2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第七章　图形的变化

该初中数学讲义聚焦中考尺规作图核心考点，系统梳理作线段、作角、角平分线、垂直平分线、过点作垂线五种基本作图，以步骤、图示、依据结合的表格形式构建知识体系。通过考点深度梳理、即时分层练习、中考真题精讲等环节，帮助学生突破作图原理与步骤难点，体现复习的系统性和针对性。 资料亮点在于融合几何直观与推理意识，如“作一个角等于已知角”时，通过对比步骤中半径选择（OP长、PQ长）强化全等三角形依据。设置“基础过关+真题挑战”分层训练，配合5分钟步骤复述活动，提升学生空间观念和规范作图能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考技能。

第二讲　投影与视图 考点一　投影 ❶ 投影:一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影. ❷ 平行投影:由①　　　　光线(如太阳光线)形成的投影.  ❸ 中心投影:由同一点(点光源,如手电筒、电灯泡)发出的光线形成的投影叫做中心投影. ❹ 正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影,正投影是一种特殊的②　　　　.  同一时刻,同一地点太阳光下物高和其影长成正比,但灯光下物高和其影长不具备这样的性质. 1.小亮同学在教学活动课中,用一块长方形硬纸板在阳光下做投影试验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是(　　) A.线段　　　　 B.三角形 C.平行四边形 D.正方形 考点二　几何体的三视图 ❶ 三视图的概念及画法 概念 主视图 正投影情况下,在正面内得到的由前向后观察物体的视图 左视图 正投影情况下,在侧面内得到的③　　　　观察物体的视图  俯视图 正投影情况下,在水平面内得到的由上向下观察物体的视图 画法 位置和 大小 主视图和俯视图要长对正; 主视图和左视图要高平齐; 左视图和俯视图要宽相等 虚实 看得见的部分的轮廓线通常画成④　　　　线,看不见的部分的轮廓线通常画成⑤　　　　线  ❷ 几种常见几何体的三视图 长方体 正方体 圆柱 圆锥 三棱柱 三棱锥 球 对常见几何体的组合体,在判断其三视图时,要注意分清每一部分的三视图形状,然后根据其摆放位置及各部分大小决定组合体的具体视图. ❸ 由三视图还原几何体 2.如图所示的几何体的主视图是(　　),俯视图是(　　),左视图是(　　) A　　 B C　　 D 3.由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示,则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是　　　　个.  4.如图是由8个相同的小正方体搭成的几何体,请你在对应位置画出它的三视图. 考点三　立体图形的展开与折叠 ❶ 常见几何体的展开图 几何体 展开图 示例 圆柱 两个等圆和一个⑥　　　  圆锥 一个圆和一个⑦　　　  正方体 六个全等的⑧　　　  三棱柱 两个全等的三角形和三个矩形 ❷ 正方体展开图的常见类型及相对面 (1)“一四一”型.巧记:中间四个面(上、下各一面). (2)“一三二”型.巧记:中间三个面(一、二隔河见). (3)“二二二”型.巧记:中间两个面(楼梯天天见). (4)“三三”型.巧记:中间没有面(三、三连一线). (注:相同颜色表示相对的面) 正方体展开图,相对的面一定不相邻或者没有公共点,在展开图中不能出现“”“”图形;若出现“”类型,则另两面必须在两侧,可借助此方法来排除错误选项. ❸ 立体图形的折叠 一个几何体能展开成一个平面图形,这个平面图形可以折叠成相应的几何体,展开与折叠是一对互逆过程. 5.下列图形中,不是三棱柱展开图的是(　　) A B C D 6.如图,将图中剪去一个正方形,使剩余的部分恰好能折成一个正方体,应剪去　　　　号小正方形.(写出一种情况即可)  7.一个正方体的展开图如图,把它折成正方体后,与“我”字相对的字是　　　,与“要”字相对的字是　　　,与“细”字相对的字是　　　,与“要”字相邻的字是　　　　　　　.  一个几何体的三视图如图所示. (1)这个几何体的名称是　　　　,其侧面积为　　　　.  (2)画出它的一种表面展开图. (3)求出左视图中AB的长. (1)由三视图可知该几何体的名称,并计算出侧面积. (2)直接画出展开图即可. (3)AB的长是等边三角形EFG底边上的高,根据勾股定理求解即可. 如图,小树AB在路灯O的照射下形成投影BC. (1)此光源下形成的投影属于　　　　(填“平行投影”或“中心投影”).  (2)已知树高AB为2 m,树影BC为3 m,树与路灯的水平距离BP为4.5 m.求路灯的高度OP. (1)由平行投影、中心投影的定义确定答案. (2)根据AB∥OP得到△ABC∽△OPC,从而得到线段成比例,从而求出结果. 命题点一　三视图 一、三视图的判断 ❶ (2025·河北)一个几何体由圆柱和正方体组成,其主视图、俯视图如图所示,则其左视图为(　　) A B C D ❷ (2025·河北样卷)下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成,它们的左视图中与其他三个不同的是(　　) A B C D ❸ (2019·河北)图2是图1中长方体的三视图,若用S表示面积,且S主=x2+2x,S左=x2+x,则S俯=(　　) A.x2+3x+2 B.x2+2 C.x2+2x+1 D.2x2+3x 二、由三视图还原几何体 ❹ (2018·河北)图中三视图对应的几何体是(　　) 　A　 B C　 D ❺ (2023·河北)如图1,一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体,要得到一个几何体,其主视图和左视图如图2,平台上至少还需再放这样的正方体(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 命题点二　立体图形的展开与折叠 一、几何体的认识 ❻ (2022·河北)如图,①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体,若组合其中的两个,恰是由6个小正方体构成的长方体,则应选择(　　) ①　 ②　 ③　 ④ A.①③ B.②③ C.③④ D.①④ 二、立体图形的展开与折叠 ❼ (2021·河北)一个骰子相对两面的点数之和为7,它的展开图如图,下列判断正确的是(　　) A.A代表 B.B代表 C.C代表 D.B代表 ❽ (2025·威海)如图,小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开,得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为12 cm,则折成立方体的棱长为　　　　 cm.  【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①平行　②平行投影　③由左向右 ④实　⑤虚　⑥矩形　⑦扇形　⑧正方形 即时练 1.B　2.C　A　B 3.4　解析:由题意可知该几何体为两层三列,最低层最少为3个,第二层为1个, 搭成该几何体所用的小正方体的个数最少时,俯视图的一种情况如图, ∴最少由4个小正方体搭成. 