2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第六章　圆

该初中数学讲义聚焦圆的基本性质中考核心考点，涵盖圆的概念及性质、弧弦圆心角关系、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等内容，通过“考点梳理-即时练习-一题串讲-真题训练”流程，帮助学生构建知识体系，突破重难点。 特色在于“知二推三”等规律总结培养几何直观，构造直角三角形解弦长问题提升推理能力，分层练习适配不同学生。真题解析规范步骤，助力教师精准教学，高效提升学生应考能力。

第一讲　圆的基本性质 考点一　圆的有关概念及性质 ❶ 圆的有关概念 圆 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧叫做①　　　　,小于半圆的弧叫做②　　　　.在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧  弦和 直径 连接圆上任意两点的③　　　　叫做弦,经过圆心的弦叫做直径  弦心距 圆心到弦的距离 圆心角 顶点在④　　　　的角  圆周角 顶点在圆上,并且两边都与圆⑤　　　　的角  ❷ 性质 对称性 (1)圆是轴对称图形,⑥　　　　　　　　都是它的对称轴.  (2)圆也是中心对称图形,⑦　　　　是它的对称中心  旋转 不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合 考点二　弧、弦、圆心角之间的关系 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧⑧　　　　,所对的弦也⑨　　　　  推论 1.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角⑩　　　　,所对的弦　　　　.  2.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角　　　　,所对的优弧和劣弧分别　　　　  1.下列说法中正确的是　　　　　　.(填序号)  ①弦是直径;②弧是半圆;③半圆是圆中最长的弧;④直径是圆中最长的弦;⑤同圆中,所有的半径都相等;⑥圆既是轴对称图形又是中心对称图形;⑦长度相等的弧是等弧. 2.如图,OA,OB是☉O的半径,C是☉O上一点,∠AOB=40°,∠OBC=50°,则∠OAC=　　　　.  3.如图,已知在☉O中,BC是直径,AB=DC,则下列结论不一定成立的是(　　) A.OA=OB=AB B.∠AOB=∠COD C. D.O到AB,CD的距离相等 考点三　垂径定理及其推论 垂径 定理 垂直于弦的直径平分　　　　,并且平分弦所对的两条　　　　  推论 平分弦(不是直径)的　　　　垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧  (1)如图1,根据圆的对称性,在以下五个结论中:①;②;③AE=BE(AB 不是直径);④CD⊥AB;⑤CD 是直径.只要满足其中两个结论,另外三个结论就一定成立,即“知二推三”. (2)有关弦的问题,常作弦心距,构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形,利用勾股定理求解,如图2,d2+=r2. 4.(1)如图1,CD为☉O的直径,AB为☉O的弦,AB⊥CD于点M,若CD=5 cm,AB=4 cm,则OM= 　　　　cm.  (2)如图2,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AE=CD=8,连接OC,则OC的长为　　　　.  考点四　圆周角定理及其推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　　　  推论 1.同弧或等弧所对的圆周角　　　　.  2.半圆(或直径)所对的圆周角是　　　　,90°的圆周角所对的弦是　　　　  5.如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=40°,则∠BCD的度数为　　　　.  考点五　圆内接四边形 定义 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆 性质 1.圆内接四边形的对角　　　　.  2.圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角) 6.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,若∠BOD=110°,则∠BCD的度数为　　　　.  如图,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M,连接AD,BD,OA,OB. (1)你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗?为什么? (2)在不添加辅助线的情况下,直接写出图中相等且小于90°的圆心角. (3)若∠ADB=45°,☉O的半径为2,求CM的长. (1)(2)利用垂径定理得到相等的线段、弧和角. (3)根据圆周角定理得到∠AOB=90°,所以△AOB为等腰直角三角形,然后根据勾股定理求出AB的长,再根据等腰直角三角形的性质求出OM的长,进而求出CM的长. 命题点一　弧、弦、圆心角之间的关系 ❶ (2023·河北)如图,点P1~P8是☉O的八等分点.若△P1P3P7,四边形P3P4P6P7的周长分别为a,b,则下列正确的是(　　) A.a<b B.a=b C.a>b D.a,b大小无法比较 命题点二　圆周角定理及垂径定理 ❷ (2021·河北)如图,等腰三角形AOB中,顶角∠AOB=40°,用尺规按①到④的步骤操作: ①以点O为圆心,OA为半径画圆; ②在☉O上任取一点P(不与点A,B重合),连接 AP; ③作AB的垂直平分线与☉O交于点M,N; ④作AP的垂直平分线与☉O交于点E,F. 结论Ⅰ:顺次连接M,E,N,F四点必能得到矩形; 结论Ⅱ:☉O上只有唯一的点P,使得S扇形FOM=S扇形AOB. 