象的开口向下 B.当x>0时,y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时,y<0 ❸ (2020·河北)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲:若b=5,则点 P的个数为0;乙:若b=4,则点 P的个数为1;丙:若 b=3,则点 P的个数为1.下列判断正确的是(　　) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错 C.乙对,丙错 D.甲错,丙对 ❹ (2023·河北)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为(　　) A.2 B.m2 C.4 D.2m2 命题点二　 ❺ (2025·安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则(　　) A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 ❻ (2025·广安)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象交x轴于A,B两点,点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(n,0),有下列结论:①abc<0;②4a+c>2b;③关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=n;④-.其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 命题点三　 ❼ (2018·河北)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则(　　) A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 ❽ (2025·河北样卷)如图,正方形ABCD的顶点坐标分别为A(-2,4),B(-2,-1),C(3,-1).抛物线经过点D,顶点坐标为(1,0),将此抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图象G.若直线y=kx-2k+2(k≠0)与图象G有唯一交点,则k的取值范围是(　　) A.k>2或k<- B.-<k<0或0<k<2 C.k>1或k<-3 D.k>1或k<-3或k=-2 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①y=ax2+bx+c　②上　③下　④- ⑤　⑥- ⑦　⑧-　⑨ ⑩-　减小　-　增大 -　增大　-　减小 向上　向下　左侧　右侧 正　负　两个　x　横　不相等　相等 即时练 1.3　解析:由题意得,m2-7=2且m+3≠0,解得m=3,∴当m=3时y是x的二次函数. 2.(1)上　x=1　小　-4 (2)(-1,0),(3,0)　(0,-3) (3)0　-4　(4)y1>y3>y2　 3.(1)<　>　>　<　(2)>　(3)= (4)=　(5)>　(6)=　(7)> (8)=　(9)< 解析:(1)由题图可知,抛物线开口向下,a<0,与y轴交于正半轴,c>0, ∵-=1>0,∴b>0,∴abc<0. (2)∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0. (3)∵-=1,∴2a+b=0. (4)当x=-1时,y=0,∴a-b+c=0. (5)当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0. (6)当x=3时,y=0, ∴9a+3b+c=0. (7)∵a+b+c>0,b=-2a, ∴a-2a+c>0,即c-a>0, ∵c>0,∴2c-a>0. (8)∵a-b+c=0,b=-2a, ∴3a+c=0. (9)当x=-2时,4a-2b+c<0, ∵b=-2a,∴4a+4a+c<0,即8a+c<0. 4.(1)x1=-3,x2=2 (2)x<-3或x>2 (3)-3<x<2 重点难点·一题串讲 例:解:(1)把(-2,-2)和(1,1)代入y=ax2+bx-2,得 解得 ∴二次函数的表达式为y=x2+2x-2. (2)将y=x2+2x-2配方,得y=(x+1)2-3. ∴二次函数图象的顶点坐标为(-1,-3). 作图如下. (3)n的值为1+或4-. 解析:∵二次函数的图象向右平移n个单位长度, ∴新函数的表达式为y=(x+1-n)2-3. ∴此时函数图象开口向上,对称轴是直线x=n-1. ①当3≤n-1,即n≥4时, 由二次函数的性质知,当x=0时,y的最大值为(1-n)2-3;当x=3时,y的最小值为(4-n)2-3. 又∵最大值与最小值的差为5, ∴(1-n)2-3-(4-n)2+3=5. ∴n=<4,不合题意. ②当0<n-1<3,即1<n<4时, 由二次函数的性质知,当x=0或x=3时,y的最大值为(1-n)2-3或(4-n)2-3;当x=n-1时,y的最小值为-3. 又∵最大值与最小值的差为5, ∴(1-n)2-3+3=5或(4-n)2-3+3=5. ∴n=1+或n=1-(不合题意,舍去)或n=4+(不合题意,舍去)或n=4-. ③当n-1≤0,即n≤1时, 由二次函数的性质知,当x=0时,y的最小值为(1-n)2-3;当x=3时,y的最大值为(4-n)2-3. 又∵最大值与最小值的差为5, ∴(4-n)2-3-(1-n)2+3=5. ∴n=>1,不合题意. 综上,n=1+或n=4-. 河北中考·考向体验 1.C　解析:∵抛物线y=-(x-2)2+c,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=2,∵三点为(-2,y1),(3,y2),(7,y3),∴与对称轴的距离分别为|-2-2|=4,|3-2|=1,|7-2|=5,∵1<4<5,∴y2>y1>y3.故选C. 2.D　解析:由题意可得方程ax2-2ax+a-3=0的两根异号,∴x1x2=<0,解得0<a<3,∴二次项系数a>0,开口向上,故A不符合题意;∵y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的对称轴为直线x=-=1,∴当x>1时,y的值随x值的增大而增大,故B不符合题意;∵当x=1时,y=-3,∴函数的最小值为-3,故C不符合题意;当x=2时,y=4a-4a+a-3=a-3,∵0<a<3,∴y<0,故D符合题意.故选D. 3.C　解析:y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(2,4),∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4,∴甲、乙的说法正确.若b=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个,∴丙的说法错误.故选C. 4.A　解析:令-x2+m2x=0,解得x=0或x=m2,令x2-m2=0,解得x=-m或x=m.∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,∴m=-2或m=2.∵抛物线y=x2-m2的对称轴为直线x=0,抛物线y=-x2+m2x的对称轴为直线x=,∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2.故选A. 5.C　解析:由题图知a>0,b<0,c<0,故abc>0,故A选项错误;当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故D选项错误;由题图可知抛物线交x轴于点(2,0),另一个交点横坐标在-1和0之间,根据对称性可知对称轴:<-<1,∴b>-2a,即2a+b>0,故B选项错误;由对称轴的范围可知b<-a,即b+a<0,故4b+4a<0①,把点(2,0)代入抛物线中,得4a+2b+c=0,故4a= -2b-c,再代入①式中,可得4b-2b-c<0,即2b-c<0,故C选项正确.故选C. 6.C　解析:由题图可得抛物线的开口向下,交y轴的正半轴,∴a<0,c>0,又∵抛物线的对称轴在y轴右侧,x=->0,∴b>0,∴abc<0,故结论①正确;由题图可得当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0,即4a+c<2b,故结论②错误;∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A,B两点,点A(-1,0),点B(n,0),∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=n,-,故结论③④正确.综上,结论正确的有3个.故选C. 7.D　解析:∵抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,∴①抛物线与直线相切,联立解析式 得x2-2x+2-c=0, Δ=(-2)2-4(2-c)=0,解得c=1; ②抛物线与直线不相切,但在0≤x≤3上只有一个交点,此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5),易得2<c≤5,又∵c为整数,∴c=3,4,5.综上,c=1,3,4,5.故选D. 8.A　解析:设抛物线与正方形边AD的另一个交点为E,如图, 由条件可知D(3,4),设抛物线解析式为y=a(x-1)2,把D(3,4)代入得4=a·(3-1)2,解得a=1,∴抛物线解析式为y=(x-1)2,当y=(x-1)2=4时,解得x1=3,x2=-1,∴E(-1,4),∵直线y=kx-2k+2=k(x-2)+2,∴直线y=kx-2k+2过定点F(2,2),当x=2时,y=(x-1)2=(2-1)2=1<2,∴直线y=kx-2k+2(k≠0)与y=(x-1)2必有两个交点,∵直线y=kx-2k+2(k≠0)与图象G有唯一交点,∴当x=3时,抛物线过D(3,4),y=kx-2k+2>4,即3k-2k+2>4,解得k>2;当x=-1时,抛物线过E(-1,4),y=kx-2k+2>4,即-k-2k+2>4,解得k<-.综上所述,k>2或k<-.