4.解:如图所示. 5.D　6.1(或2或6) 7.心　查　检　我、细、心、检 重点难点·一题串讲 例1:解:(1)正三棱柱　72 (2)展开图如图(答案不唯一). (3)如图,在△EFG中,过点E作EH⊥FG于点H, 则FH=2,EH==2, 故左视图中AB的长为2. 例2:解:(1)中心投影 (2)∵AB⊥PC,PO⊥PC, ∴OP∥AB,∴△ABC∽△OPC, ∴,即, 解得OP=5, ∴路灯的高度OP为5 m. 河北中考·考向体验 1.A 2.B　解析:A选项的左视图为,B选项的左视图为,C选项的左视图为,D选项的左视图为.故选B. 3.A　解析:∵S主=x2+2x=x(x+2),S左=x2+x=x(x+1),∴俯视图的长为(x+2),宽为(x+1), ∴俯视图的面积S俯=(x+2)(x+1)=x2+3x+2.故选A. 4.C 5.B　解析:由题意画出草图,如图, 故平台上至少还需再放这样的正方体2个.故选B. 6.D 7.A　解析:根据正方体的展开图可知,相对的面之间一定相隔一个正方形,A和点数是1的面相对,B和点数是2的面相对,C和点数是4的面相对.∵骰子相对两面的点数之和为7,∴A代表的点数是6,B代表的点数是5,C代表的点数是3.故选A. 8.　解析:如图,设BC=x cm,则AB=AE=(12-x) cm,BD=x cm,BE=4x cm,在Rt△ABE中,由勾股定理得,AE2+AB2=BE2,即(12-x)2+(12-x)2=(4x)2,解得x=或x=-4(舍去),所以折成立方体的棱长为 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲　图形的对称 考点一　轴对称图形与中心对称图形 项目 轴对称图形 中心对称图形 图形 判断 方法 (1)有对称轴——直线. (2)图形沿对称轴折叠,对称轴两边的图形完全①　　   (1)有对称中心——点. (2)图形绕对称中心旋转②　　　,旋转前后的图形完全重合  常见的轴对称图形:等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等; 常见的中心对称图形:平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等; 常见的既是轴对称图形,又是中心对称图形的图形:菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 考点二　轴对称与中心对称 项目 轴对称 中心对称 图形 性质 1.成轴对称的两个图形是全等图形. 2.对称点所连线段被对称轴垂直平分 1.成中心对称的两个图形是全等图形. 2.对称点所连线段都经过对称中心,并且被对称中心平分 作图 方法 1.找出原图形的关键点,作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点. 2.根据原图形依次连接各对称点即可 考点三　图形的折叠 实质 折叠问题就是轴对称变换 性质 1.位于折痕两侧的图形关于折痕对称. 2.折叠前后的两部分图形③　　　,对应边、角、线段、周长、面积等均④　　　　.  3.折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分 1.(冀教八上P110练习T1变式)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A　　 B C　　 D 2.如图,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,点A,B,C的对称点分别为D,E,F.下列结论不一定正确的是(　　) A.AD⊥BE B.AO=DO C.AB∥DE D.△ABC≌△DEF 3.如图,矩形ABCD中,AD=8,AB=6,将矩形ABCD沿BD折叠,点A的对应点为A',BC与DA'的交点为G. (1)BG与DG的数量关系是　　　　.  (2)连接AA',则AA'的长度为　　　　.  图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格,已有两个小菱形涂上了黑色,请你再涂黑两个小菱形,使得整个涂色部分图形满足下列条件: (1)图1中,整个涂色部分图形为轴对称图形,但不是中心对称图形. (2)图2中,整个涂色部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形. 根据轴对称图形和中心对称图形的定义作图即可. 如图,在正方形网格中,△ABC三个顶点在格点上,每个小方格的边长为1个单位长度. (1)请在正方形网格中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1. (2)连接BB1,CC1,求四边形BB1C1C的面积. (3)请在直线l找一点P,使得PA=PB. (1)利用轴对称图形定义画出图形即可. (2)观察图形可知四边形BB1C1C为等腰梯形,利用梯形面积公式即可求出. (3)作线段AB的垂直平分线交直线l于点P,则此时PA=PB. 命题点一　轴对称图形与中心对称图形 ❶ (2025·龙东地区)我国古代有很多关于数学的伟大发现,其中包括很多美丽的图案,下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A.杨辉三角 B.割圆术示意图 C.赵爽弦图 D.洛书　 ❷ (2018·河北)图中由“○”和“□”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线(　　) A.l1 B.l2 C.l3 D.l4 ❸ (2019·河北)如图,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形,使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为(　　) A.10 B.6 C.3 D.2 命题点二　轴对称与中心对称 ❹ (2024·河北)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是(　　) A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD 命题点三　图形的折叠 ❺ (2025·河北样卷)如图,▱ABCD中,AB=5,AD=8,将▱ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上A'处.若A'C=5,则BD长为(　　) A.8 B.5 C.7.8 D.3 ❻ (2025·西宁)如图,点E是正方形ABCD的边BC的中点,连接DE,将△EDC沿DE所在直线折叠,点C落在点F处,连接EF并延长交AB于点G,连接DG. (1)求证:△ADG≌△FDG. (2)若AB=2,求AG的长. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①重合　②180°　③全等　④相等 即时练 1.B　解析:A.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;B.该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,符合题意;C.