对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是(　　) A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对 ❸ (2023·河北)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH. 计算　在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C. (1)求OC的长. 操作　将图1中的水槽沿GH向右做无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动,如图2.其中,半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D. 图1 　图2 探究　在图2中. (2)操作后水面高度下降了多少? (3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小. 命题点三　圆内接四边形 ❹ (2020·河北)有一题目:“已知:点O为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答为画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图.由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑得不周全,∠A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是(　　) A.淇淇说得对,且∠A的另一个值是115° B.淇淇说得不对,∠A就得65° C.嘉嘉求的结果不对,∠A应得50° D.两人都不对,∠A应有3个不同的值 ❺ (2025·甘肃)如图,四边形ABCD内接于☉O,,连接BD,若∠ABC=70°,则∠BDC的度数为(　　) A.20° B.35° C.55° D.70° 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①优弧　②劣弧　③线段　④圆心　⑤相交　⑥直径所在的直线　⑦圆心　⑧相等 ⑨相等　⑩相等　相等　相等　相等　弦　弧　直径　一半　相等　 直角　直径　互补 即时练 1.④⑤⑥ 2.30°　解析:连接OC,如图. ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=50°,∴∠BOC=180°-50°×2=80°,∴∠AOC=80°+40°=120°,∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA=×(180°-120°)=30°. 3.A 4.(1)1.5　解析:连接OA,如图. ∵CD为☉O的直径,CD=5 cm,∴OA=CD=2.5 cm.∵AB⊥CD,∴AM=BM=AB=2 cm, 在Rt△AOM中,OM==1.5(cm). (2)5　解析:设☉O的半径是r,则OC=OA=r,∴OE=AE-OA=8-r.∵弦CD⊥AB,∴CE=CD=×8=4. ∵OC2=OE2+CE2,∴r2=(8-r)2+42,∴r=5,∴OC=5. 5.130°　解析:连接AC,如图, ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∵∠ACD=∠AED=40°,∴∠BCD= ∠ACB+∠ACD=90°+40°=130°. 6.125°　解析:由圆周角定理得,∠A=∠BOD=×110°=55°,∵四边形ABCD为☉O的内接四边形, ∴∠BCD=180°-∠A=180°-55°=125°. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)AM=BM,OA=OB=OC=OD,AD=BD,,. 理由如下:∵AB是☉O的一条弦,直径CD⊥AB, ∴AM=BM,,. ∵OA,OB,OC,OD是半径,∴OA=OB=OC=OD. ∵,∴AD=BD. (2)∠AOC=∠BOC. (3)∵直径CD⊥AB,OA=2, ∴AM=AB. ∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°, ∴AB=2,∠OAB=∠OBA=45°, ∴OM=AM=AB=, ∴CM=OC-OM=2-. 河北中考·考向体验 1.A　解析:连接P1P2,P2P3,如图. ∵点P1~P8是☉O的八等分点,即, ∴P1P2=P2P3=P3P4=P6P7,,∴P4P6=P1P7, 又∵△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7,四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7, ∴b-a=(P3P4+P4P6+P6P7+P3P7)-(P1P3+P1P7+P3P7)=(P1P2+P1P7+P2P3+P3P7)-(P1P3+P1P7+P3P7)=P1P2+P2P3-P1P3, 在△P1P2P3中有P1P2+P2P3>P1P3,∴b-a=P1P2+P2P3-P1P3>0,即b>a.故选A. 2.D　解析:对于Ⅰ,如图1. ∵MN是AB的垂直平分线,EF是AP的垂直平分线,∴MN和EF都经过圆心O,线段MN和EF是☉O的直径.∴OM=ON,OE=OF.∴四边形MENF是平行四边形.∵线段MN是☉O的直径,∴∠MEN=90°.∴平行四边形MENF是矩形.∴结论Ⅰ对. 对于Ⅱ,要满足S扇形FOM=S扇形AOB,则∠MOF=∠AOB=40°,∴∠NOE=40°.当点E在点N左侧时,如图2.∵ON⊥AB,∴∠AON=∠AOB=20°,∴∠AOE=20°,∵OE⊥AP,∴∠AOP=2∠AOE=40°,∴,∴此时☉O上有一个点P,使得S扇形FOM=S扇形AOB. 当点E在点N右侧时,如图3.∵∠AON=20°,∴∠AOE=∠AON+∠NOE=20°+40°=60°,∵OE⊥AP,∴∠AOP= 2∠AOE=120°,∴=3,∴此时☉O上有一个点P,使得S扇形FOM=S扇形AOB.