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲　二次函数的实际应用 考点　二次函数的实际应用 ❶ 二次函数与实际问题的基本类型 (1)抛物线形问题. (2)几何图形面积问题. (3)利润问题. 注:实际问题中的函数,往往自变量的取值范围受到限制,这时对应的函数图象应是原函数图象的一部分. ❷ 二次函数实际问题求最值 (1)先根据题意列出二次函数解析式. (2)再用配方法把得到的解析式化为顶点式. (3)若二次项系数大于0,则抛物线开口向上,自变量的值离对称轴越近,函数的值越小,在对称轴处,函数取得最小值;若二次项系数小于0,则抛物线开口向下,自变量的值离对称轴越近,函数的值越大,在对称轴处,函数取得最大值. (4)在实际问题中要根据具体情况来确定自变量的取值范围从而确定最值. 某公司经销某种品牌的普洱茶,每千克成本50元,经市场调查发现:每周的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系,部分数据如下表所示. 销售单价x/(元/千克) 56 65 75 销售量y/千克 128 110 90 解答下列问题: (1)y与x的关系式为　　　　　　　　.  (2)当x=　　　　时,周利润W最大,最大值为　　　　元.  类型一　抛物线形问题 体育课上,甲、乙两名学生站在一排,同时、在同一高度处抛出相同品质的铅球,两个铅球的运动路径都可抽象为抛物线的一部分,为研究两个铅球的运动情况,将从侧面看到的两铅球运动情况画在同一直角坐标系中,x轴为地面,出手点A在与地面垂直的y轴上,单位长度为1 m,如图,两个铅球出手时和落地时的位置相同,乙抛出的铅球总在甲抛出的铅球的正上方,甲抛掷的铅球运动路径为抛物线y=ax2+bx+1.6的一部分,铅球落地时,离出手点的水平距离是8 m,铅球运动的水平距离为3 m时达到最大高度,乙抛掷的铅球在距出手点水平距离为3.5 m时达到最大高度. (1)求甲抛掷的铅球运动路径所在抛物线的表达式. (2)若0≤x≤k时,乙铅球高度的最大值与最小值的差总为 m,求k的取值范围. (3)求两个铅球之间距离的最大值,并求此时铅球运动的水平距离. (1)根据题意可得抛物线的表达式为y=ax2+bx+1.6.由-=3可得,b=-6a,将(8,0)代入y=ax2-6ax+1.6即可求解. (2)根据题意可设乙抛掷铅球时,铅球运动路径所在抛物线的表达式为y'=mx2+nx+1.6,代入相应数值求出表达式;再利用二次函数性质即可得到答案. (3)由(1)(2)求出的甲、乙抛掷的铅球运动路径所在抛物线的表达式,设两个铅球某一时刻的高度差为Δh,列式Δh=y'-y,再利用二次函数性质即可得到答案. 类型二　几何图形与利润问题 某小区有一个长为50米,宽为30米的矩形停车场,布局如图所示.阴影部分为停车位,其余部分是等宽的通道(通道与停车场的边平行或垂直),小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆,已知喷漆面积为1 196平方米. (1)求通道的宽是多少米. (2)据调查分析,小区停车场多余50个车位可以对外出租,当每个车位的月租金为200元时,可全部租出;当每个车位的月租金每上涨10元,就会少租出1个车位,求当每个车位的月租金上涨多少元时,对外开放的总月租金收入最高,最高为多少元. (1)设通道的宽是x米,根据题意列出一元二次方程,解方程即可求解. (2)设每个车位的月租金上涨m元,对外开放的总月租金收入为y元,根据题意列出二次函数表达式,根据二次函数的性质即可求解. 命题点一　抛物线形问题 ❶ (2023·河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏,某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题. 如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长,嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点 B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分. (1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值. (2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值. ❷ (2025·河北样卷)如图,斜坡AC上种有若干树木,底部有一喷水管BC,某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处,水流呈抛物线状.建立恰当平面直角坐标系,得到点A(0,2),点B(6,0.5).已知喷水管BC及所有树木都与OC垂直,抛物线的解析式为y=-x2+bx+c. (1)求该抛物线解析式,并写出其顶点坐标. (2)若抛物线恰好过小树MN的树顶N,点M在斜坡AC上,且点A到M,N两点距离相等,求M点坐标. (3)若DE,MN为两棵等高小树(MN在左侧,小树粗细忽略不计,点M,D均在斜坡上且与点C不重合),抛物线恰好经过E,N两点. ①当MN=1.25时,求DM长; ②直接写出M横坐标m的取值范围. 命题点二　几何图形问题 ❸ (2020·河北)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量,实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3. (1)求W与x的函数关系式. (2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄. ①求Q与x的函数关系式; ②x为何值时,Q是W薄的3倍? (注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围) 命题点三　利润问题 ❹ (2025·内江)2025年春讲期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元. (1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元. (2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个? (3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 即时练 　(1)y=-2x+240　(2)85　2 450 解析:(1)设y与x的关系式为y=kx+b(k≠0),把(56,128)和(65,110)分别代入,得解得 ∴y与x的关系式为y=-2x+240. (2)由题意知,W=(x-50)·y =(x-50)(-2x+240) =-2x2+340x-12 000 =-2(x-85)2+2 450, ∴当x=85时,W最大,最大值为2 450元. 重点难点·一题串讲 例1:解:(1)甲抛掷的铅球运动路径为抛物线y=ax2+bx+1.6的一部分, 铅球运动的水平距离为3 m时达到最大高度, ∴-=3,即b=-6a, ∴y=ax2-6ax+1.6.将(8,0)代入表达式得64a-48a+1.6=0, 解得a=-0.1, ∴b=0.6, 故甲抛掷的铅球运动路径所在抛物线的表达式为y=-0.1x2+0.6x+1.6. (2)根据题意可设乙抛掷铅球时,铅球运动路径所在抛物线的表达式为y'=mx2+nx+1.6, 由题意知,该抛物线的对称轴为直线x=3.5,∴n=-7m, ∴y'=mx2-7mx+1.6, ∵铅球落地时,离出手点的水平距离是8 m, 将(8,0)代入y'=mx2-7mx+1.6,得64m-56m+1.6=0, 解得m=-0.2, ∴y'=-0.2x2+1.4x+1.6 =-0.2(x-3.5)2+4.05, ∵-0.2<0,∴当x=3.5时,y'取最大值,最大值为4.05, ∵4.05-1.6=,(0,1.6)的对称点为(7,1.6), ∴当3.5≤k≤7时,乙铅球高度的最大值与最小值的差总为 m. ∴k的取值范围为3.5≤k≤7. (3)设两个铅球某一时刻的高度差为Δh,则Δh=y'-y =-0.2x2+1.4x+1.6-(-0.1x2+0.6x+1.6) =-0.1x2+0.8x =-0.1(x-4)2+1.6, ∵-0.1<0,∴当x=4时,Δh取最大值,最大值为1.6 m. ∴两个铅球之间距离的最大值为1.6 m,此时铅球运动的水平距离为4 m. 例2:解:(1)设通道的宽是x米, 由题意得(50-2x)(30-2x)=1 196, 整理得x2-40x+76=0, 解得x1=2,x2=38(舍去), ∴通道的宽是2米. (2)设每个车位的月租金上涨m元,对外开放的总月租金收入为y元, 由题意得y=(200+m)50-=-m2+30m+10 000=-(m-150)2+12 250,∵-<0, ∴当m=150时,y最大,最大值为12 250. ∴当每个车位的月租金上涨150元时,对外开放的总月租金收入最高,最高为12 250元. 河北中考·考向体验 1.解:(1)∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2, ∴C1的最高点坐标为(3,2). ∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上, ∴1=a×(6-3)2+2,解得a=-. ∴抛物线C1的解析式为y=-(x-3)2+2. 令x=0,则c=-×(0-3)2+2=1. (2)∵c=1,∴抛物线C2的解析式为y=-x2+x+2. 依题意,当x=5时,y=-+2≥1,解得n≥. 当x=7时,y=-+2≤1, 解得n≤.∴≤n≤. ∴n的整数值为4,5. 2.解:(1)由题意可得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2=-(x-2)2+, ∴抛物线的顶点坐标为. (2)∵点B(6,0.5),BC⊥OC,点C在x轴上,∴C(6,0), ∵A(0,2),C(6,0), ∴设直线AC的解析式为y=kx+2,则0=6k+2, 解得k=-, 故直线AC的解析式为y=-x+2, 由题意可得设M(m>0), ∵MA=NA,MN⊥x轴, ∴点A在MN的垂直平分线上,故yM+yN=2yA=4, 解得yN=m+2, ∴N, ∵点N在抛物线上, ∴m+2=-m2+m+2,整理得m(3m-4)=0, 解得m=0(舍去)或m=, 此时-m+2=, ∴M. (3)①令d==-x2+x, 则d表示小树高, ∵MN=DE=1.25,即d=1.25, ∴-x2+x=1.25,整理得3x2-20x+30=0, 解得x1=,x2=, ∵MN在DE左侧,∴xM=, xD=, ∴DM==. ②<m<. 解析:设MN=DE=d0,则d=-x2+x=d0在0<x<6上有两个不相等的实数解,且m为其中较小解, 即直线d=d0与抛物线d=-x2+x在0<x<6上有两个交点, 当x=6时,d=-×62+5=, 令-x2+x=,得x=或x=6(舍去), ∴<m<6, 又d=-x2+x=-x-2+, 对称轴为直线x=, m为直线d=d0与抛物线d=-x2+x两交点中靠左一点的横坐标,故m<. 综上,<m<. 3.解:(1)设W=kx2(k≠0).∵当x=3时,W=3,∴3=9k.解得k=.∴W与x的函数关系式为W=x2. (2)①设薄板的厚度为x厘米,则厚板的厚度为(6-x)厘米.∴Q=W厚-W薄=(6-x)2-x2=-4x+12,即Q与x的函数关系式为Q=-4x+12. ②∵Q是W薄的3倍,∴-4x+12=3×x2.整理,得x2+4x-12=0.解得x1=2,x2=-6(不合题意,舍去).故x为2时,Q是W薄的3倍. 4.解:(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元,B款“哪吒”纪念品每个进价为y元, 由题意得 解得 答:A款“哪吒”纪念品每个进价为40元,B款“哪吒”纪念品每个进价为20元. (2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个, 由题意得,40(400-m)+20m≤12 000, 解得m≥200, ∴m的最小值为200, 答:至少需要购进B款纪念品200个. (3)由题意得,W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20 000-5a2+200a =-5(a-70)2+4 500, ∵-5<0,60≤a≤100, ∴当a=70时,W最大,最大值为4 500元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲　反比例函数及其应用 考点一　反比例函数的图象与性质 ❶ 定义:一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数. 反比例函数图象上点的横、纵坐标之积恒为k,用来判断某个点是否在已知函数图象上或判断两个点是否在同一个函数图象上. ❷ 反比例函数的图象与性质 解析式 y=(k为常数,k≠0) k k①　　　　0  k②　　　　0  图象 所在象限 第③　　　象限  (x,y同号) 第④　　　　象限  (x,y异号) 增减性 在每一个象限内,y随x的增大而⑤　　  在每一个象限内,y随x的增大而⑥　 　  对称性 关于直线y=x,y=-x成轴对称;关于原点成中心对称. 注:因为正比例函数和反比例函数图象都关于原点对称,故在同一直角坐标系中,正比例函数与反比例函数的图象若有交点,则两个交点关于原点对称 反比例函数的图象与坐标轴一定不相交,只能无限的靠近x轴和y轴. 1.(人教九下P6练习T2变式)已知函数y=(m+1)·是反比例函数,且图象在第一、三象限内,则m=　　　　.  2.对于反比例函数y=,以下四个结论:①函数的图象在第一、三象限;②函数的图象经过点(-2,-3);③y随x的增大而减小;④当x>-3时,y<-2.其中所有正确结论的序号是　　　　.  3.如图所示,正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象有一个交点(2,-1),则这两个函数图象的另一个交点坐标是　　　　.  考点二　反比例函数中k的几何意义 ❶ k的几何意义:如图,过双曲线y=(k为常数,k≠0)上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得矩形PMON的面积S=|xy|=⑦　　　　.  ❷ 反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象中有关图形面积的常见类型 S△AOP=⑧　　　　 S△OBP=⑨　　　　 S△ABP=⑩　　　　  S△APP'=　　　　 S△ABC=　　　　 S▱ABCD=　　　　  4.如图,点B是反比例函数y=(k≠0)图象上的一点,过点B分别作BC⊥x轴于点C,BA⊥y轴于点A.若S四边形ABCO=8,则k的值是　　　　.  考点三　反比例函数解析式的确定 ❶ 待定系数法 (1)设所求反比例函数的解析式为y=(k≠0). (2)找出图象上的一点P(a,b)代入y=中. (3)确定反比例函数的解析式y=. ❷ 利用k的几何意义:题中已知面积时,考虑用k的几何意义,由面积得|k|,再结合图象所在象限判断k的正负,从而得出k的值,代入解析式即可. 5.已知y与x成反比例,且其函数图象经过点(-3,-1). 则y与x的函数关系式为　　　　;当y=-4时,x的值为　　　　.  6.已知点A(2,m),B(m-1,1)均在某一反比例函数的图象上,则这个反比例函数的解析式为　　　　.  考点四　反比例函数的实际应用 ❶ 常见的反比例函数关系 (1)行程问题:速度=. (2)工程问题:工作效率=. (3)压强问题:压强=. (4)电学问题:电阻=. ❷ 步骤 (1)根据实际情况建立反比例函数模型. (2)确定函数解析式. (3)根据反比例函数的性质解决实际问题. 注:在实际问题中,求出解析式后要注意自变量和函数值的取值范围. 7.(人教九下P17习题26.2T8变式)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,下列说法中不正确的是(　　) A.函数解析式为I= B.蓄电池的电压是60 V C.当R=6 Ω时,I=8 A D.当I≤10 A时,R≥6 Ω (多维设问)已知反比例函数y=(k为常数,k≠1). (1)若在其图象的每一支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围. (2)若其图象的一支位于第二象限,在这一支上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),当y1>y2时,试比较x1与x2的大小. (3)在其图象上任取一点,向x轴和y轴作垂线,若所得矩形面积为6,求k的值. (4)其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是2,求k的值. (5)其中k>-1,且k≠0,1≤x≤2,若该函数的最大值与最小值的差是1,求k的值. (1)(2)由反比例函数的图象与性质得:在每一个象限内,y随x的增大而减小时比例系数大于0,从而求出k的范围;反比例函数图象在第二、四象限时,在每一个象限内y随x的增大而增大,从而根据题意比较出x1,x2的大小. (3)利用反比例函数的比例系数的几何意义求k. (4)先求出P的坐标,代入反比例函数解析式求出k. (5)分情况讨论:当-1<k<1且k≠0时,由最大值与最小值的差是1求k;当k>1时,由最大值与最小值的差是1求k. 命题点一　反比例函数的图象与性质 ❶ (2025·河北)在反比例函数y=中,若2<y<4,则(　　) A.<x<1 B.1<x<2 C.2<x<4 D.4<x<8 ❷ (2023·河北)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值:　　　　.  ❸ (2025·河北样卷)如图,平面直角坐标系内有两点A(4,0),B(0,4),若反比例函数y=(k≠0)的图象交线段AB于点C,D,且BC=CD,则k=　　　　.  ❹ (2020·河北)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整数),函数y=(x<0)的图象为曲线L. (1)若L过点 T1,则k=　　　　.  (2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m=　　　　.  (3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有　　　　个.  ❺ (2021·河北)用绘图软件绘制双曲线m:y=与动直线l:y=a,且交于一点,图1为a=8时的视窗情形. (1)当a=15时,l与m的交点坐标为　　　　.  (2)视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点O始终在视窗中心. 例如,为在视窗中看到(1)中的交点,可将图1中坐标系的单位长度变为原来的,其可视范围就由-15≤x≤15及-10≤y≤10变成了-30≤x≤30及-20≤y≤20(如图2). 当a=-1.2和a=-1.5时,l与m的交点分别是点A和B,为能看到m在点A和B之间的一整段图象,需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的,则整数k=　　　　.  命题点二　反比例函数中k的几何意义 ❻ (2025·山东七市)如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y=(x>0)的图象经过点B,则满足y≥2的x的取值范围为(　　) A.0<x≤2 B.x≥2 C.0<x≤4 D.x≥4 命题点三　反比例函数解析式的确定 ❼ (2025·河南)小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中,其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上,含45°角的三角板OAC的直角顶点C的 坐标为(2,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过点C. (1)求反比例函数的表达式. (2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°,AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上,求旋转前点D的坐标. 命题点四　反比例函数的实际应用 ❽ (2024·河北)讲能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电,若平均每天用电x度,则能使用y天.下列说法错误的是(　　) A.若x=5,则y=100 B.若y=125,则x=4 C.若x减小,则y也减小 D.若x减小一半,则y增大一倍 ❾ (2022·河北)某项工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一个人完成需12天.若m个人共同完成需n天,选取6组数对(m,n),在坐标系中进行描点,则正确的是(　　) A B C D 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①>　②<　③一、三　④二、四 ⑤减小　⑥增大　⑦|k|　⑧　⑨ ⑩　2|k|　|k|　|k| 即时练 1.2　解析:由题意得m2-5=-1,解得m=±2,∵图象在第一、三象限内,∴m+1>0,∴m>-1,∴m=2. 2.①②　解析:∵反比例函数y=,∴该函数的图象在第一、三象限,故①正确,符合题意;当x=-2时,y=-3,即函数的图象经过点(-2,-3),故②正确,符合题意;在每个象限内,y随x的增大而减小,故③错误,不符合题意;当0>x>-3时,y<-2,当x>0时,y>0,故④错误,不符合题意. 3.(-2,1)　解析:由题图可知直线y=k1x经过原点与双曲线y=相交于两点,因为双曲线y=与直线y=k1x均关于原点对称,所以两点关于原点对称,因为一个交点的坐标为(2,-1),所以另一个交点的坐标为(-2,1). 4.8　解析:∵点B是反比例函数y=(k≠0)图象上的一点,BC⊥x轴,BA⊥y轴,∴四边形ABCO是矩形,根据反比例函数比例系数k的几何意义得S四边形ABCO=|k|,又∵S四边形ABCO=8,∴|k|=8,∵点B是反比例函数y=(k≠0)第一象限图象上的点,∴k=8. 5.y=　-　解析:设y与x的函数关系式为y=,∵图象经过点(-3,-1),∴k=-1×(-3)=3,y与x的函数关系式为y=.将y=-4代入y=,得到x=-,∴当y=-4时,x=-. 6.y=-　解析:设反比例函数的解析式为y=,∵点A(2,m),B(m-1,1)均在反比例函数的图象上,∴k=2m=m-1,解得m=-1,k=-2,∴反比例函数的解析式为y=-. 7.C　解析:设I=,∵函数图象过点(5,12),∴k=60,∴I=,∴蓄电池的电压是60 V,∴A,B正确,不符合题意;当R=6 Ω时,I==10(A),∴C错误,符合题意;当I=10 A时,R=6 Ω,结合题图知,当I≤10 A时,R≥6 Ω,∴D正确,不符合题意.故选C. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)∵在反比例函数y=图象的每一支上,y随x的增大而减小,∴k-1>0,解得k>1. (2)∵反比例函数y=图象的一支位于第二象限, ∴在该函数图象的每一支上,y随x的增大而增大. ∵点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在该函数的第二象限的图象上,且y1>y2,∴x1>x2. (3)∵在其图象上任取一点,向两坐标轴作垂线,得到的矩形面积为6, ∴|k-1|=6,解得k=7或k=-5. (4)由题意,设点P的坐标为(m,2). ∵点P在正比例函数y=x的图象上,∴2=m,∴点P的坐标为(2,2).∵点P在反比例函数y=的图象上,∴2=,解得k=5. (5)当-1<k<1且k≠0时,在1≤x≤2范围内,y随x的增大而增大,∴-k+1=1, 解得k=-1,不合题意,舍去; 当k>1时,在1≤x≤2范围内,y随x的增大而减小, ∴k-1-=1,解得k=3. 河北中考·考向体验 1.B　解析:∵反比例函数y=中,k=4>0,∴在每个象限内,y随x的增大而减小,∴当2<y<4时,<x<,∴1<x<2.故选B. 2.4(答案不唯一)　解析:由题图可知k>0,∵反比例函数y=(k>0)的图象与线段AB有交点,且点A(3,3),B(3,1), ∴把B(3,1)代入y=,得k=3, 把A(3,3)代入y=,得k=3×3=9, ∴满足条件的k的取值范围是3≤k≤9的整数,故可取k=4. 3.　解析:设直线AB的解析式为y=kx+b,代入点A,B的坐标得到, 解得∴y=-x+4.如图, 过点C作CE⊥y轴于点E,过点D作DF⊥y轴于点F,设点C的坐标为(t,-t+4),则CE=t,OE=-t+4, ∵BC=CD,∴BD=BC+CD=2BC,∵∠CBE=∠DBF,∠BEC=∠BFD=90°, ∴△CBE∽△DBF,∴,即,∴BF=2t,DF=2t,∴OF=OB-BF=4-2t,∴点D的坐标为(2t,4-2t),∴t(-t+4)=2t(4-2t),解得t1=,t2=0(不合题意,舍去),∴点C的坐标为,∴k=. 4.(1)-16　(2)5　(3)7　解析:∵每个台阶的高和宽分别是1和2,∴点T1(-16,1),T2(-14,2),T3(-12,3),T4(-10,4), T5(-8,5),T6(-6,6),T7(-4,7),T8(-2,8). (1)∵L过点T1,∴k=-16×1=-16. (2)∵L过点T4,∴k=-10×4=-40.∴反比例函数解析式为y=-.当x=-8时,y=5,∴点T5在反比例函数图象上,∴m=5. (3)若曲线L过点T1(-16,1),T8(-2,8)时,k=-16,若曲线L过点T2(-14,2),T7(-4,7)时,k=-14×2=-28,若曲线L过点 T3(-12,3),T6(-6,6)时,k=-12×3=-36,若曲线L过点T4(-10,4),T5(-8,5)时,k=-40,∵曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,∴-36<k<-28,∴k的整数值可取-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29,共7个. 5.(1)(4,15)　(2)4　解析:(1)a=15时,y=15,由y=,y=15,得x=4,即当a=15时,l与m的交点坐标为(4,15). (2)y=,当a=-1.2,即y=-1.2时,得x=-50,∴A点坐标为(-50,-1.2),当a=-1.5,即y=-1.5时,得x=-40, ∴B点坐标为(-40,-1.5).为能看到m在点A(-50,-1.2)和B(-40,-1.5)之间的一整段图象,则15k≥50,解得k≥. ∴整数k=4. 6.A　解析:∵四边形OABC是面积为4的正方形,设点B的坐标为(b,b),∴b2=4,解得b=2(负值舍去),∴点B的坐标为(2,2),∵函数y=(x>0)的图象经过点B,∴满足y≥2的x的取值范围为0<x≤2.故选A. 7.解:(1)∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,∴k=2×2=4,∴反比例函数的表达式为y=. (2)∵C(2,2),∴CO2=22+22=8, ∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形,∠ACO=90°, ∴AC=CO,AO==4, 如图,连接OD,△OAB旋转到△OEF的位置,∴OE=OA=4, ∵D的对应点G在y=的图象上, ∴yG=1,∴EG=1, 由旋转可得AD=EG=1,∴D(-1,4). 8.C　解析:由题意,得y=.A.若x=5,则y==100,正确,故此选项不符合题意;B.若y=125,则125=,解得x=4,正确,故此选项不符合题意;C.若x减小,则y增大,原说法错误,故此选项符合题意;D.若x减小一半,即y'=,所以y增大一倍,正确,故此选项不符合题意.故选C. 9.C　解析:设工作总量为1,∵一个人完成需12天,∴一人一天的工作量为. ∵m个人共同完成需n天,∴一人一天的工作量为.∵每人每天完成的工作量相同,∴mn=12,∴n=,∴n是m的反比例函数,且m,n为正整数.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲　平面直角坐标系与函数 考点一　平面直角坐标系中点的坐标特征 ❶ 点的坐标特征 各象 限内 第一象限:x>0,y>0 第二象限:①　　　  第三象限:②　　　  第四象限:③　　　  注:坐标轴上的点不属于任何象限 坐标 轴上 点M1在x轴上:y=0 点M2在y轴上:x=④　　　  原点的坐标:⑤　　　  各象限 角平分 线上 点A1(x1,y1)在第一、三象限的角平分线上,则x1=y1 点A2(x2,y2)在第二、四象限的角平分线上,则x2=⑥　　　  垂直于 坐标轴 的直线上 垂直于y轴的直线l1上的点的⑦　　　坐标相同  垂直于x轴的直线l2上的点的⑧　　　坐标相同  ❷ 对称点的坐标特征 点P的 坐标 对称方式 对称后点 P'的坐标 口诀 P(a,b) 关于x轴对称 P'(a,-b) 关于谁(x轴或y轴)对称谁不变,另一个变号 关于y轴对称 P'⑨　　　  关于原点对称 P'⑩　　　  横、纵坐标都变号 关于直线y=x对称 P'(b,a) 横、纵坐标互换 关于直线y=-x对称 P'　　　  横、纵坐标互换且都变号 ❸ 点的平移坐标特征 点P的 坐标 平移方式 (a>0,b>0) 平移后点 P'的坐标 口诀 P(x,y) 向左平移a个单位 (x-a,y) 横坐标:左减右加 向右平移a个单位 (x+a,y) 向上平移b个单位 纵坐标:上加下减 向下平移b个单位 1.(冀教八下P40习题A组T1变式)在平面直角坐标系中,已知点P(3m,2m-2). (1)若点P在y轴上,则m=　　　　.  (2)若m<0,则点P在第　　　　象限.  (3)若点P在第四象限,则m的取值范围为　　　　.  (4)若点P在第二、四象限的角平分线上,则m=　　　　.  (5)无论m为何值,点P不可能在第　　　　象限.  (6)若点P在过点A(2,-5),且与x轴平行的直线上,则点P的坐标为　　　　.  2.在平面直角坐标系中,已知点P(a,-2a+2). (1)若a=-1,则点P关于y轴的对称点的坐标为　　　　,点P关于原点的对称点的坐标为　　　　,点P关于直线y=x对称点的坐标为　　　　,若将点P绕原点O逆时针旋转90°,得到点P1,则点P1的坐标为　　　　.  (2)若将点P先向右平移2个单位长度,再向下平移6个单位长度后得到点P2(n,4),则a=　　　　,n=　　　　.  考点二　平面直角坐标系中的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离(如图) (1)到x轴的距离是　　　　,到y轴的距离是　　　　.  (2)到原点的距离是　　　　.  P(x,y),Q(x1,y1)为平面直角坐标系中任意两点: (1)中点坐标公式:PQ中点坐标为. (2)两点间距离: ①若PQ∥x轴⇔y=y1,PQ=|x-x1|; ②若PQ∥y轴⇔x=x1,PQ=|y-y1|; ③坐标平面内任意两点间距离公式: PQ=. 3.在平面直角坐标系中,已知点P(1,2).请解答下列各题: (1)点P到x轴的距离为　　　　.  (2)点P到y轴的距离为　　　　.  (3)点P到原点的距离为　　　　.  (4)已知点Q(3,m),若PQ∥x轴,则m的值为　　　　.  (5)已知点Q(m-1,4),若PQ∥y轴,则m的值为　　　　.  考点三　函数的相关概念及表示方法 常量和变量 在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,而数值保持不变的量叫做常量 函数 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数 函数值 在自变量x的取值范围内,如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 表示方法 解析式法、列表法、图象法 画函数图象 的一般步骤 列表→描点→连线 4.下列各曲线中表示y是x的函数的是(　　) A　　 B C　 D 考点四　函数自变量的取值范围 函数解析式的形式 自变量的取值范围 整式型 全体实数 分式型y= B≠0 二次根式型y= 零次幂或负整数次幂型 底数不为0 分式与二次根式结合型 分母≠0且被开方数≥0 注:在实际问题中,自变量的取值范围应使该问题有实际意义 5.求下列函数中自变量x的取值范围: (1)y=. (2)y=. (3)y=+(x+2)0. 在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(a,a-3),且线段AB平行于y轴. (1)点B的坐标为　　　　,线段AB的长为　　　　.  (2)点C是线段AB与x轴的交点,则点C关于y轴的对称点C1的坐标为　　　　.  (3)若线段AD∥x轴,且线段AD的长为1,则点D的坐标为　　　　　　.  (4)顺次连接点A,B,C1构成封闭图形,请画出△ABC1,将△ABC1先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,新图形记作△A'B'C'. ①请在同一平面直角坐标系中画出新图形△A'B'C'; ②直接写出在上述的平移过程中线段BC1扫过的面积; ③将△ABC1的每个顶点的横、纵坐标均乘2,请直接描述图形发生怎样的变化. (1)已知线段AB平行于y轴,所以点A、点B的横坐标相等,从而求出B的坐标以及线段AB的长. (2)因为点C在线段AB上,又因为线段AB平行于y轴,所以可以确定点C的横坐标;因为点C在x轴上,所以可以确定点C的纵坐标;从而确定点C坐标和关于y轴的对称点C1坐标. (3)与x轴平行的点的纵坐标相等,故点D的纵坐标为1,且AD的长为|xD-1|=1,从而求出D的横坐标. (4)根据点的平移规则:上加下减,左减右加得到各个点的对应点的坐标,并利用图形的和差关系求出图形的面积. 命题点一　平面直角坐标系中点的坐标特征 ❶ (2025·成都)在平面直角坐标系xOy中,点P(-2,a2+1)所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ❷ (2024·河北样卷)已知点P(1-a,2a+6)在第四象限,则a的取值范围是(　　) A.a<-3 B.-3<a<1 C.a>-3 D.a>1 ❸ (2025·山东七市)在平面直角坐标系中,将点P(3,4)向下平移2个单位长度,得到的对应点P'的坐标是　　　　.  命题点二　平面直角坐标系中的距离 ❹ (2019·河北讲选)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位:km),笔直铁路经过A,B两地.A,B间的距离为　　　　km.  命题点三　函数及其自变量的取值范围 ❺ (2025·云南)函数y=的自变量x的取值范围为(　　) A.x≠4 B.x≠3 C.x≠2 D.x≠1 ❻ (2025·内江)在函数y=中,自变量x的取值范围是(　　) A.x≥2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2 ❼ (2024·河北样卷)若函数y=则当函数值y=8时,自变量x的值为(　　) A.± B.4 C.±或 4 D.4或- 命题点四　函数图象的分析与判断 ❽ (2023·河北)如图是一种轨道示意图,其中和均为半圆,点M,A,C,N依次在同一直线上,且AM=CN.现有两个机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发,沿着轨道以大小相同的速度匀速移动,其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M.若移动时间为x,两个机器人之间距离为y,则y与x关系的图象大致是(　　) A B C D ❾ (2025·甘肃)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点D为边AB的中点.动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动,运动到点B时停止.设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到CB的中点时,PD的长为(　　) A.2 B.2.5 C.2 D.4 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①x<0,y>0　②x<0,y<0　③x>0,y<0　④0　⑤(0,0)　⑥-y2　⑦纵 ⑧横　⑨(-a,b)　⑩(-a,-b) (-b,-a)　(x,y+b)　(x,y-b) |y|　|x|　　A≥0 即时练 1.(1)0　(2)三　(3)0<m<1　(4)　(5)二　(6) 2.(1)(1,4)　(1,-4)　(4,-1) (-4,-1)　(2)-4　-2 3.(1)2　(2)1　(3)　(4)2　(5)2 4.D 5.解:(1)依题意有2-x≠0,解得x≠2. (2)依题意有9-3x≥0,解得x≤3. (3)依题意有1-3x>0且x+2≠0, 解得x<且x≠-2. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)(1,-2)　3 (2)(-1,0)　(3)(0,1)或(2,1) (4)△ABC1如图所示. ①△A'B'C'如图所示: ②线段BC1扫过的面积为6. ③将△ABC1的每个顶点的横、纵坐标均乘2,新图形相对于原图形横向和纵向均拉伸为原来的2倍. 河北中考·考向体验 1.B　解析:∵-2<0,a2+1>0,∴点P所在的象限是第二象限.故选B. 2.A　解析:∵点P(1-a,2a+6)在第四象限,∴解得 ∴不等式组的解集为a<-3.故选A. 3.(3,2)　解析:由题知,将点P(3,4)向下平移2个单位长度后,所得点P'的坐标是(3,2). 4.20　解析:由A,B两点的纵坐标相同可知AB∥x轴,∴AB=12-(-8)=20. 5.D　解析:函数y=,则x-1≠0,即x≠1.故选D. 6.A　解析:函数y=,则x-2≥0,解得x≥2.故选A. 7.D　解析:当x2+2=8时,解得x1=(舍),x2=-.当2x=8时,解得x=4.故选D. 8.D　解析:由题意,得机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发,设圆的半径为R,∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R.∵两个机器人速度相同,∴分别同时到达点A,C,∴两个机器人之间的距离y越来越小,故排除A,C.当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时,两个机器人之间的距离是直径2R,保持不变,当两个机器人分别沿C→N和A→M移动时,两个机器人之间的距离越来越大,故排除B.故选D. 9.A　解析:根据题意知,动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动过程中,△APD的面积先增大,再减小.当点P运动到点C时,△APD的面积最大,根据函数图象可得此时△APD的面积为4,如图1,∵点D为边AB的中点,△ABC为等腰直角三角形,∴S△ABC=2S△ADP=8=AC2,可得AC=4.当点P运动到CB的中点时,如图2,∵点D为边AB的中点,∴PD=AC=2.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲　一次函数的实际应用 考点　一次函数的实际应用 ❶ 用一次函数解决实际问题的一般步骤 (1)设定实际问题中的变量. (2)找出题中的等量关系,建立一次函数关系式. (3)确定自变量的取值范围. (4)利用函数的性质解决问题. (5)作答. ❷ 一次函数实际应用的常见类型 (1)根据实际问题给出的数据列相应的函数解析式解决实际问题. (2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较. (3)结合实际问题的函数图象解决实际问题. (4)两个以上的一次函数拼接成一个分段函数,分段求函数解析式,标清自变量的取值范围,找准所求的问题在哪段. ❸ 求最值问题,即求最佳方案问题 (1)将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较. (2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解,由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值;若是分段函数,则需要分类讨论,先计算出每个分段函数的最值,再进行比较. ❹ 解决图象型分段函数问题的一般思路 (1)找特殊点,即图象的起点、中点或转折点. (2)根据函数图象的特征判断函数的类型,利用待定系数法求相应的函数解析式. (3)根据题目要求解决实际问题. 小颖家、小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧,早上两人同时从家里出发去学校,走了12 min后,小颖以3倍的速度跑向学校,小亮以2倍的速度跑向学校,两人同时到达学校,两人各自离家的距离s和他们所用时间t的图象如图所示,则下列结论正确的是　　　　.(填序号)  ①小颖家到学校的距离比小亮家到学校的距离远; ②a=2 000; ③加速后,小颖的速度为250 m/min,小亮的速度为200 m/min; ④两人从家出发12 min时,相距200 m. (2025·河北模拟)某摄影团队利用两架无人机进行高空拍摄.1号、2号无人机从海拔10 m高的A处同时出发,分别以8 m/s,6 m/s的速度匀速上升.上升了30 s时,1号无人机不再继续上升,悬停在空中,等2号无人机达到同一高度时,1号无人机开始匀速降落,经过了40 s降落到出发点.1号无人机降落过程中,2号无人机继续上升.设1号、2号无人机在飞行过程中的海拔高度分别为y1,y2,他们飞行的时间为x,y与x关系的图象如图所示. (1)点C的坐标为　　　　.  (2)CD段的y1关于x的函数解析式为　　　　　　　　.  (3)在飞行的过程中,当两架无人机竖直方向上的高度差不超过30 m时,远程遥控信号可能会相互干扰,则两架无人机信号受到干扰的时长是多少? (1)由题意可知点C的纵坐标和点B的纵坐标相等,即1号无人机上升了30 s时的高度,再由上升的高度和2号无人机的速度求出横坐标,即可得点C的坐标. (2)先求出点D坐标,设CD段的y1关于x的函数解析式为y1=kx+b,用待定系数法求出函数解析式即可. (3)由题意可得,AB段的y1关于x的函数解析式为y1=8x+10,AC段的y2关于x的函数解析式为y2=6x+10,分三种情况讨论:在0~30 s,当y1-y2=30时;在30~40 s,当250-y2=30时;在40~80 s,当y2-y1=30时,分别列出方程求出x的值,即可求解. (2025·邯郸一模)某商店准备购进甲、乙两种商品共100件,甲商品的进价是40元/件,售价是50元/件;乙商品的进价是48元/件,售价是60元/件.设甲商品购进x件,销售完购进商品获得的总利润是w元. (1)w与x的函数关系式为　　　　　　　.  (2)某同学说,有一种进货方案,可获得利润980元.这种方案存在吗?为什么? (3)若计划购进甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍,如何设计进货方案才能获得最大利润?最大利润是多少? (1)根据“总利润=销售完甲商品获得的利润+销售完乙商品获得的利润”写出w与x的函数关系式即可. (2)将w=980代入(1)中求得的函数关系式并求出对应x的值,若x的值符合题意,则说明这种方案存在,否则,则说明这种方案不存在. (3)根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集,根据一次函数的增减性和x的取值范围,确定当x取何值时w的值最大,求出其最大值及此时100-x的值即可. 命题点　一次函数的实际应用 ❶ (2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化,科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表: 温度t/℃ -10 0 10 30 声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348 研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数,且a≠0),当温度t为15 ℃时,声音传播的速度v为(　　) A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s ❷ (2021·河北)如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,1号指挥机(看成点P)始终以 3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞行,2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方,2号机从原点O处沿45°仰角爬升,到4 km高的A处便立刻转为水平飞行,再过1 min到达 B 处开始沿直线 BC 降落,要求1 min后到达点C(10,3)处. (1)求OA的h关于s的函数解析式,并直接写出2号机的爬升速度. (2)求BC的h关于s的函数解析式,并预计2号机着陆点的坐标. (3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少. (注:(1)及(2)中不必写s的取值范围) ❸ (2019·河北)长为300 m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进.如图1和图2,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与位置O的距离为s头(m). (1)当v=2时,解答: ①求s头与t的函数关系式(不写t的取值范围); ②当甲赶到排头位置时,求s头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为s甲(m),求s甲与t的函数关系式(不写t的取值范围). (2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程. ❹ (2025·上海)已知学校热水器有一个可以储存200 L水的储水装置,且储水装置在水装满时会自动停止加水.如图所示为储水量y(L)与加水时间x(min)的关系图象,已知水的温度t(℃)与加水时间x(min)的关系为t=. (1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围. (2)当水加满时,储水装置内水的温度为多少? 【详解答案】 教材考点·深度梳理 即时练 ②③　解析:小颖家到学校的距离与小亮家到学校的距离相等,∴①不正确,不符合题意;加速前小亮的速度为 1 200÷12=100(m/min),则加速后小亮的速度为100×2=200(m/min),1 200+200×(16-12)=2 000(m),∴a=2 000,∴②正确,符合题意;设加速前,小颖的速度为v m/min,则加速后的速度为3v m/min,则12v+(16-12)×3v=2 000,解得v=,3×=250(m/min),∴加速后小颖的速度是250 m/min,由②可知,加速后小亮的速度为200 m/min,∴③正确,符合题意;两人从家出发12 min时,相距2 000×2-12×=1 800(m),∴④不正确,不符合题意. 重点难点·一题串讲 例1:解:(1)(40,250) 解析:30×8+10=250(m),∴B(30,250),(250-10)÷6=40(s),∴C(40,250). (2)y1=-6x+490 解析:8×30÷6+40=80(s), ∴点D的坐标为(80,10), 设CD段的y1关于x的函数解析式为y1=kx+b, 将C(40,250),D(80,10)的坐标代入, 得解得 ∴y1=-6x+490. (3)由题意得,AB段的y1关于x的函数解析式为y1=8x+10, AC段的y2关于x的函数解析式为y2=6x+10, 分以下三种情况讨论: 在0~30 s,当y1-y2=30时,即(8x+10)-(6x+10)=30, ∴x=15, 在30~40 s,当250-y2=30时,即250-(6x+10)=30, ∴x=35, 在40~80 s,当y2-y1=30时,即(6x+10)-(-6x+490)=30, ∴x=42.5, ∵15+42.5-35=22.5, ∴两架无人机信号受到干扰的时长是22.5 s. 例2:解:(1)w=-2x+1 200 (2)这种方案不存在.理由如下: 当w=980时,得-2x+1 200=980, 解得x=110, ∵110>100, ∴这种方案不存在. (3)根据题意,得x≥2(100-x), 解得x≥, ∵w=-2x+1 200,-2<0, ∴w随x的增大而减小, ∵x≥且x为整数, ∴当x=67时,w的值最大,w最大=-2×67+1 200=1 066, 100-67=33(件). 答:购进甲商品67件、乙商品33件才能获得最大利润,最大利润是1 066元. 河北中考·考向体验 1.B　解析:将t=0,v=330和t=10,v=336分别代入v=at+b,得 解得∴v与t之间的函数关系式为v=0.6t+330,当t=15时,v=0.6×15+330=339,∴当温度t为15 ℃时,声音传播的速度v为339 m/s.故选B. 2.解:(1)∵2号机爬升角度为45°, ∴OA上的点的横、纵坐标相同, ∴点A(4,4).设OA的解析式为h=ks, ∴4k=4,∴k=1. ∴OA的解析式为h=s. 2号机的爬升速度为3 km/min. (2)设BC的解析式为h=ms+n. 由题意,得点B(7,4),C(10,3). ∴解得 ∴BC的解析式为h=-s+. 令h=0,则s=19. ∴预计2号机着陆点的坐标为(19,0). (3)∵PQ不超过3 km,∴5-h≤3.∴PQ= 解得2≤s≤13. ∴两机距离PQ不超过3 km的时长为(13-2)÷3=(min). 3.解:(1)①排尾从位置O开始行进的时间为t(s),则排头也离开原排头t(s),∴s头=2t+300. ②甲从排尾赶到排头的时间为300÷(2v-v)=300÷v=300÷2=150(s),此时s头=2t+300=600 m. 甲从排头返回的时间为(t-150)s, ∴s甲=600-4(t-150)=-4t+1 200. ∴在甲从排头返回到排尾过程中,s甲与t的函数关系式为s甲=-4t+1 200. (2)T=t追及+t返回=,在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为·v=400(m). 4.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),把(0,80),(2,160)代入y=kx+b(k≠0),得 解得∴y=40x+80, 当40x+80=200时,解得x=3, ∴y与x的函数关系式为y=40x+80(0≤x≤3). (2)当x=3时,t==32, ∴当水加满时,储水装置内水的温度为32 ℃. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲　一次函数的图象与性质 考点一　一次函数的图象与性质 定义 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数为一次函数,特别地,当b=0时,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数为正比例函数,其中k是比例系数 k,b符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 判断倾斜 方向、增 减性看k k>0,图象呈“/”,必过第一、三象限,y随x的增大而①　　　  k<0,图象呈“\”,必过第二、四象限,y随x的增大而②　　　  判断与y 轴交点位 置看b b>0,图象交于y轴的正半轴,必过第一、二象限;b=0,图象过③　　　　;b<0,图象交于y轴的负半轴,必过第三、四象限  与坐标 轴交点 令x=0,求对应的y值,交点坐标为④　　　　,令y=0,求对应的x值,交点坐标为⑤　　　　  两条直线(y1=k1x+b1和y2=k2x+b2)的位置关系 位置 关系 两直线 平行 两直线 垂直 两直线相交 系数 关系 k1=k2 b1≠b2 k1·k2=-1 k1+k2=0 k1=-k2, b1=b2 k1=-k2, b1=-b2 图象 两直线关于l1,l2均对称 两直线关于y轴对称 两直线关于x轴对称 1.(原创)已知函数y=(m-1)是正比例函数. (1)求m的值. (2)若函数关系式中y随x的增大而减小,求m的值. (3)若函数的图象过第一、三象限,求m的值. 2.已知函数y=(m+1)x+3m-1,解决下列问题: (1)若y随x的增大而减小,则m的取值范围是　　　　.  (2)若函数图象与y轴交于正半轴,则m的取值范围是　　　　.  (3)若该函数的图象过第一、三、四象限,则m的取值范围是　　　　.  (4)当m=0时,点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数图象上的两个点,且x1<x2,则y1　　　　y2(填“>”“<”或“=”).  考点二　一次函数解析式的确定 方法 待定系数法 步骤 (1)一设:设一次函数的解析式为y=kx+b. (2)二列:将图象上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入y=kx+b中,得到二元一次方程组 (3)三解:解方程组,求出k,b的值. (4)四还原:将k,b代入所设解析式中 (1)若对于一次函数y=kx+b,当b=0时,找出满足y=kx的一点坐标(原点除外),求出k即可确定解析式. (2)在找点坐标时有4种情况: ①题目中明确已知两个点在一次函数图象上,直接代入解析式即可; ②已知与坐标轴的交点,实质为已知点坐标为(x,0)或(0,y); ③已知一次函数图象与坐标轴交点到原点的距离为h,实质为已知一次函数图象上点的坐标为(±h,0)或(0,±h); ④已知一次函数图象与其他函数图象的交点坐标,实质为该交点在一次函数图象上,满足一次函数解析式. 考点三　一次函数图象的平移 平移前的解析式 平移方式(m>0) 平移后的解析式 规律 y=kx+b (k≠0) 向左平移m个单位 y=k(x+m)+b x左加右减 向右平移m个单位 y=k(x-m)+b 向上平移m个单位 y=kx+b+m 等号右端整体上加下减 向下平移m个单位 y=kx+b-m 3.根据下列条件分别确定函数y=kx+b的解析式: (1)y与x成正比例,当x=2时,y=3,则y关于x的函数的解析式为　　　　.  (2)直线y=kx+b经过点(3,2)和点(-2,1),则y关于x的函数的解析式为　　　　　　.  (3)已知一次函数的图象与y轴的交点坐标是(0,5),且过点(-1,0),则该函数的解析式是　　　　.  4.(1)若直线y=2x+b(b是常数)经过点(0,2),将直线y=2x+b向上平移5个单位,平移后直线的解析式为　　　　.  (2)把直线y=2x-1向左平移1个单位,再向上平移2个单位,则平移后所得直线的解析式为　　　　.  考点四　一次函数图象与坐标轴围成的面积 项目 图形 面积 一条直线 与坐标轴 S△AOB=AO·BO=|xA|·|yB| 两条直线 与x轴　 S△ABC=BC·AD=|xC-xB|·|yA| 两条直线 与y轴　 S△ABC=BC·AD=|yB-yC|·|xA| 5.(1)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-2x+4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,则△AOB的面积为　　　　.  (2)如图,过点A(-6,0)的直线l1与直线l2:y=2x相交于点B(2,m),则△AOB的面积为　　　　.  考点五　一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系 与一元一次方程的关系 方程kx+b=0的解x=-是一次函数 y=kx+b的图象与x轴的交点A的横坐标,如图 与二元一次方程组的关系 二元一次方程组的解是两个一次函数图象交点的横坐标、纵坐标,如图 与一元一次不等式的关系 (1)从“数”上看:kx+b>0的解集是在函数y=kx+b中,当y>0时x的取值范围;kx+b<0的解集是在函数y=kx+b中,当y<0时x的取值范围. (2)从“形”上看:如图,kx+b>0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标;kx+b<0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标 两个一次函数与不等式的关系 (1)如图,不等式k1x+b1>k2x+b2的解集⇔函数y1=k1x+b1的图象在函数y2=k2x+b2图象上方部分所对应的x的取值范围,即x>m. (2)不等式k1x+b1<k2x+b2的解集⇔函数y1=k1x+b1的图象在函数y2=k2x+b2图象下方部分所对应的x的取值范围,即x<m 6.(冀教八下P108习题A组T1变式)已知一次函数y1=kx+b 与y2=x+a 的图象如图所示,根据图象填空. (1)关于x的一元一次方程x+a=0的解为　　　　.  (2)是方程y=x+a的一组解. (3)当x　　　　时,y2<0.  (4)方程组的解是　　　　.  (5)当x　　　时,y1<y2.  (6)不等式kx+b>x+a的解集为　　　　.  已知一次函数y=(2m-1)x+2-m. (1)当m=　　　　时,此函数是y关于x的正比例函数,y随x的增大而　　　　.  (2)若此函数的图象不经过第二象限,则m的取值范围是　　　　.  (3)若点P(1,y1),Q(-4,y2)是此一次函数图象上的两个点,且y1<y2,则m的取值范围是　　　　.  (4)若函数图象经过点(-2,9). ①此一次函数的表达式是　　　　,点A(4,-1)　　　　(填“在”或“不在”)该一次函数图象上.  ②当y>0时,x的取值范围是　　　　.  ③将此函数图象先向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的图象的函数表达式为　　　　.  ④此一次函数的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,O为坐标原点,则三角形OBC的面积为　　　　.  (5)若过点(6,-18)的直线l:y=ax+b与(4)中一次函数y=(2m-1)x+2-m的图象交于点(t,-8). ①直线l的表达式为　　　　　　.  ②若ax+b>(2m-1)x+2-m,则对应的x的取值范围是　　　　.  ③方程组的解为　　　　.  (1)根据正比例函数的定义得,当2-m=0时是正比例函数,由此解出m即可. (2)根据一次函数y=(2m-1)x+2-m的图象不经过第二象限得由此解出m即可. (3)根据1>-4,y1<y2得y随x的增大而减小,进而得2m-1<0,由此解出m即可. (4)①将点(-2,9)代入y=(2m-1)x+2-m求出m即可得函数的表达式,计算当x=4时,y的值,据此可得出答案;②由一次函数与一元一次不等式的关系,列不等式求解;③根据一次函数图象平移的规律:左右平移:x左加右减,上下平移:等号右端整体上加下减,可得出答案;④根据表达式求出点B、点C的坐标,进而可求出△OBC的面积. (5)①先求出t,再用待定系数法求出直线l的表达式;②由两个一次函数与不等式的关系可得出答案;③根据直线y=ax+b与一次函数y=(2m-1)x+2-m的图象的交点坐标为(t,-8)可得出答案. 命题点一　一次函数的图象与性质 ❶ (2024·河北)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张开的角度为120°时,扇面面积为S,该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为Sn,若m=,则m与n关系的图象大致是(　　) A B C D ❷ (2024·河北样卷)若函数y=(a-1)x+2a+3是正比例函数,则此函数图象分布在第　　　　象限.  命题点二　 ❸ (2018·河北)如图,直角坐标系中,一次函数y=-x+5的图象l1分别与x,y轴交于A,B两点,正比例函数的图象l2与l1交于点C(m,4). (1)求m的值及l2的解析式. (2)求S△AOC-S△BOC的值. (3)一次函数y=kx+1的图象为l3,且l1,l2,l3不能围成三角形,直接写出k的值. 命题点三　一次函数解析式的确定 ❹ (2020·河北)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图.而某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l'. (1)求直线l的解析式. (2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算),并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长. (3)设直线y=a与直线l,l'及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值. x -1 0 y -2 1 ❺ (2022·河北)如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5). (1)求AB所在直线的解析式. (2)某同学设计了一个动画: 在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出. ①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系; ②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数. 命题点四　一次函数图象的平移 ❻ (2025·河北)在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图,正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点.若只将正方形EFGH平移,使其内部(不含边界)有且只有A,B,C三个整点,则平移后点E的对应点坐标为(　　) A. B. C. D. ❼ (2023·河北)在平面直角坐标系中,设计了点的两种移动方式:从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式;从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式. 例:点P从原点O出发连续移动2次,若都按甲方式,最终移动到点M(4,2);若都按乙方式,最终移动到点N(2,4);若按1次甲方式和1次乙方式,最终移动到点E(3,3). (1)设直线l1经过上例中的点M,N,求l1的解析式;并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式. (2)点P从原点O出发连续移动10次,每次移动按甲方式或乙方式,最终移动到点Q(x,y).其中,按甲方式移动了m次. ①用含m的式子分别表示x,y; ②请说明:无论m怎样变化,点Q都在一条确定的直线上.设这条直线为l3,在图中直接画出l3的图象. (3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C,横坐标依次为a,b,c,若A,B,C三点始终在一条直线上,直接写出此时a,b,c之间的关系式. 命题点五　 ❽ (2024·河北样卷)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=2x-1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,关于x的方程2x-1=kx+b的解是(　　) A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 ❾ (2024·河北样卷)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b>0的解集是　　　　,kx+b<n的解集是　　　　.  【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①增大　②减小　③原点　④(0,b)　⑤ 即时练 1.解:(1)∵函数y=(m-1)是正比例函数,∴ 解得m=-2或m=2. (2)∵函数关系式中y随x的增大而减小,∴m-1<0,∴m<1,∴m=-2. (3)∵函数的图象过第一、三象限, ∴m-1>0,∴m>1,∴m=2. 2.(1)m<-1　(2)m>　(3)-1<m< (4)< 解析:(1)∵y随x的增大而减小, ∴m+1<0,解得m<-1. (2)∵函数图象与y轴交于正半轴, ∴3m-1>0,解得m>. (3)∵该函数的图象过第一、三、四象限, ∴　解得-1<m<. (4)当m=0时,函数解析式为y=x-1, ∵k=1>0,∴y随x的增大而增大, ∴当x1<x2时,y1<y2. 3.(1)y=x　(2)y=x+ (3)y=5x+5 解析:(1)∵y与x成正比例,∴设y=kx,∵当x=2时,y=3,∴3=2k,∴k=,∴y关于x的函数解析式为y=x. (2)∵直线y=kx+b经过点(3,2)和点(-2,1), ∴解得 ∴y关于x的函数解析式为y=x+. (3)设一次函数的解析式为y=kx+b,∵函数图象与y轴的交点坐标为(0,5),∴b=5,把点(-1,0)代入y=kx+5得,-k+5=0,∴k=5,∴该函数的解析式是y=5x+5. 4.(1)y=2x+7　解析:∵直线y=2x+b(b是常数)经过点(0,2),∴b=2,∴直线y=2x+2向上平移5个单位得y=2x+7. (2)y=2x+3　解析:把直线y=2x-1向左平移1个单位,再向上平移2个单位,则平移后所得直线的解析式为y=2(x+1)-1+2,即y=2x+3. 5.(1)4　解析:由y=-2x+4得A(2,0),B(0,4),∴S△AOB=×OA×OB=×2×4=4. (2)12　解析:把B(2,m)代入y=2x,得m=2×2=4,∴B(2,4),∵A(-6,0),O(0,0),∴AO=6,∴△AOB的面积为×6×4=12. 6.(1)x=2　(2)0　(3)<2 (4)　(5)>3　(6)x<3 解析:(1)x+a=0的解,即直线y2=x+a与x轴的交点的横坐标,即x=2. (2)∵点(2,0)在y2=x+a这条直线上,∴方程y=x+a的一组解为 (3)∵y2<0,∴x<2. (4)∵方程组的解即为两条直线的交点(3,1)的横、纵坐标, ∴该方程组的解为 (5)由题图可知,直线y1=kx+b与y2=x+a的交点为(3,1),∴当x>3时,y1<y2. (6)kx+b>x+a,即y1>y2,故kx+b>x+a的解集为x<3. 重点难点·一题串讲 例:(1)2　增大　(2)m≥2　(3)m< (4)①y=-3x+3　不在　②x<1 ③y=-3x+8　④1.5 (5)①y=-x+　②x< ③ 河北中考·考向体验 1.C　解析:设该扇面外侧圆的半径为R,内侧圆的半径为r,S=,∴πR2-πr2=3S.∵该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为Sn,∴Sn=×3S=,∴m=n,∴m是n的正比例函数.∴C选项的图象符合.故选C. 2.二、四　解析:由题意得2a+3=0.解得a=-.当a=-时,a-1=-<0,∴此函数图象分布在第二、四象限. 3.解:(1)把点C(m,4)代入一次函数y=-x+5,可得4=-m+5.解得m=2.∴点C(2,4).设l2的解析式为y=ax,则4=2a.解得a=2. ∴l2的解析式为y=2x. (2)如图,过点C作CD⊥AO于点D,CE⊥BO于点E,则CD=4,CE=2.在y=-x+5中,令x=0,则y=5;令y=0,则x=10, ∴点A(10,0),B(0,5). ∴AO=10,BO=5. ∴S△AOC-S△BOC=AO·CD-BO·CE=×10×4-×5×2=20-5=15. (3)k的值为或2或-. 4.解:(1)∵在直线l:y=kx+b中,当x=-1时,y=-2;当x=0时,y=1. ∴解得 ∴直线l的解析式为y=3x+1. (2)直线l'如图所示. 由(1)可知直线l'的解析式为y=x+3.联立 解得 ∴两直线的交点为(1,4).当x=0时,y=3,∴直线l'与y轴的交点为(0,3). ∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为. (3)a的值为或或7. 解析:①当对称点在直线l上时,令a=3x+1,解得x=,令a=x+3,解得x=a-3,则2×=a-3,解得a=7;②当对称点在直线l'上时,则2×(a-3)=,解得a=;③当对称点在y轴上时,则+a-3=0,解得a=.综上,a的值为或或7. 5.解:(1)设AB所在直线的解析式为y=kx+b.把A(-8,19),B(6,5)的坐标分别代入,得解得 ∴AB所在直线的解析式为y=-x+11. (2)①把x=2,y=0代入y=mx+n,得0=2m+n,即n=-2m.∴m,n应满足的数量关系是n=-2m. ②设光点P击中线段AB上的点为(a,b),则b=-a+11.∴a=11-b(5≤b≤19).当b是整数时,a也是整数.∵点P在y=mx+n上,∴由①得b=ma-2m.∴m=-1.只有b=6,8,10,12,18时m为整数,且其个数是5. 6.A　解析:设直线FG的解析式为y=kx+b,代入(-1,1),(0,-1),得解得∴直线FG的解析式为y=-2x-1.∵E(1,2),A.当平移后点E的对应点坐标为时,平移方式为向右平移个单位,向上平移个单位, ∴直线FG平移后的解析式为y=-2-1+=-2x,此时经过原点,对应的EH经过整点(2,1),符合题意.B.当平移后点E的对应点坐标为时,平移方式为向右平移个单位,向上平移个单位,∴直线FG平移后的解析式为y=-2-1+=-2x+,此时点(2,1)在正方形内部,不符合题意.C.当平移后点E的对应点坐标为时,平移方式为向右平移个单位,∴直线FG平移后的解析式为y=-2-1=-2x,此时点(2,0)在正方形内部,不符合题意.D.当平移后点E的对应点坐标为时,平移方式为向右平移个单位,向上平移个单位,∴直线FG平移后的解析式为y=-2-1+=-2x+,此时点(2,1)在正方形内部,不符合题意.故选A. 7.解:(1)设l1的解析式为y=kx+b',把M(4,2),N(2,4)代入, 得解得 ∴l1的解析式为y=-x+6. 直线l2的解析式为y=-x+15. (2)①∵点P从原点O出发连续移动10次,按照甲方式移动了m次, ∴点P按照乙方式移动了(10-m)次. 点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为(2m,m). ∴点(2m,m)按照乙方式移动(10-m)次后得到的点的横坐标为2m+10-m=m+10,纵坐标为m+2(10-m)=20-m. ∴x=m+10,y=20-m. ②∵x+y=m+10+20-m=30, ∴无论m怎样变化,点Q都在直线l3:y=-x+30上.l3的图象如图所示: (3)a,b,c之间的关系式为5a+3c=8b. 解析:∵点A,B,C的横坐标依次为a,b,c,且分别在直线l1,l2,l3上, ∴A(a,-a+6),B(b,-b+15), C(c,-c+30). 当a≠b≠c,-a+6≠-b+15≠-c+30时,设直线AB的解析式为y=dx+n,把A,B两点的坐标代入解析式,得 解得 ∴直线AB的解析式为 y=x+6-. ∵A,B,C三点始终在一条直线上, ∴c+6-=-c+30, 整理得5a+3c=8b. 当a=b=c时,A,B,C三点共线,满足5a+3c=8b,当-a+6=-b+15=-c+30时,A,B,C三点共线,满足5a+3c=8b. ∴a,b,c之间的关系式为5a+3c=8b. 8.B　9.x>-1　x<-3 学科网（北京）股份有限公司 $