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;D.该图形是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意.故选B. 2.A　解析:∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称,∴AO=DO,BO=EO,△ABC≌△DEF,故B,D选项正确,不符合题意;∵∠AOB=∠DOE,∴△AOB≌△DOE(SAS),∴∠BAO= ∠EDO,∴AB∥DE,故C选项正确,不符合题意;根据已知条件不能得出AD⊥BE,故A选项不一定正确,符合题意.故选A. 3.(1)BG=DG　(2) 解析:(1)∵△A'BD是由△ABD折叠得到, ∴∠ADB=∠A'D B.∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC, ∴∠A'DB=∠DBG,∴BG=DG. (2)如图,由折叠的性质可知,AA'⊥BD,设AA'与BD交于点E.∵AD=8,AB=6 ,∴根据勾股定理可得BD=10,由面积关系可得,AB·AD=BD·AE,∴AE=,∴AA'=2AE=. 重点难点·一题串讲 例1:解:(1)如图1所示(答案不唯一). (2)如图2所示(答案不唯一). 例2:解:(1)△A1B1C1如图1所示. (2)如图2所示,易知四边形BB1C1C为等腰梯形, ∵每个小方格的边长为1个单位长度,∴BB1=6,CC1=8,∴四边形BB1C1C的面积为(6+8)×2÷2=14. (3)作线段AB的垂直平分线交直线l于点P,则此时PA=PB,如图3所示,点P即为所求. 河北中考·考向体验 1.B　2.C 3.C　解析:如图所示,n的最小值为3.故选C. 4.A　解析:如图,连接AC,BD, ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称, ∴△ABO≌△CDO,PQ⊥AC,PQ⊥BD,∴AC∥BD,故B,C,D选项正确,AD不一定垂直于BC,故A选项不一定正确.故选A. 5.C　解析:如图,过点C作CF⊥BD于点F,过点A'作A'E⊥BD于点E,则∠A'EB=∠A'ED=∠CFB=∠CFD=90°, 由题意可得AB=CD=5,AD=BC=8,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,由折叠的性质可得AB=A'B=5,AD=A'D=8,∠ADB=∠A'DB,∴AB=A'B=CD=5,AD=A'D=BC=8,∠ADB=∠A'DB=∠CBD,∵∠A'ED=∠CFB=90°,∠A'DE=∠CBF, A'D=CB=8,∴△DA'E≌△BCF(AAS),∴A'E=CF,DE=BF,∴DE-EF=BF-EF,即DF=BE,∵∠A'ED=∠CFB=90°, ∴A'E∥CF,∵A'E=CF,∴四边形A'EFC是矩形,∴A'C=EF=5,设DF=BE=x,则BF=EF+BE=5+x,BD=DF+BF=5+2x,∴CF2=BC2-BF2=82-(5+x)2,又CF2=DC2-DF2=52-x2,∴82-(5+x)2=52-x2,∴x=1.4,∴BD=5+2x=7.8.故选C. 6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=90°,AB=BC=CD=AD, 由折叠可得DF=DC,∠DFE=∠C=90°, ∴AD=FD,∠DFG=180°-∠DFE=90°, 在Rt△ADG和Rt△FDG中, ∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL). (2)∵BC=AB=2,点E是BC的中点, ∴BE=CE=BC=, 由折叠可得EF=CE=, ∵Rt△ADG≌Rt△FDG, ∴AG=FG. 设AG=FG=x,则GB=AB-AG=2-x,GE=GF+EF=x+, ∵在Rt△GBE中,GB2+BE2=GE2, ∴(2-x)2+()2=(+x)2, 解得x=,∴AG=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲　图形的平移与旋转 考点一　图形的平移 定义 在平面内,一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置,这样的图形运动叫做平移 要素 平移方向和平移距离 性质 1.平移前后,对应线段①　　　　、对应角②　　　　.  2.各对应点所连接的线段③　　　　(或在同一条直线上)且相等,对应点的距离④　　　　平移的距离.  3.平移前后的图形全等 (1)根据题意,确定平移的方向和距离. (2)找出原图形的关键点. (3)按平移方向和距离平移各关键点,得到各关键点的对应点. (4)按原图形依次连接各关键点的对应点,得到平移后的图形. 1.(冀教七下P56例变式)如图,将△ABC沿BC方向平移3 cm得到△DEF.若∠A=55°,∠B=50°,DF= 4 cm,则AC=　　　　cm,CF=　　　　cm,∠D=　　　°,∠F=　　　　°.  考点二　图形的旋转 定义 在平面内,一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角,原图形上一点A旋转后成为点A',这样的两个点叫做对应点 要素 旋转中心、旋转方向和⑤　　　  性质 1.对应点到旋转中心的距离⑥　　　　.  2.对应点与旋转中心连线所成的夹角等于⑦　　　　.  3.旋转前后的图形⑧　　　  (1)根据题意,确定旋转中心、旋转方向和旋转角度. (2)找出原图形的关键点. (3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向和旋转角度将它们旋转,得到各关键点的对应点. (4)按原图形依次连接各关键点的对应点,得到旋转后的图形. 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转,得到△EDC,点D落在AB边上,DE交AC边于点F. (1)旋转中心为　　　　,DE=　　　　,∠CDE=　　　　°.  (2)∠CFE=　　　　°.  (3)AD=　　　　.  (4)请写出图中的全等三角形和相似三角形:   　.  如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC.若点A落在AB边上的点D处. (1)请作出△DEC. (2)点B的对应点是　　　　,BC 的对应线段是　　　　.  (3)判断△ACD的形状,并说明理由. (4)若AD=CD,求∠B和∠BCE的度数. (5)求证:DC平分∠ADE. (6)连接BE,判断BE与AB的位置关系,并说明理由. (1)根据旋转的性质及尺规作图方法作出即可. (2)根据旋转前后的图形全等,从而确定出对应点和对应线段. (3)根据旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等,从而得到△ACD的形状. (4)当AD=CD时,在(3)的结果上判断出△ACD的形状,从而得到∠B和∠BCE的度数. (5)根据旋转的性质:旋转前后的图形全等,从而确定出对应线段和对应角,即可求解. (6)根据旋转的性质:对应点与旋转中心连线所成的夹角等于旋转角,结合三角形的内角和定理即可求解. 