综上所述,☉O上有两个点P,使得 S扇形FOM=S扇形AOB,∴结论Ⅱ不对.故选D. 3.解:(1)连接OM,如图. ∵O为圆心,OC⊥MN于点C,MN=48 cm,∴MC=MN=24 cm. ∵AB=50 cm, ∴OM=AB=25 cm, ∴在Rt△OMC中,OC==7(cm). (2)∵GH与半圆的切点为E, ∴OE⊥GH. ∵MN∥GH,∴OE⊥MN于点D. ∵∠ANM=30°,ON=25 cm, ∴OD=ON= cm, ∴操作后水面高度下降了-7=(cm). (3)∵OE⊥MN于点D,∠ANM=30°, ∴∠DOB=60°. ∵半圆的中点为Q,∴, ∴∠QOB=90°.∴∠QOE=30°, ∴EF=OE·tan∠QOE= cm, (cm), ∵>0, ∴EF>. 4.A　解析:如图,∠A还应有另一个不同的值∠A',且∠A'与∠A互补,故∠A'=180°-65°=115°.故选A. 5.C　解析:由圆内接四边形的性质可知∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°,∵, ∴∠ADB=∠BDC=∠ADC=55°.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项19　圆中辅助线的作法 方法一　连半径,构造等腰三角形 辅助线作法 连接半径,利用半径相等构造等腰三角形,一般会用到圆周角定理解题 常见 图形 结论 △OAB是等腰三角形,∠AOB=2∠ACB ❶ (2025·邯郸丛台区三模)如图,AB,AC是半径为1的☉O的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连接DE.若∠A=45°,则DE的长为(　　) A.1 B. C. D. ❷ 如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,若∠DAB=66°,则∠ACD的度数为　　　　.  方法二　利用垂径定理构造直角三角形 辅助线 作法 遇到垂直于弦的直径,连接半径,构造直角三角形 遇到弧的中点,连接圆心与弧中点,再连接半径,构造直角三角形 常见 图形 结论 AC=BC OB2=OD2+BD2 ❸ 如图,在☉O中,直径AB⊥CD于点E,CD=12,BE=2,则弦AC的长为　　　　.  ❹ 如图,AB是☉O的弦,且AB=6,点C是劣弧AB的中点,点D是优弧AB上的一点,∠ADC=30°,则圆心O到弦AB的距离为　　　　.  方法三　构造直径所对的圆周角 辅助线作法 连接弦,构造直径所对的圆周角 过圆心作直径,连接弦,构造同弧所对的圆周角 常见 图形 结论 ∠ACB=90° ∠C=∠D,∠ABD=90° ❺ 如图,BD是☉O的直径,点C是的中点,弦AC与BD交于点P.若∠ADB=61°,则∠CPD=(　　) A.106° B.122° C.124° D.102° ❻ 如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点(网格线的交点)上,☉M经过点A,B,C,D,则sin∠BDC的值为　　　　.  ❼ 如图,以AB为直径作☉O,过点A作☉O的切线AC,连接BC,交☉O于点D,点E是BC边的中点,连接AE. (1)求证:∠AEB=2∠C. (2)若AB=5,tan B=,求DE的长. 方法四　构造圆内接四边形 辅助线作法 作圆内接四边形,利用圆内接四边形对角互补的性质解题 常见 图形 结论 ∠A+∠BED=180° ∠B+∠D=180° ❽ 如图,EA,ED是☉O的切线,切点分别为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E= 　　　　.  ❾ 如图,△ABC是☉O的一个内接三角形,点C是劣弧AB上一点(点C不与点A,B重合),设 ∠OAB=α,∠C=β. (1)当α=31°时,求β的度数. (2)猜想α与β之间的数量关系,并给予证明. 方法五　与切线有关的辅助线 辅助线 作法 切点已知 切点未知 连接OB 过点O作CD的垂线OE,证明OE长等于半径 常见 图形 结论 ∠OBA=90° CD是☉O的切线 ❿ 如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为3,BC=5,则PA的长为　　　　.  ⓫ 如图,已知△ABC内接于☉O,点D在OC的延长线上,∠B=∠CAD=30°.求证:AD是☉O的切线. 【详解答案】 1.D　解析:如图,连接BC,OC,OB,∵∠A=45°,∴∠COB=2∠A=90°,在Rt△OBC中,OC=OB=1, ∴BC=,∵OE⊥AC, OD⊥AB,∴AE=CE,AD=DB,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC=. 故选D. 2.24°　解析:如图,连接OD,∵∠DAB=66°,OD=OA,∴∠ODA=∠DAB=66°,∴∠AOD=180°-2×66°=48°, ∴∠ACD=∠AOD=24°. 3.6　解析:连接OD,如图.设☉O的半径为r,则OA=OD=OB=r,∵直径AB⊥CD于点E, ∴CE=DE=CD=×12=6,在Rt△ODE中,∵OE=r-2,DE=6,OD=r,∴(r-2)2+62=r2,解得r=10,∴OE=8, 在Rt△ACE中,∵CE=6,AE=OA+OE=10+8=18,∴AC==6. 4.　解析:如图,连接OA,OC,OC交AB于点E,∵∠ADC=30°,∴∠AOC=2∠ADC=60°,∵点C是劣弧AB的中点,AB=6,∴OC⊥AB,AE=AB=3,∴∠OAB=30°,∴OA=2OE,根据勾股定理可得OE2+AE2=OA2,即OE2+32=4OE2,解得OE=(负值舍去),∴圆心O到弦AB的距离为. 5.A　解析:连接CD,如图.∵BD是☉O的直径, ∴∠BCD=∠BAD=90°.由条件可知BC=CD,∴∠CBD=45°,∴∠CAD=45°. ∵∠CPD是△ADP的外角,∴∠CPD= ∠CAD+∠ADB=45°+61°=106°.故选A. 6.　解析:如图,连接AC,则∠ABC=90°.∵AB=2,BC=3,∴AC=, ∴sin∠BAC=.∵∠BAC=∠BDC,∴sin∠BDC=. 7.解:(1)证明:∵AC是☉O的切线, ∴∠BAC=90°. ∵点E是BC边的中点, ∴AE=EC,∴∠C=∠EAC. ∵∠AEB=∠C+∠EAC, ∴∠AEB=2∠C. (2)连接AD,如图. ∵AB为☉O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵AB=5,tan B=, ∴BD=3. 在Rt△ABC中,AC=AB·tan B=, ∴BC=, ∵点E是BC边的中点, ∴BE=. ∴DE=BE-BD=. 8.68°　解析:连接AD,如图. ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形, ∴∠BAD+∠BCD=180°,∵∠BAE+∠BCD=236°,∴∠DAE=236°-180°=56°.∵EA,ED是☉O的切线,切点分别为A,D,∴EA=ED,∴∠EDA=∠EAD=56°,∴∠E=180°-56°×2=68°. 9.解:(1)在优弧AB上取一点D,连接DA,DB,如图. ∵α=31°, ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-2×31°=118°, ∴∠D=∠AOB=59°, ∴∠ACB=180°-∠D=121°, 即β的度数为121°. (2)β=90°+α.证明如下: ∵∠AOB=180°-2α, ∴∠D=∠AOB=(180°-2α)=90°-α, ∴∠ACB=180°-∠D=180°-(90°-α)=90°+α, 即β=90°+α. 10.　解析:连接DO,如图. ∵PD与☉O相切于点D, ∴∠PDO=90°,∵∠C=90°,∴DO∥BC,∴△PDO∽△PCB,∴,设PA=x,则,解得x=.即PA=. 11.证明:如图,连接OA, ∵∠B=30°,∴∠O=60°, ∵OA=OC, ∴△AOC是等边三角形, ∴∠OAC=60°, ∵∠CAD=30°,∴∠OAD=90°, ∴OA⊥AD, ∵OA是☉O的半径, ∴AD是☉O的切线. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲　弧长、扇形面积的相关计算 考点一　弧长、扇形面积的相关计算 项目 计算公式 示意图 圆的周长 C=①　　　  R为圆的半径,n°为扇形的圆心角的度数,l是扇形的弧长 扇形的弧长 l=②　　　  圆的面积 S=③　　　  扇形的面积 S扇形=④　　　=lR  1.若扇形的半径为3,圆心角为60°,则此扇形的弧长是　　　　,扇形的面积是　　　　.  考点二　圆锥的相关计算 项目 计算公式 示意图 备注 底面圆的面积 S=⑤　　  S为底面圆的面积,C为底面圆的周长,α为侧面展开扇形的圆心角,r为底面圆的半径,h为圆锥的高,l为圆锥的母线长 (1)圆锥的侧面展开图是扇形. (2)圆锥的母线长l为扇形的半径. (3)圆锥的底面圆周长为扇形的弧长 底面圆 的周长 C=⑥　　　=圆锥侧面展开扇形的弧长  侧面展开扇 形的圆心角 α=⑦　　　  高h、母线长 l、底面圆的 半径r之间的关系 r2+⑧　　　=l2  2.已知扇形AOB的半径为r,圆心角的度数为n°,将扇形 AOB围成一个圆锥,如图. (1)若r=4.8,围成圆锥的底面圆半径为2,则该圆锥的侧面积为 　　　　.  (2)若圆锥的侧面积为18π,底面圆的半径为3,则该圆锥的高为　　　　;n=　　　　.  考点三　阴影部分面积的计算 　　基本思想:转化思想,即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积. ❶ 公式法:当阴影部分的图形为规则图形时,直接用公式法计算. ❷ 整体和差法:将阴影部分看成是某些基本图形的和或差. ❸ 割补法:把不规则图形的面积分割成几个规则图形的面积的和或差,即“聚零为整”. ❹ 等积变换法:将不规则图形的面积,通过平移、旋转、对称等变换,重组成规则图形的面积来计算. 3.如图,扇形AOB的圆心角为90°,OA=2 cm,点C,D分别为OA,OB的中点,则图中阴影部分的面积为　　　　 cm2.(结果保留π)  (1)如图1,扇形AOB的圆心角为120°,半径OA为6 cm. ①扇形AOB的弧长为　　　　cm,扇形AOB的面积为　　　　cm2.  ②若将此扇形围成一个圆锥,则圆锥的侧面积为　　　　cm2,底面圆的半径为　　　　cm,高OH为　　　　cm.  (2)如图2,OA是☉O的半径,弦BC⊥OA,垂足为M,连接OB,AC.若OB=2,OM=1,AC∥OB,则扇形AOB的面积为　　　　,阴影部分的面积为　　　　.  (1)①根据弧长公式、扇形面积公式计算即可;②圆锥的侧面积等于扇形的面积,根据扇形AOB的弧长求出圆锥的底面圆半径,根据勾股定理计算可求高OH. (2)根据锐角三角函数计算得∠BOM=60°,再利用扇形面积公式计算即可.连接OC,根据阴影部分的面积等于扇形BOC的面积减去三角形BOC的面积计算即可. 命题点　弧长、扇形面积的相关计算 ❶ (2022·河北)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若该圆的半径是 9 cm,∠P=40°,则的长是(　　) A.11π cm B.π cm C.7π cm D.π cm ❷ (2024·河北)已知☉O的半径为3,弦MN=2.△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=3.在平面上,先将△ABC和☉O按图1位置摆放(点B与点N重合,点A在☉O上,点C在☉O内),随后移动△ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在☉O上随之移动.设BN=x. (1)当点B与点N重合时,求的长. (2)当OA∥MN时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时x的值. (3)设点O到BC的距离为d. ①当点A在上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值; ②直接写出d的最小值. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①2πR　②　③πR2　④ ⑤πr2　⑥2πr　⑦×360°　⑧h2 即时练 1.π　π 2.(1)9.6π　(2)3　180 解析:(1)∵圆锥的底面圆半径为2,∴底面圆的周长=2π×2=4π,即的长=4π,∴圆锥的侧面积=lr=×4π×4.8=9.6π. (2)∵圆锥的侧面积为18π,底面圆的半径为3,∴扇形AOB的弧长=2π×3=6π,∴18π=×6π×r,∴r=6,∴圆锥的高==3.∵6π=,∴n=180. 3.(π-0.5)　解析:由条件可知OC=OD=1 cm,∴图中阴影部分的面积为π×22-×12=(π-0.5)(cm2). 重点难点·一题串讲 例:(1)①4π　12π　解析:扇形AOB的弧长==4π(cm),扇形AOB的面积==12π(cm2). ②12π　2　4　解析:圆锥的侧面积等于扇形的面积,故为12π cm2. 如图,设圆锥的底面圆半径为r cm,∴2πr=4π,解得r=2,在Rt△OHC中,HC=2 cm,OC=6 cm, ∴OH==4(cm). (2)　　解析:∵BC⊥OA, ∴∠OMB=90°.∵OB=2,OM=1, ∴cos∠BOM=,∴∠BOM=60°, ∴S扇形AOB=. ∵在Rt△OBM中,BM2=OB2-OM2,∴BM=, ∴BC=2BM=2. 如图,连接OC,S阴影= S扇形BOC-S△BOC= ×2×1=. 河北中考·考向体验 1.A　解析:如图,过点A作AP的垂线,过点B作BP的垂线,两垂线交于点O,则点O是所在圆的圆心, ∠OAP=∠OBP=90°.又∵∠P=40°,∴∠AOB=140°.∴对应的圆心角的度数为360°-140°=220°.∴的长是=11π(cm).故选A. 2.解:(1)连接OA,OB,如图1. ∵☉O的半径为3,AB=3, ∴OA=OB=AB=3, ∴△AOB 为等边三角形, ∴∠AOB=60°, ∴的长为=π. (2)过点B作BI⊥OA于点I,过点O作OH⊥MN于点H,连接MO,如图2. ∵OA∥MN, ∴∠IBH=∠BHO=∠HOI=∠BIO=90°, ∴四边形BIOH是矩形, ∴BH=OI,BI=OH. ∵MN=2,OH⊥MN, ∴MH=NH=. ∵OM=3, ∴OH==2=BI, ∴点B到OA的距离为2. ∵AB=3,BI⊥OA, ∴AI=, ∴OI=OA-AI=3-=BH, ∴x=BN=BH+NH=3-=3. (3)①过点O作OJ⊥BC于点J,作OK⊥AB于点K,如图3. ∵∠ABC=90°,过点A的切线与AC垂直, ∴AC过圆心O,四边形KOJB为矩形, ∴OJ=KB. ∵AB=3,BC=3, ∴AC==3, ∴cos∠BAC=, ∴AK=, ∴OJ=BK=3-,即d=3-. ②d的最小值为. 解析:如图4,过点O作OL⊥BC于点L,连接OA,OB,过点A作AQ⊥OB于点Q.设OB=m,由OA=AB=3得BQ=.∵∠ABQ+∠OBL=90°,∠OBL+∠BOL=90°,∴∠ABQ=∠BOL.又∠AQB=∠BLO=90°, ∴△AQB∽△BLO,∴, ∴,∴OL=,易得2≤m≤3,∴≤OL≤,故d的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲　与圆有关的位置关系 考点一　点与圆的位置关系 点与圆的 位置关系 点到圆心的距离(d) 与圆的半径(r)的关系 示意图 点在圆外 如右图中点A,d①　　　　r  点在圆上 如右图中点B,d②　　　　r  点在圆内 如右图中点C,d③　　　　r  1.(人教九上P101习题 24.2 T1改编)☉O的半径为10 cm,如果点P到圆心O的距离分别为8 cm, 10 cm,12 cm,那么点P和☉O的位置关系分别是　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　.  考点二　直线与圆的位置关系 直线与圆的 位置关系 圆心到直线的距离(d) 与圆的半径(r)的关系 公共点情况 示意图 相离 d④　　　　r  无公共点 相切 d⑤　　　　r  有且只有一 个公共点 相交 d⑥　　　　r  有两个 公共点 2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4. (1)若以2为半径作☉C,则斜边AB与☉C的位置关系是　　　　.  (2)若以2.4为半径作☉C,则斜边AB与☉C的位置关系是　　　　.  (3)若以3为半径作☉C,则斜边AB与☉C的位置关系是　　　　.  考点三　切线的性质与判定 切线 直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点 性质 定理 圆的切线⑦　　　　于过切点的半径  判定 方法 (1)和圆只有⑧　　　　个公共点的直线是圆的切线.  (2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑨　　　　,那么这条直线是圆的切线.  (3)经过半径的外端,并且⑩　　　　于这条半径的直线是圆的切线  3.如图,已知☉O的半径为5,直线AB经过☉O上一点P,下列条件不能判定直线AB与☉O相切的是(　　) A.OP=5 B.∠APO=∠BPO C.点O到直线AB的距离是5 D.OP⊥AB 考点四　切线长及其定理 切线长 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长 切线长 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长　　　　,这一点和圆心的连线　　　　两条切线的夹角  基本 图形 如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,AB交PO于点C,则有如下结论: (1)PA=PB. (2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP 4.