命题点一　图形的平移 ❶ (2024·河北)平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移),每次平移1个单位长度. 例:“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后,到达点P3(2,2),其平移过程如下:P3(2,2). 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点Q16(-1,9),则点Q的坐标为(　　) A.(6,1)或(7,1) B.(15,-7)或(8,0) C.(6,0)或(8,0) D.(5,1)或(7,1) ❷ (2025·凉山州)如图,将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF,连接AD,则四边形ABFD的周长为　　　　.  命题点二　图形的旋转 ❸ (2025·河北样卷)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转α°得到△AB'C'.当点B,C,B'在同一直线上,∠BAC=100°,α=150时,∠C'=(　　) A.60° B.65° C.70° D.75° ❹ (2025·天津)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',点B,C的对应点分别为B',C',B'C'的延长线与边BC相交于点D,连接CC'.若AC=4,CD=3,则线段CC'的长为(　　) A. B. C.4 D. ❺ (2021·河北讲选)在一平面内,线段AB=20,线段BC=CD=DA=10,将这四条线段顺次首尾相接.把AB固定,让AD 绕点A从AB开始逆时针旋转角 α(α>0°)到某一位置时,BC,CD将会跟随出现到相应的位置. 【论证】如图,当AD∥BC时,设AB与CD交于点O,求证:AO=10. 【发现】当旋转角α=60°时,∠ADC 的度数可能是多少? 【尝试】取线段CD的中点M,当点M与点B的距离最大时,求点M到AB的距离. ❻ (2022·河北讲选)如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,∠C=30°,AD=3,AB=2,DH⊥BC于点H.将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内,使点P与点A重合,点B在PM上, 其中∠Q=90°,∠QPM=30°,PM=4. (1)求证:△PQM≌△CHD. (2) △PQM从图1的位置出发, 先沿着BC方向向右平移(图2),当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图3),当边PM旋转50°时停止.边PQ从平移开始,到绕点D旋转结束,求边PQ扫过的面积. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①相等　②相等　③平行　④等于 ⑤旋转角度　⑥相等　⑦旋转角 ⑧全等 即时练 1.4　3　55　75 2.(1)点C　4　60　(2)90　(3)2 (4)△ABC≌△EDC,△ADF≌△CDF,△ADF∽△ABC∽△EDC∽△ECF∽△CDF 重点难点·一题串讲 例:解:(1)如图1,△DEC即为所求. (2)点E　EC (3)△ACD是等腰三角形.理由如下: ∵AC=CD, ∴△ACD是等腰三角形. (4)∵AC=CD,AD=CD, ∴AD=CD=AC, ∴△ACD是等边三角形, ∴∠A=∠ACD=60°. ∵∠ACB=90°, ∴∠B=90°-60°=30°. ∵∠ACB=∠DCE, ∴∠BCE=∠ACD=60°. (5)证明:∵将△ABC绕点C逆时针旋转,使点A落在AB边上的点D处,得到△DEC,∴∠A=∠CDE,AC=CD, ∴∠A=∠CDA,∴∠CDA=∠CDE,即DC平分∠ADE. (6)BE⊥AB.理由如下:如图2, ∵∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠ABC=90°. 由题意,得∠ACD和∠BCE均为旋转角, ∴∠ACD=∠BCE. ∵AC=CD,BC=CE, ∴∠CAD=∠ADC=, ∠CBE=∠CEB=, ∴∠CAD=∠CBE , ∴∠CBE+∠ABC=90°, ∴∠ABE=90°,即BE⊥AB. 河北中考·考向体验 1.D　解析:当点Q的余数(“余数”指横、纵坐标之和除以3所得的余数)分别为0,1,2时,平移规律如下: 点Q的余数为0时 点Q的余数为1时 点Q的余数为2时 先向右平移1个单位长度,再向上、向左循环 向上、向左循环 向左、向上循环 由上可知,当点Q的余数为0时,连续平移16次后的余数为2;当点Q的余数为1时,连续平移16次后的余数为1;当点Q的余数为2时,连续平移16次后的余数为2.设Q(m,n).∵Q16的余数为2,∴分两种情况讨论:①当点Q的余数为0时,点Q向右平移1个单位长度后,得到点Q1(m+1,n),结合平移规律知Q16的坐标为(m+1-7,n+8),即(m-6,n+8),∴m-6=-1,n+8=9,解得m=5,n=1,∴Q(5,1).②当点Q的余数为2时,由平移规律知Q16的坐标为(m-8,n+8),∴m-8=-1,n+8=9,解得m=7,n=1,∴Q(7,1).故选D. 2.24　解析:由条件可知DF=AC,AD=CF=2, ∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD=△ABC的周长+AD+CF=20+2+2=24. 3.B　解析:由题意可得AB=AB',∠BAB'=150°,∴∠B=∠AB'B=(180°-150°)÷2=15°,∴∠AB'C'=∠B=15°, 又∠B'AC'=∠BAC=100°,∴∠C'=180°-100°-15°=65°.故选B. 4.D　解析:如图,连接AD,交CC'于点O, 由旋转的性质得AC'=AC=4,∠AC'B'=∠ACB=90°,∴∠AC'D=90°, 在Rt△AC'D和Rt△ACD中, ∴Rt△AC'D≌Rt△ACD(HL), ∴C'D=CD=3,∴AD垂直平分CC',∴CC'=2OC, AD⊥CC'. ∵∠ACB=90°,AC=4,CD=3, ∴AD==5.∵S△ACD=CD·AC=AD·OC,∴OC=,∴CC'=2×.故选D. 5.解:【论证】证明:∵AD∥BC, ∴∠A=∠B,∠C=∠D. 在△AOD和△BOC中, ∴△AOD≌△BOC(ASA). ∴AO=BO. ∵AO+BO=AB=20, ∴AO=AB=10. 【发现】如图1,当A,B,C三点共线时, △ADC是等边三角形. ∴∠ADC=60°. 如图2,当A,B,C三点不共线时,取AB中点O,连接OD,有AD=AO=OD=BO=BC=CD=10,即四边形BCDO为菱形,从而CD∥AB, ∴∠ADC=180°-60°=120°. ∴∠ADC的度数可能是60°或120°. 【尝试】取线段CD的中点M,当点M与点B距离最大时,D,C,B三点共线,如图3,过点D作DQ⊥AB于点Q,过点M作MN⊥AB于点N. 由已知可得AD=10,BD=BC+CD=20,BM=CM+BC=15, 设AQ=x,则BQ=20-x. ∵AD2-AQ2=DQ2=BD2-BQ2, ∴100-x2=400-(20-x)2, 解得x=,∴AQ=, ∴DQ=. ∵DQ⊥AB,MN⊥AB, ∴MN∥DQ, ∴△BMN∽△BDQ,∴, 即,∴MN=, ∴点M到AB的距离为. 