(人教九上P101习题24.2 T3变式)如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,连接OA,OP,AB,OP与AB相交于点C,若∠APB=60°,OC=2 cm,则PC=　　　　 cm.  考点五　三角形的外接圆与内切圆 ❶ 三角形的外接圆 定义 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 圆心 三角形三条边的　　　　　的交点(三角形的外心)  性质 三角形的外心到三角形　　　　的距离相等  角度 关系 ∠BOC=　　　　∠A  ❷ 三角形的内切圆 定义 与三角形各边都相切的圆 圆心 三角形三条　　　　的交点(三角形的内心)  性质 三角形的内心到三角形　　　　的距离相等  角度 关系 ∠BOC=90°+∠A 在Rt△ABC中,若两直角边分别为a,b,斜边为c,则内切圆半径为r=,外接圆半径为R=. 5.如图,☉O为△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F. (1)连接DE,DF,EF,则点O是△　　　　的内心,是△　　　　的外心.  (2)若AD=2,BE=3,CF=1,则△ABC的周长为　　　　.  (3)若∠C=90°,AC=6,AB=10,则☉O的半径为 　　　　.  (4)若△DEF是等边三角形,☉O的半径为3,则 DE=　　　　.  如图,将一块含30°角(即∠CAB=30°)的三角板和一个量角器拼在一起,三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,量角器最外缘的读数是从点N开始(即点N的读数为0),现有射线CP绕着点C从CA开始以每秒2°的速度顺时针旋转到与△ABC的外接圆相切为止.在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于点E. (1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时,射线CP旋转度数是多少? (2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多少? (3)当△AEC的外心在其内部时,求旋转时间t的取值范围. (4)当旋转7.5秒时,连接BE,求证:BE=CE. (1)连接OC,根据切线的性质,得∠OCP=90°,根据等腰三角形的性质,得∠ACO=∠CAB,从而求得射线CP旋转度数. (2)当射线CP经过△ABC的外心时,CP经过AB的中点,由CO=AO,可以得出∠ACO=∠CAB=30°,即可求出点E处的读数;当射线CP经过△ABC的内心时,CP为∠ACB的平分线,所以有∠BCE=∠ACE=45°,即可求出点E处的读数. (3)因为△AEC的外心在其内部,所以△AEC是锐角三角形.找特殊值,当∠EAC=90°时求出一个t值;当∠ECA=90°时求出另一个t值,从而得出t的取值范围. (4)根据已知,得射线CP旋转了15°,即可求得∠EBC=∠BCE=75°,从而证明结论. 命题点一　三角形的内心 ❶ (2018·河北)如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为(　　) A.4.5 B.4 C.3 D.2 命题点二　与切线有关的证明与计算 ❷ (2021·河北)如图,☉O的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型,其中整钟点为An(n为1~12的整数),过点A7作☉O的切线交A1A11延长线于点P. (1)通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长. (2)连接A7A11,则A7A11和PA1有什么特殊位置关系?请简要说明理由. (3)求切线长PA7的值. ❸ (2020·河北)如图,O为AB的中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于点E,连接AE,CP. (1)①求证:△AOE≌△POC; ②写出∠1,∠2 和∠C三者间的数量关系,并说明理由. (2)若OC=2OA=2,当∠C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD(答案保留π). ❹ (2019·河北)如图,在▱ABCD中,AB=3,BC=15,tan ∠DAB=.P为AB延长线上一点,过点A作☉O切CP于点P,设BP=x. (1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时☉O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系. (2)当x=4时,如图2,☉O与AC交于点Q,求∠CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小. (3)当☉O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①>　②=　③<　④>　⑤=　⑥< ⑦垂直　⑧一　⑨半径　⑩垂直　相等 平分　垂直平分线　三个顶点 2　角平分线　三条边 即时练 1.点P在☉O内　点P在☉O上　点P在☉O外 2.(1)相离　(2)相切　(3)相交 解析:在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=5,过点C作CD⊥AB,垂足为D(图略),根据三角形面积公式得×3×4=×5×CD,∴CD==2.4.即圆心C到斜边AB的距离d=2.4. (1)当r=2时,d>r,∴AB与☉C相离. (2)当r=2.4时,d=r,∴AB与☉C相切. (3)当r=3时,d<r,∴AB与☉C相交. 3.A　解析:∵直线AB经过☉O上一点P,☉O的半径为5,∴OP=☉O的半径=5,但OP不一定垂直于AB,∴直线AB不一定与☉O相切,故A符合题意;∵∠APO=∠BPO,∴∠APO=∠BPO=×180°=90°,∴OP⊥AB,∴直线AB与☉O相切,故B不符合题意;∵点O到直线AB的距离是5,∴直线AB与☉O相切,故C不符合题意;∵OP⊥AB,OP是☉O的半径,∴直线AB与☉O相切,故D不符合题意.