6.解:(1)证明:由题意可知,四边形ABHD是矩形,∴AB=DH=2,∠DHB=∠DHC=90°.在Rt△AQM中,∠Q=90°, ∠QAM=30°,AM=4,∴QM=AM=2. ∴QM=HD. 在△PQM和△CHD中, ∴△PQM≌△CHD(AAS). (2)如图,边PQ扫过的面积=平行四边形AQQ'D的面积+扇形Q'DQ″的面积.此时QQ'=3,且QQ'⊥AQ'. ∵AQ=QM=6, ∴AQ'=AQ·cos 30°=3.∴边PQ扫过的面积=3×3=9+5π. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项21　图形的裁剪与拼接 ❶ 如图是四张完全相同的三角形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的矩形,则满足题意的三角形的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 ❷ 如图,有一块菱形纸片ABCD,沿高DE剪下后拼成一个矩形,矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5,3,则EB的长是(　　) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 ❸ 如图,将正六边形纸片的空白部分剪下,得到三部分图形,记Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ部分的面积分别为SⅠ,SⅡ,SⅢ.给出以下结论:①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形;②Ⅲ中最大的内角是150°;③SⅢ=2(SⅠ+SⅡ).其中正确的是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ ❹ 如图,现有一张三角形纸片ABC,BC=8,S△ABC=28,点D,E分别是AB,AC的中点,点M是DE上一定点,点N是BC上一动点,将纸片依次沿DE,MN剪开,得到Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ三部分,将Ⅱ绕点D顺时针旋转,使DB与DA重合,将Ⅲ绕点E逆时针旋转,使EC与EA重合,拼成了一个新的图形,则这个新图形周长的最小值是(　　) A.15 B.20 C.23 D.30 ❺ 一燕尾形纸片ABCD如图1所示,CD=CB=4,延长BC,DC,分别交AD,AB于点E,F,如图2,沿CE,CF剪开纸片,恰好拼成一个正方形AC'CC″,如图3,则在图1中: (1)∠BCD=　　　　°.  (2)AD=　　　　.  ❻ 如图1,有一张三角形纸片,记为△ABC,其中AB=AC=5,BC=6,D为边BC的中点.将三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,如图2所示.若将这两个三角形拼成一个四边形,则该四边形的较长的对角线长为　　　　　　.  ❼ 有三个大小一样的正六边形,可按下列方式进行拼接: 方式1:如图1;方式2:如图2. (1)若有六个边长均为1的正六边形,采用方式1拼接,则所得图案的外轮廓的周长是　　　　.  (2)有n个边长均为1的正六边形,采用上述两种方式中的一种或两种方式混合拼接,若所得图案的外轮廓的周长为18,则n的最大值为　　　　.  ❽ 如图1,将一张等腰三角形纸片ABC沿虚线剪开,得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片.小博按图2方式拼接,恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形;小雅按图3方式拼接,也拼出一个矩形FHIK,但由于两个四边形纸片有重叠(阴影)部分,整个面积减少了5 cm2.若AE∶DE=5∶3,则tan C=　　　　,矩形FHIK的面积为　　　　 cm2.  ❾ 情境　图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的.该纸片通过裁剪,可拼接为图2所示的钻石型五边形,数据如图所示. (说明:纸片不折叠,拼接不重叠、无缝隙、无剩余) 操作　嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪,拼成了钻石型五边形. 如图3,嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪,将该纸片剪成①②③三块,再按照图4所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程,解答问题: (1)直接写出线段EF的长. (2)直接写出图3中所有与线段BE相等的线段,并计算BE的长. 探究　淇淇说:将图1所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼成钻石型五边形. 请你按照淇淇的说法设计一种方案:在图5所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规),画出裁剪线(线段PQ)的位置,并直接写出BP的长. 【详解答案】 1.D 2.B　解析:∵四边形ABCD是菱形,DC=5,∴AD=AB=5.∵DE=3,∠DEA=90°,∴AE=4,∴EB=5-4=1.故选B. 3.B　解析:将正六边形纸片分割成6个全等的三角形,如图,于是Ⅰ部分、Ⅱ部分相当于1个这样的三角形,Ⅲ部分相当于4个这样的三角形,因此Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形,故①正确;Ⅲ中最大的内角是=120°,故②错误;SⅢ=2(SⅠ+SⅡ),故③正确.故选B. 4.C　解析:如图,过点A作AJ⊥BC于点J,交DE于点O, 由题意知旋转后得到的新图形是平行四边形GHPQ,其周长为2DE+BC+2MN.∵AD=DB,AE=EC,∴DE∥BC,DE=BC=4,S△ABC=BC×AJ=28,∴AJ=7.∵AD=DB, DE∥BC,∴AO=OJ=,∴四边形GHPQ的周长为16+2MN,∴当MN最小时,周长的值最小.根据垂线段最短可知MN的最小值为,∴四边形GHPQ的周长的最小值为16+7=23.故选C. 5.(1)90　(2)4　解析:(1)由题意得∠ECF=∠ECD=∠BCD=∠BCF=90°. (2)由题意得DC=2EC=4,∴EC=2,∵∠ECD=90°,∴AE=ED==2, ∴AD=2AE=4. 6.2或5或　解析:如图,有图1~图4共4种不同的拼法, 如图1,连接BC,过点C作CH⊥BD交BD的延长线于点H,则四边形ADHC是矩形,显然拼成的四边形较长的对角线为BC,由题意,得BD=3,BH=BD+DH=6,∴CH=AD==4,∴BC==2;如图2,连接DE,由题意和拼法可知,四边形ADBE是矩形,∴AB=DE=5; 如图3,连接DE交AB于点F,易知AB是DE的垂直平分线,∴DF=,∴DE=,∵5>,∴较长的对角线长为5;如图4,连接AE,过点E作EH⊥AD交AD的延长线于点H,则四边形BEHD是矩形,显然拼成的四边形较长的对角线为AE,∵AH=2AD=8,EH=BD=3,∴AE=.综上,拼成的四边形的较长的对角线长为2或5或. 7.(1)26　(2)7　解析:(1)六个边长均为1的正六边形,采用方式1拼接,所得图案的外轮廓的周长是5×2+4×4=26. (2)所得图案的外轮廓的周长为18,且n的值最大时,图案如图所示,则n的最大值为7. 8.　　解析:如图1, 依题意得,AD为等腰三角形ABC底边上的高,EG∥BC,∴△AGE∽△ACD,∴GE∶CD=AE∶AD,∵AE∶DE=5∶3,∴AE∶AD=5∶8,∴GE∶CD=5∶8,设GE=5a,CD=8a,a>0,由图2可知AG=RS=GE+CD=13a,在Rt△AGE中,AG=13a,GE=5a,由勾股定理得AE==12a,∴tan C=tan∠AGE=.在图1中,EG∥BC,AG=13a,AE=12a,∴AG∶GC=AE∶DE=5∶3,∴GC=·AG=,DE=·AE=.对比图1和图2得QR=GC=, RN=GE=5a,QM=AE=12a,∴QN=QR+RN=+5a=.对比图1和图3得FH=AE=12a,FO=GE=5a,OK=DE=, ∴FK=FO+OK=5a+.∵S矩形MQNS=S矩形FHIK+5,∴QM·QN=FH·FK+5,即12a·=12a·+5,整理得36a2=25,∵a>0,∴a=,∴FH=12a=10 cm,FK= cm,∴S矩形FHIK=FH·FK=10×(cm2). 9.解:操作　(1)线段EF的长为1. 解析:如图,过点G'作G'K⊥FH'于点K, 结合题意可得,四边形FOG'K为矩形, ∴FO=KG', 由拼接可得HF=FO=KG', 由正方形的性质可得∠A=45°, ∴△AHG,△H'G'D,△AFE都为等腰直角三角形, ∴△G'KH'为等腰直角三角形. 设H'K=KG'=x, 则H'G'=H'D=x, ∴AH=HG=x,HF=FO=x, ∵正方形的边长为2, ∴对角线的长为=2, ∴OA=, ∴x+x+x=, 解得x=-1, ∴EF=AF=(+1)x=(+1)×(-1)=1. (2)题图3中与线段BE相等的线段有GE,GH,AH. ∵△AFE为等腰直角三角形,EF=AF=1, ∴AE=EF=, ∴BE=AB-AE=2-. 探究　如图,以B为圆心,BO的长为半径画弧,交BC于点P,交AB于点Q,则线段PQ即为所求作的裁剪线, 或以C为圆心,CO的长为半径画弧,交BC于点P',交CD于点Q',则线段P'Q'即为所求作的裁剪线. BP的长为或2-. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项22　几何图形中的最值问题 方法一　利用“垂线段最短”求最值 情形1:点A是直线l外一定点,在直线l上找一点P,使AP的长最短. 解题思路:过点A作AP⊥l于点P,此时AP的长最短. 情形2:已知定点P和∠AOB,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得PM+MN的值最小. 解题思路:作定点P关于OA的对称点P',过点P'作OB的垂线,交OA于点M,交OB于点N,此时PM+MN的值最小,最小值为P'N的长. ❶ 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,E是AD上一点,AE=3,P是BC上一动点,连接AP,取AP的中点F,连接EF,则线段EF的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 ❷ 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=12,AC=16,点E是CD边上的一动点,过点E作EF⊥OC于点F,作EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为　　　　.  ❸ 如图,在△ABC中,AB=6,∠BAC=30°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为　　　　.  ❹ 如图,在矩形ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,若点M,N分别是线段DB,AB上的两个动点,则AM+MN的最小值为　　　　.  方法二　 情形:如图1,已知AB是定线段,点C是同一平面内一动点,且BC的长为定值,求AC的最大值和最小值. 解题思路:在△ABC中,AB-BC<AC<AB+BC. 如图2,当A,C,B三点共线,且点C在点B左侧时,AC的值最小,最小值为AB-BC; 如图3,当A,B,C三点共线,且点C在点B右侧时,AC的值最大,最大值为AB+BC. ❺ 如图,已知点C是半圆AB的中点,直径AB=4,点D是上的动点,连接AD,过点C作CE⊥AD于点E,连接BE,则BE的最小值为　　　　.  ❻ 如图,∠MON=90°,正方形ABCD的顶点A,B分别在OM,ON上.当点A在边OM上运动时,点B随之在ON上运动.已知AB=2,则在点A,B运动的过程中,正方形的顶点D到点O的最远距离是　　　　.  ❼ 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M是平面内一动点,且满足BM=2,N为MD的中点,则在点M运动过程中,线段CN长度的最大值是　　　　.  方法三　利用“将军饮马”求最值 情形1:已知两定点A,B在直线l的同侧,在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小. 解题思路:作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点P,此时PA+PB的值最小,最小值为线段AB'的长. 情形2:已知两定点A,B在直线l的异侧,在直线l上求一点P,使|PA-PB|的值最大. 解题思路:作点B关于直线l的对称点B',连接AB'并延长交直线l于点P,此时|PA-PB|的值最大,最大值为线段AB'的长. 情形3:已知定点P和∠AOB,点M是OA上一动点,点N是OB上一动点,求△PMN周长的最小值. 解题思路:分别作点P关于OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″分别交OA,OB于点M,N,此时△PMN的周长最小,最小值为P'P″的长. ❽ 如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=10,点E在AB上,且AE=AB,过点E作EF∥BC交CD于F,点P是EF上一动点,则PB+PC的最小值是　　　　.  ❾ 如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN=　　　　.  ❿ 如图,已知∠AOB=30°,点P是∠AOB内部的一点,且OP=4,点M,N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN的周长的最小值是　　　　.  ⓫ 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,O为对角线AC的中点,点P在AD边上,且AP=2,点Q在BC边上,连接PQ与OQ,则PQ-OQ的最大值为　　　　.  【详解答案】 1.A　解析:如图,过点P作PM∥EF交AD于点M,由条件可知EF是△APM的中位线,∴AM=2AE=6,PM=2EF,∴当PM取得最小值时,EF最小,当PM⊥AD时,PM最小,此时PM=AB=6,∴EF最小=PM最小=×6=3.故选A. 2.4.8　解析:如图,连接OE, ∵四边形ABCD是菱形,AC=16,BD=12,∴AC⊥BD,AD=DC,OC=OA=8,OB=OD=6,∴∠COD=90°, ∴CD==10.∵EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,∴∠EFO=∠EGO=90°, ∴四边形OGEF是矩形,∴OE=GF,∴当OE⊥DC时,GF的值最小,此时,S△ODC=OD·OC=DC·OE, ∴OD·OC=DC·OE,即6×8=10OE,∴OE=4.8,∴FG的最小值为4.8. 3.3　解析:如图,过点B作BH⊥AC,垂足为H,交AD于点M',过点M'作M'N'⊥AB,垂足为N',则BM'+M'N'为所求的最小值. ∵AD平分∠BAC,∴M'H=M'N', ∴BM+MN的最小值是BM'+M'N'=BM'+M'H=BH=AB=3. 4.15　解析:如图,作点A关于BD的对称点A',连接AA',交BD于点G,过点A'作A'N⊥AB于点N,交BD于点M,此时AM+MN最小.∵四边形ABCD为矩形,BC=10,∠ABD=30°,∴AD=10,BD=20,AB=BD·cos 30°=10. ∵AG·BD=AD·AB,即20AG=10×10,∴AG=5,AA'=2AG=10.∵AA'⊥BD,A'N⊥AB, ∠A'MG=∠BMN,∴∠AA'N=∠ABD=30°,∴A'N=AA'·cos 30°=10=15,即AM+MN的最小值为15. 5.2-2　解析:∵CE⊥AD,∴∠AEC=90°,如图,取AC的中点M,连接ME,BM,BC. 则ME=AC,∵点C是半圆AB的中点,AB是直径,∴∠ACB=90°,AC=BC.由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∵AB=4,∴2AC2=(4)2,即2AC2=32,AC2=16,∴BC=AC=4,∴ME=MC=MA=2,∴点E在以M为圆心,2为半径的圆上. ∵∠ACB=90°,∴BM==2.∵点E在以M为圆心,2为半径的圆上,∴BE的最小值为BM-2=2-2. 6.1+　解析:如图,取AB的中点E,连接OD,OE,DE, ∵∠MON=90°,AB=2,∴OE=AE=AB=1.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB=2, ∴DE=, 易知OD≤OE+DE,当OD过点E时,等号成立,DO的值最大,最大值为1+. 7.　解析:如图,连接BD,取BD中点E,连接CE,NE,则CN≤EN+CE,当C,E,N三点共线时,CN取得最大值,且最大值为EN+CE.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=3,∠BCD=90°.∵BM=2,∴NE=BM=1.在Rt△BCD中,由勾股定理得BD==5,∵E是BD的中点,∠BCD=90°,∴CE=BD=,∴EN+CE=1+,∴CN的最大值为. 8.2　解析:矩形ABCD中,AB=8,BC=10,点E在AB上,且AE=AB,∴AE=2,∴BE=6.如图,作点B关于直线EF的对称点B',连接B'C,B'P,则PB+PC≥B'C,当B',P,C三点共线时,PB+PC的值最小,∵B'E=BE=6,∴B'B=12, ∴B'C==2,∴PB+PC的最小值是2. 9.80°　解析:如图,作点P关于OA的对称点E,连接EP,EO,EM,OP, 则EM=MP,∠MPO=∠OEM,∠EOM=∠MOP,作点P关于OB的对称点F,连接NF,PF,OF, 则PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF, ∴PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF,当E,M,N,F共线时,△PMN的周长最小, ∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,∠AOB=∠MOP+∠PON,∴∠EOF=2∠AOB, ∵∠AOB=50°,∴∠EOF=100°,∵∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°,∴∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°, ∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,∴∠MPO+∠OPN=80°,即∠MPN=80°. 10.4　解析:如图,分别作点P关于OA,OB的对称点D,C,连接CD,分别交OA,OB于点M,N,连接OC,OD. 则PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA,PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB, ∴OC=OD=OP=4,∠COD=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,∴△COD是等边三角形, ∴CD=OC=OD=4.∴△PMN的周长的最小值为PM+MN+PN=MD+MN+CN=CD=4. 11.　解析:如图,连接PO并延长交BC于Q,此时PQ-OQ的值最大,则PQ-OQ的最大值为OP的长度. ∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC, ∠BAD=∠B=90°,BC=AD=6,∴∠PAO=∠QCO,∵O为对角线AC的中点,∴OA=OC,又∠AOP=∠COQ,∴△AOP≌△COQ,∴OP=OQ,AP=CQ,∵AP=2,∴CQ=2,过点P作PH⊥BC于点H,∴∠PHB=90°,∴四边形APHB为矩形,∴AP=BH=2,PH=AB=4,∴HQ=BC-BH-CQ=2,∴PQ==2,∴OP=OQ=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲　尺规作图 考点　五种基本尺规作图 类型 步骤 图示 作图依据 作一条线段等于已知线段(已知线段a) 1.作射线OP. 2.以点O为圆心,①　　　为半径作弧,交OP于点A,OA即为所求线段  圆上的点到圆心的距离等于半径 作一个角等于已知角(已知∠α) 1.在∠α中以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交∠α的两边于点P,Q. 2.作射线O'A'. 3.以点O'为圆心,②　　　长为半径作弧,交O'A'于点M.  4.以点M为圆心,③　　　长为半径作弧,交前弧于点N.  5.过点N作射线O'B',∠A'O'B'即为所求角 三边分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应角相等;两点确定一条直线 作一个角的平分线(已知∠AOB) 1.以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于点N,M. 2.分别以点④　　　　为圆心,以⑤　　　　　为半径作弧,两弧相交于点P.  3.作射线OP,OP即为∠AOB的平分线 作一条线段的垂直平分线(已知线段AB) 1.分别以点A,B为圆心,⑥　　　　　　为半径,在AB两侧作弧,两弧相交于M,N两点.  2.过点M,N作直线MN,直线MN即为线段AB的垂直平分线 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;两点确定一条直线 过一点作已知直线的垂线(已知点P和直线l) 1.以点P为圆心,任意长为半径在点 P两侧作弧,分别交直线l于A,B两点. 2.分别以点A,B为圆心,⑦　　　　　　为半径在直线l一侧作弧,两弧相交于点M.  3.过点M,P作直线MP,直线MP即为所求垂线 点P在直线l上 等腰三角形“三线合一”;两点确定一条直线 1.任取一点M,使点M和点P在直线l的⑧　　　　.  2.以点P为圆心,PM长为半径作弧,交直线l于A,B两点. 3.分别以点A,B为圆心,⑨　　　　　为半径作弧,两弧在点 M同侧交于点N.  4.过点P,N作直线PN,直线PN即为所求垂线 点P在直线l外 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;两点确定一条直线 1.如图1,已知∠POQ. 如图2,作∠DBE=∠POQ,步骤如下: ①以　■　为圆心,适当长为半径画弧,分别交OP,OQ于点M,N;  ②作射线BE,并以点B为圆心,　□　长为半径画弧交BE于点G;  ③以点G为圆心,　▲　长为半径画弧与②中所画弧交于点F;  ④过点F作　△　,∠DBE即为所求作的角.  以上横线上符号代表的内容正确的是(　　) A.■表示点B B.□表示ON C.▲表示ON D.△表示射线BE 2.如图,已知线段AB=4,分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,Q,连接CQ,与AB相交于点D,连接AC,BC,∠ACB=60°. (1)∠ADC=　　　　.  (2)∠ACD=　　　　.  (3)△ABC的面积为　　　.  3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB和BC于点D,E,再分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部交于点F,作射线BF交AC于点G,若CG=,则△ABG的面积为　　　　.  4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,以点A为圆心,适当的长度为半径作弧,交BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点Q,作射线AQ交BC于点D.若∠C=2∠DAC,则∠B=　　　°.  如图1~图3,在△ABC中,∠C=45°,AC>AB. (1)图1中∠PBM=　　　　°,CF　　　　BM(填“=”或“≠”).  (2)图2的基本作图是　　　　　　　　　　　　.  (3)图3中△PBC是　　　　三角形.  本题主要考察几何图形中的角度关系、基本作图方法以及三角形的分类,需要根据图形和已知条件,利用几何定理和定义来解答问题. 命题点　尺规作图 ❶ (2020·河北)如图1,已知∠ABC,用尺规作它的平分线.如图2,步骤如下,第一步:以点B为圆心,a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点 D,E;第二步:分别以点D,E为圆心,b为半径画弧,两弧在∠ABC内部交于点P;第三步:画射线BP.射线BP即为所求. 第一步　第二步　　第三步 下列正确的是(　　) A.a,b均无限制 B.a>0,b>DE的长 C.a有最小限制,b无限制 D.a≥0,b<DE的长 ❷ (2018·河北)尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: ① ② ③ ④ 则正确的配对是(　　) A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ ❸ (2019·河北)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是(　　) A B C D ❹ (2025·新疆)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD是对角线. (1)尺规作图:请用无刻度的直尺和圆规,作线段BD的垂直平分线,垂足为O,与边AD,BC分别交于点E,F(要求:不写作法,保留作图痕迹,并将作图痕迹用黑色签字笔描黑). (2)在(1)的条件下,连接BE,DF,求证:四边形BFDE为菱形. ❺ (2025·甘肃)如图1,月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞,形如满月,故称“月洞门”,其形制可追溯至汉代,但真正在美学与功能上成熟于宋代,北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一.如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图,月洞门呈圆弧形,用表示,点O是所在圆的圆心,AB是月洞门的横跨,CD是月洞门的拱高.现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图.如图3,已知月洞门的横跨为AB,拱高的长度为a.作法如下: ①作线段AB的垂直平分线MN,垂足为D; ②在射线DM上截取DC=a; ③连接AC,作线段AC的垂直平分线交CD于点O; ④以点O为圆心,OC的长为半径作. 则就是所要作的圆弧. 请你依据以上步骤,用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图(保留作图痕迹,不写作法). 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①a　②OP　③PQ　④M,N　⑤大于MN的长　⑥大于AB的长　 ⑦大于AB的长　⑧两侧　 ⑨大于AB的长 即时练 1.B 2.(1)90°　(2)30°　(3)4 3.　解析:过点G作GH⊥AB于点H,如图. 由题意可知BG平分∠ABC,∵GC⊥BC,∴GH=GC=,∴S△ABG=AB·GH=. 4.30　解析:由作图过程得出AQ⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠C+∠DAC=90°,∵∠C=2∠DAC, ∴2∠DAC+∠DAC=90°,解得∠DAC=30°,∴∠C=60°,∵在△ABC中,∠BAC=90°, ∴∠B=90°-∠C=90°-60°=30°. 重点难点·一题串讲 例:(1)45　=　(2)作线段BC的垂直平分线　(3)等腰直角 河北中考·考向体验 1.B　2.D　3.C 4.解:(1)如图,直线EF即为所求. (2)证明:如图,∵直线EF是线段BD的垂直平分线, ∴BE=DE,BF=DF,OB=OD. ∵AD∥BC, ∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO, ∴△ODE≌△OBF(AAS), ∴DE=BF, ∴BE=DE=BF=DF, ∴四边形BFDE为菱形. 5.解:如图即为月洞门的设计图. 学科网（北京）股份有限公司 $