故选A. 4.6　解析:∵PA,PB是☉O的两条切线, ∠APB=60°,∴PA=PB,∠APO=∠BPO=∠APB=30°,∠OAP=90°,∴AB⊥OP,OP=2OA,∠AOP=60°,∴∠OAC=30°,∴OA=2OC=4 cm,∴OP=2OA=8 cm,∴PC=OP-OC=8-2=6(cm). 5.(1)ABC　DEF　(2)12　(3)2 (4)3　解析:(1)如图1,易知点O是△ABC的内心,是△DEF的外心. (2)∵AD=2,BE=3,CF=1,∴由切线长定理,得AF=AD=2,CF=CE=1,BD=BE=3,∴△ABC的周长为2+1+1+3+3+2=12. (3)由勾股定理,得BC==8,∴r==2. (4)如图2,过点O作OH⊥EF于点H, ∵cos∠OEH=, ∴cos 30°=,解得HE=, ∴EF=2HE=3. ∴DE=EF=3. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)如图1,连接OC.∵射线CP与△ABC的外接圆相切, ∴∠OCP=90°. ∵OA=OC, ∴∠ACO=∠CAB=30°, ∴∠ACP=∠ACO+∠OCP=30°+90°=120°, ∴射线CP旋转度数是120°. (2)∵∠BCA=90°,∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆. 当CP经过△ABC的外心(即过点O)时,∵CO=AO,∴∠ACO=∠CAB=30°,∴∠BCE=60°,∴∠BOE=120°,即点E处的读数为120. 当CP经过△ABC的内心时,如图2,连接OE,则∠BCE=∠ACE=45°,∴∠EOB=90°,∴点E处的读数为90. ∴当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是120和90. (3)∵△AEC的外心在三角形的内部, ∴△AEC是锐角三角形. ∵点E为射线CP与半圆的交点,∴∠AEC=∠ABC=60°, ∴当∠EAC=90°时,∠ECA=30°,CP经过△AEC的外心. ∵射线CP绕着点C从CA开始以每秒2°的速度顺时针旋转, ∴此时t的值为=15. 当∠ECA=90°时,t的值为=45. ∴当△AEC的外心在三角形内部时,t的取值范围为15<t<45. (4)证明:如图3,∵∠PCA=2°×7.5=15°, ∴∠BCE=75°,∠ECA=∠EBA=15°, ∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=15°+60°=75°=∠BCE,∴BE=CE. 河北中考·考向体验 1.B　解析:如图,连接AI,BI.∵点I为△ABC的内心, ∴AI平分∠CAB. ∴∠CAI=∠BAI.由平移得AC∥DI,∴∠CAI=∠AID. ∴∠BAI=∠AID.∴AD=DI. 同理可得BE=EI, ∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB,即图中阴影部分的周长为4.故选B. 2.解:(1)如图,连接OA7,OA11.由题意得圆周被12等分,则每份对应的圆心角是30°,∴∠A7OA11=120°. ∴劣弧的长l==4π. ∵4π>12,∴劣弧更长. (2)A7A11⊥PA1. 理由:如图,连接A1A7,则A1A7为☉O的直径, ∴∠A7A11A1=90°,∴A7A11⊥PA1. (3)∵PA7是☉O的切线, ∴∠PA7O=90°, 由(1)知,∠A7OA11=120°, ∴∠OA7A11=∠OA11A7=30°, ∴∠P=30°. ∴PA1=2A1A7=24. ∴PA7==12. 3.解:(1)①证明:在△AOE和△POC中, ∴△AOE≌△POC(SAS). ②∠1+∠C=∠2. 理由:∵△AOE≌△POC, ∴∠C=∠E. ∵∠2=∠1+∠E,∴∠2=∠1+∠C. (2)当∠C最大时,CP与小半圆相切于点P. 如图: ∵OC=2OA=2,∴OC=2OP, ∵cos∠COP=, ∴∠COP=60°.∴∠EOD=120°, ∴S扇形EOD=. 4.解:(1)∵CP与☉O相切于点P,AP经过圆心O,∴∠APC=90°. 在▱ABCD中,AD∥BC, ∴∠PBC=∠DAB. ∴=tan∠PBC =tan∠DAB=,设CP=4k,BP=3k. 由勾股定理得(4k)2+(3k)2=152,解得k=3(负值舍去),∴BP=3×3=9.故当x=9时,圆心O落在AP上,此时PE⊥BC. (2)如图,过点C作CG⊥AP交AP延长线于点G.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD.∴∠CBG=∠DAB.∴=tan∠CBG=tan∠DAB=.设CG=4m,BG=3m.由勾股定理得(4m)2+(3m)2=152 ,解得m=3(负值舍去). ∴CG=4×3=12,BG=3×3=9, PG=BG-BP=9-4=5,AP=AB+BP=3+4=7.∴AG=AB+BG=3+9=12.∴tan∠CAP==1.∴∠CAP=45°.连接OP,OQ,过点O作OH⊥AP于点H,则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°,PH=AP=.在Rt△CPG中,CP==13,∵CP是☉O的切线,∴∠OPC=∠OHP=90°,∴∠OPH+∠CPG=90°,∠PCG+∠CPG=90°. ∴∠OPH=∠PCG. ∴△OPH∽△PCG.∴,解得OP=.劣弧的长度=,∵<2π<7, ∴弦AP的长度>劣弧的长度. (3)x≥18. 解析:如图,当☉O与线段AD只有一个公共点时, 圆心O位于直线AB下方,且∠OAD≥90°,当∠OAD=90°,∠CPB=∠DAB时,BP取得最小值. ∵∠DAB=∠CBP,∴∠CPB=∠CBP,∴CB=CP. 过点C作CM⊥AP于点M,则BM=MP,易得BM=9,∴BP=2BM=2×9=18,∴x≥18. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项20　求阴影部分的面积 方法一　公式法 阴影部分的图形是规则图形,直接用几何图形的面积公式求解,如图: ❶ 如图,四边形ABCD内接于☉O,∠ADC=100°,半径OA=3,则图中阴影部分的面积为　　　　.  方法二　和差法 (1)直接和差法 将不规则阴影部分的图形看成是以规则图形为载体的一部分,且其他部分空白为规则图形,此时采用整体作差法求解.如图: (2)构造和差法 先将不规则阴影部分与空白部分组合,构造规则图形或分割后为规则图形,再进行面积和差计算.如图: ❷ (2025·河北模拟)如图,☉A,☉B,☉C,☉D,☉E的半径都是1,顺次连接这些圆的圆心得到五边形ABCDE,则图中的阴影部分面积之和为(　　) A.π B. C.2π D. ❸ 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AC=,将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE,则图中阴影部分的面积是(　　) A. B. C. D. ❹ 如图,在正方形ABCD中,AB=1,以B为圆心,BA为半径作圆弧,交CB的延长线于点E,连接DE,则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D. ❺ 如图,在矩形ABCD中,分别以点A和C为圆心,AD长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为(　　) A.32-8π B.16-4π C.32-4π D.16-8π 方法三　转换法 通过对图形的变换,为利用公式法或和差法求解创造条件. (1)直接等面积转化法 当CD∥AB时: (2)平移转化法 当点E,F分别是AB,CD的中点时: (3)对称转化法 当点D是AB的中点时: (4)旋转转化法 ❻ 如图,菱形ACBD中,AB与CD交于点O,∠ACB=120°,以C为圆心,AC为半径作,再以C为圆心,CO为半径作,分别交AC,BC于点F,E,若CB=2,则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D.π- ❼ 如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C',点B经过的路径为,若∠BAC=60°,AC=3,则图中阴影部分的面积是(　　) A. B. C. D.3π ❽ 如图所示,E是半径为2 cm的☉O的直径CD延长线上的一点,AB∥CD且AB=OD,则图中阴影部分的面积是　　　　cm2.  方法四　容斥原理 有的阴影部分图形是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方法是:两个基本图形的面积之和-重叠图形的面积=组合图形的面积. 【方法示例】 如图,阴影部分是扇形CAE和扇形CBD的重叠部分,则S阴影=S扇形CAE+S扇形CBD-S△ABC. ❾ 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点A为圆心,AC为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AB于点F,则图中阴影部分的面积是(　　) A.π-2 B.2π-2 C.2π-4 D.4π-4 【详解答案】 1.4π　解析:∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠ADC+∠B=180°,∵∠ADC=100°,∴∠B=80°,∴∠AOC=2∠B=160°,∴图中阴影部分的面积S==4π. 2.B　解析:五边形的内角和是(5-2)×180°=540°,则阴影部分面积之和是.故选B. 3.C　解析:由勾股定理得AB==2, 由旋转的性质可得S△ADE=S△ABC,∠BAD=∠CAE=90°, ∴S阴影=S扇形BAD+S△ADE-S扇形CAE-S△ABC=S扇形BAD-S扇形CAE=.故选C. 4.D　解析:在正方形ABCD中,∠ABC=90°,AB=1,∴BE=1,∠ABE=90°,BC=CD=1,∴CE=BE+BC=2, ∴S阴影=S扇形ABE+S正方形ABCD-S△DCE=+1×1-×2×1=.故选D. 5.D　解析:如图,连接AC.∵两弧有且仅有一个公共点,AD=4,∴AC=2AD=8,∴在Rt△ADC 中,CD== =4,∴S矩形ABCD=AD·CD=16.∵两个扇形均为圆,而且它们的半径相等,∴两个扇形的面积之和为 S两个扇形=πAD2=8π,∴S阴影=S矩形ABCD-S两个扇形=16-8π.故选D. 6.A　解析:∵四边形ACBD是菱形,∠ACB=120°,∴∠BCD=∠DCA=∠ACB=60°,AB⊥CD,AD=BC=AC=BD=2, ∴△BCD是等边三角形,CO=OD=1,由勾股定理,得BO=, ∴阴影部分的面积S=S扇形BCD-S△BOD=×1×.故选A. 7.C　解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=3,∴∠ABC=30°.∴AB=2AC=6.根据旋转的性质知 ∠BAB'=45°,△ABC≌△AB'C',则S△ABC=S△AB'C',AB=AB'=6.∴S阴影=S扇形BAB'=.故选C. 8.　解析:连接OA,OB,如图. ∵AB=OD, OD=OA=OB=2 cm,∴OA=OB=AB=2 cm, ∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB =60°,∵AB∥CD,∴△AOB的边AB上的高和△ABE的边AB上的高相等, ∴S△AOB=S△ABE,∴阴影部分的面积S=S扇形AOB=(cm2). 9.C　解析:在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,∴∠A=∠B=45°, ∴阴影部分的面积S=S扇形CAE+S扇形CBF-S△ABC =×2-×2×2=2π-4.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $