2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第二章　方程(组)与不等式(组)

该初中数学中考复习讲义聚焦一次方程(组)及其应用，覆盖等式性质、一元一次方程解法、二元一次方程(组)概念与解法、实际应用四大核心考点，按“性质-定义-解法-应用”逻辑构建知识体系，通过考点梳理表格化呈现、即时练巩固基础、一题串讲突破难点、真题训练对接中考，形成系统性复习流程。 亮点在于融合传统文化情境与分层教学策略，如以“草船借箭”“以绳测井”等问题引导学生用数学眼光观察现实世界，通过代入消元法与加减消元法对比训练发展数学思维。设置基础过关、能力提升、中考真题三级练习，配合5分钟限时测试，确保高效复习，助力学生提升方程应用能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第8讲　一元二次方程及其应用 考点一　一元二次方程及其解法 ❶ 定义及一般形式 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是①　　　　的整式方程  一般 形式 ❷ 解法 解法 适用情况或步骤 直接开 平方法 1.当方程缺少一次项时,即方程ax2+c=0(a≠0,ac<0). 2.形如(x+m)2=n(n≥0)的方程 因式 分解法 1.常数项为0,即方程ax2+bx=0(a≠0). 2.一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 公式法 适用于所有一元二次方程,对于ax2+bx+c=0(a≠0),求根公式为②　　　　　　(b2-4ac≥0).  步骤: 1.使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式,方程的右边一定要化为0. 2.判断b2-4ac的正负,若b2-4ac③　　　　0,则原方程无实数根;若b2-4ac④　　　　0,则原方程有实数根,将a,b,c代入求根公式即可,代入公式时应注意其符号  配方法 适用于: 1.二次项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方程. 2.各项的系数比较小且便于配方. 步骤:以2x2-8x+4=0为例. 1.变形:将二次项系数化为1,得x2-4x+2=0. 2.移项:将常数项移到方程的右边,得x2-4x=-2. 3.配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得x2-4x+4=-2+4,即(x-2)2=2. 4.求解:用直接开平方法求解,得x1=2+,x2=2- 1.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为　　　　.  2.一元二次方程2x2-3x+1=x(x+1)化为一般形式是　　　　　　　.  3.(人教九上P25复习题21T1变式)按要求解下列一元二次方程: (1)(2x+3)2=(3x+2)2(直接开平方法). (2)3x(x-1)=2(x-1)(因式分解法). (3)3x2+10=2x2+8x(公式法). (4)x2-8x+1=0(配方法). 考点二　一元二次方程根的判别式 ❶ 根的判别式:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式. ❷ 根的情况与判别式的关系 (1)b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根. (2)⑤　　　　　　 ⇔方程有两个相等的实数根.  (3)⑥　　　　　　 ⇔方程无实数根.  4.(1)一元二次方程3x2-4x+1=0根的判别式b2-4ac的值是　　　　.  (2)若关于x的一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根,则k的取值范围是　　　　.  考点三　一元二次方程根与系数的关系 ❶ 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦　　　　,x1·x2=⑧　　　　.  ❷ 常见的转化模型 (1). (2). (3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1. 利用根与系数的关系解题的前提是方程存在实数根,即根的判别式b2-4ac≥0. 5.(冀教九上P46习题A组T1变式)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+2=0的两实数根. (1)x1+x2=　　　　;x1x2=　　　　.  (2)若(x1+1)(x2+1)=8,求k的值. 考点四　一元二次方程的实际应用 变化率 问题 设a为原来的量,b为变化后的量, 当m为平均增长率,增长次数为2时,有a(1+m)2=b; 当m为平均下降率,下降次数为2时,有a(1-m)2=b 面积 问题 如图,设阴影部分的宽为x,图1中S空白=(a-2x)(b-2x);图2中S空白=(a-x)(b-x);通过平移的方法可得图3中S空白=(a-x)(b-x) 每每 问题 (1)常用公式:利润=售价-成本;总利润=每件利润×销售量. (2)每每问题中,单价每涨a元,少卖b件,若涨价y元,则少卖·b件 循环赛 问题 (1)单循环淘汰赛问题:设x队进行m场比赛,则=m. (2)互赠照片问题:全班x人,每人向其他人赠送一张,共赠送m张,则x(x-1)=m 6.(1)某商品经过连续两次降价,价格由100元降为64元.已知两次降价的百分率都是x,则x满足的方程是　　　　　　　.  (2)如图,某小区要在长为16 m,宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路的宽为　　　　m.  已知关于x的一元二次方程ax2-4x+1=0. (1)若该方程有两个相等的实数根,则a的值为　　　　.  (2)若该方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围为　　　　　　.  (3)若该方程没有实数根,则a的取值范围为　　　　.  (4)若该方程有实数根,则a的取值范围为　　　　　　.  (1)(2)(3)(4)利用根的判别式结合相应情景求出a的值或取值范围. 若关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个实数根x1,x2,且x1+x2=x1x2,则m的值为　　　　.  由题意知方程有两个实数根,所以Δ≥0,所以m≥-,利用根与系数的关系及x1+x2=x1x2,可求m的值,注意验证m的值. 命题点一　解一元二次方程 ❶ (2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a=(　　) A.1 B.-1 C.+1 D.1或+1 命题点二　一元二次方程根的判别式 ❷ (2025·河北样卷)关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-6=0中,k<0.则该方程的根的情况是(　　) A.没有实数根 B.有两个正实数根 C.两根之积为-6 D.两根之和为1 ❸ (2019·河北)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是(　　) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 命题点三　一元二次方程根与系数的关系 ❹ (2024·河北样卷)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　　) A.2 B.0 C.1 D.2或0 ❺ (2025·河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ❻ (2025·泸州)若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α,β,则2α2-3α+3β的值为　　　　.  命题点四　一元二次方程的实际应用 ❼ (2025·云南)某书店今年3月份盈利6 000元,5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,下列方程正确的是(　　) A.6 000(1+x)2=6 200 B.6 000(1-x)2=6 200 C.6 000(1+2x)=6 200 D.6 000x2=6 200 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①2　②x=　③<　④≥　⑤b2-4ac=0　⑥b2-4ac<0　⑦-　⑧ 即时练 1.2　解析:∵方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,∴m+2≠0且|m|=2,解得m=2. 2.x2-4x+1=0　解析:一元二次方程2x2-3x+1=x(x+1)化为一般形式是x2-4x+1=0. 3.解:(1)(2x+3)2=(3x+2)2, 开方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2. 解得x1=1,x2=-1. (2)3x(x-1)=2(x-1), 整理,得3x(x-1)-2(x-1)=0. 因式分解,得(x-1)(3x-2)=0. ∴x1=1,x2=. (3)3x2+10=2x2+8x, 整理,得x2-8x+10=0. ∵a=1,b=-8,c=10, ∴Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0. ∴方程有两个不相等的实数根,x==4±. ∴x1=4+,x2=4-. (4)x2-8x+1=0, 移项,得x2-8x=-1. 配方,得x2-8x+42=-1+42, 即(x-4)2=15. 由此可得x-4=±. 解得x1=4+,x2=4-. 4.(1)4 (2)k<-1　解析:∵一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根,∴Δ=(-2)2-4×1×(-k)=4+4k<0,∴k<-1. 5.解:(1)2k+2　k2+2 (2)∵(x1+1)(x2+1)=8, 即x1x2+x1+x2+1=8, ∴k2+2+2k+2+1=8, 整理,得k2+2k-3=0, 解得k1=-3,k2=1. ∵此一元二次方程有两个实数根, ∴Δ=[-2(k+1)]2-4×1×(k2+2)≥0,解得k≥, ∴k的值为1. 6.(1)100(1-x)2=64　解析:根据题意得第一次降低后的售价是原来的(1-x),那么第二次降低后的售价是原来的(1-x)2,列方程得100(1-x)2=64. (2)2　解析:设小路的宽为x m,则花坛的长为(16-2x)m,宽为(12-2x)m,由题意,得(16-2x)·(12-2x)=×16×12,整理得x2-14x+24=0,解得x=2或x=12(舍去),∴小路的宽为2 m. 重点难点·一题串讲 例1:(1)4　(2)a<4且a≠0　(3)a>4　(4)a≤4且a≠0 例2:3 河北中考·考向体验 1.C　解析:根据题意,得a2-2a=1,解得a=1±.∵a>0,∴a=+1.故选C. 2.C　解析:∵Δ=[-(k+1)]2-4×1×(-6)=(k+1)2+24>0,∴方程有两个不相等的实数根,故A错误;设x1,x2是一元二次方程x2-(k+1)x-6=0的两个实数根,∴x1+x2=k+1,x1·x2=-6,故C正确,D错误;两根的符号相反,故B错误.故选C. 3.A　解析:将x=-1代入x2+4x+c'=0,得c'=3.∵c'比c小2,∴c=5.∴原方程为x2+4x+5=0,b2-4ac=42-4×1×5=-4<0.∴原方程不存在实数根.故选A. 4.B　解析:设x1,x2为方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根.由题意,得x1+x2=-(a2-2a).∵x1,x2互为相反数,∴x1+x2=-(a2-2a)=0,∴a=0或a=2.当a=2时,原方程无实数根,∴ a=0.故选B. 5.C　解析:原方程x(x+2)-3=0展开并整理为标准形式:x2+2x-3=0,其中a=1,b=2,c=-3.∴m=-=-=-2,n==-3.∴点(m,n)即(-2,-3)在平面直角坐标系中位于第三象限.故选C. 6.10　解析:将x=α代入原方程得2α2-6α-1=0,∴2α2-6α=1.∵一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α,β,∴α+β=3,∴2α2-3α+3β=(2α2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10. 7.A 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲　一次方程(组)及其应用 考点一　等式的基本性质 性质1 等式两边加上(或减去)同一个数(或同一个整式),结果仍相等.即如果a=b,那么 a±c=①　　　  应用:解方程中的移项 性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为零的数,结果仍相等.即如果a=b,那么②　　　　=bc;如果a=b,那么(c≠0)  应用:解方程中去分母或系数化为1 1.下列变形错误的是(　　) A.若m=n,则-3m=-3n B.若m+2=n+2,则m=n C.若3x=2,则x= D.若m=-n,则m+n=0 考点二　一元一次方程及其解法 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是③　　　　的整式方程  一般形式 ax+b=0(a,b是常数,且a≠0) 解题 步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 注:具体顺序依据具体题而定 2.解方程:=1. 考点三　二元一次方程(组)及其解法 ❶ 二元一次方程(组)的概念 二元一 次方程 含有④　　　　个未知数,并且含有未知数的项的次数都是⑤　　　　的整式方程,形如ax+by=c(a≠0,b≠0,a,b,c是常数)  二元一次 方程组 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程组 ❷ 二元一次方程组的解法 基本思想 消元,即把二元一次方程组转化为一元一次方程 消元方法 代入消元法、加减消元法 3.已知x,y满足方程组则x+y的值是　　　　.  4.解方程组: (1)当方程组中有一个方程的未知数的系数为1或-1时,常用代入消元法. (2)当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时,常用加减消元法. 考点四　一次方程(组)的实际应用 ❶ 列方程(组)解应用题的一般步骤 审 审清题意,分清题中的已知量、未知量 设 设关键未知数,一般求什么,就设什么,也可设间接未知数 列 找出适当等量关系,列方程(组) 解 解方程(组) 验 检验所解答案是否正确且是否符合题意 答 解答题需要作答,注意单位名称 ❷ 基本等量关系 和(差) 关系 总量=各分量之和; 大数=小数+大数与小数的差 倍(分) 关系 几倍后的量=基础量×倍数; 分量=总量×分量所占总量的份数(比例) 购买问题 总价=单价×数量 利润 问题 (1)售价=标价×折扣, 销售额=售价×销量. (2)利润=售价-进价, 利润率=×100% 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 行程 问题 (匀速 运动) 基本关系:s=vt. (1)相遇问题(同时出发):s甲+s乙=⑥　　　　,t甲=t乙.  (2)追击问题:同时不同地:s甲=s乙+⑦　　　　,t甲=t乙.  同地不同时:甲出发t小时后乙出发,在B处乙追上甲,s甲=s乙,t甲=⑧　　　　.  (3)环形跑道问题:关键是抓住各物体的运动时间和路程关系 5.如图,草船借箭是一个流行很广的故事.按照这个故事所说的,我们假定诸葛亮一共派出大小草船共20艘,回来清点发现小船平均每艘上借的箭约有4 800支,大船平均每艘上借的箭约有6 200支,已知一共借箭112 800支,设派出大船x艘,则下列说法正确的是(　　) A.依题意得4 800x+6 200(20-x)=112 800 B.依题意得4 800(20-x)+6 200x=112 800 C.派出大船8艘 D.派出小船14艘 6.某电商平台决定举办促销活动,对网上销售的某种蓝牙耳机按成本价提高60%后标价,又以九折优惠卖出,结果每个耳机仍可获利8元,若设这种耳机每个的成本为a元,则可列方程:  　　　　　　　.  7.2025年春讲,随着《哪吒2》电影的爆火,某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办.已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元,按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元.若设每个“哪吒”“敖丙”手办的售价分别为x元、y元,根据题意,可列方程组为　.  已知方程组和方程组的解相同. (1)方程2x+y=8的解有　　　　个,它的正整数解为　　　　　　　　　　　　.  (2)这个相同的解为　　　　.  (3)a=　　　　,b=　　　　.  (4)若(2)中的解也是方程3x+my-1=0的解,则m的值为　　　　.  (1)二元一次方程的解有无数个.由2x+y=8,得y=8-2x,由x,y为正整数可确定x的值,再求出对应的y的值,即可得符合条件的解. (2)把方程2x+y=8和x-y=1组成新的方程组,求出方程组的解. (3)把(2)中方程组的解代入ax-by=-8 和bx+ay=-1,组成新的方程组,求出方程组的解. (4)把问题(2)中的解代入方程3x+my-1=0,从而转化为求一元一次方程的解. 古人曰:“读万卷书,行万里路.”经历是最好的学习,研学是最美的相遇.伴着三月的春风,哼着欢快的曲调,方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动,师生一起去参观博物馆.下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话: 王老师:“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用,60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元.” 小真:“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观,一天的租金共计5 100元.” 小萱:“如果我们七年级租用45座的客车a辆,那么还有15人没有座位;如果租用60座的客车可少租2辆,且正好坐满.” 根据以上对话,解答下列问题: (1)参加此次活动的七年级师生共有　　　　人.  (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元? (3)若租用一种或两种客车均可,要使每位师生都有座位,且每辆客车恰好坐满,问有几种租车方案?哪一种租车方案最省钱? (1)根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆,那么还有15人没有座位;如果租用60座的客车可少租2辆,且正好坐满”,可得出关于a的一元一次方程,解之即可求出a的值,再将其代入45a+15中,即可得出结论. (2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元,45座客车每辆每天的租金是y元,根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元”“租用4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观,一天的租金共计5 100元”,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论. (3)设租用60座客车m辆,45座客车n辆,根据租用的客车要使每位师生都有座位,且每辆客车恰好坐满,可得出关于m,n的二元一次方程,结合m,n均为自然数,可得出各租车方案,再求出各租车方案所需租车费用,比较后即可得出结论. 命题点一　等式的基本性质 ❶ (2024·河北样卷)等式就像平衡的天平,能运用等式的基本性质说明如图事实的是(　　) A.如果a=b,那么ac=bc(a,b,c均不为0) B.如果a-c=b-c,那么a=b(a,b,c均不为0) C.如果a=b,那么a+c=b+c(a,b,c均不为0) D.如果a+c=b+c,那么a=b(a,b,c均不为0) ❷ (2018·河北)有三种不同质量的物体“”“”“”,其中,同一种物体的质量都相等.现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是(　　) A B C D 命题点二　一元一次方程及其解法 ❸ (2024·河北样卷)试卷上有一道解方程的题:+1=x,□处在印刷时被油墨盖住了,查后面的答案知这个方程的解是x=-2,那么□处应该是(　　) A.7 B.5 C.2 D.-2 ❹ (2025·河北)甲、乙两张等宽的长方形纸条,长分别为a,b.如图,将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起,形成长为81的纸条,则a+b=　　　　.  ❺ (2024·河北样卷)若“△”表示一种新运算,规定a△b=a×b-(a+b). (1)计算:-3△5. (2)计算:2△[(-4)△(-5)]. (3)若(-2)△(1+x)=-x+6,求x的值. 命题点三　二元一次方程(组)及其解法 ❻ (2025·台湾)若二元一次联立方程式的解为则a+2b之值为何?(　　) A.33 B.9 C.-3 D.-27 ❼ (2025·凉山州)若(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,则x+y的平方根是(　　) A.8 B.±8 C.±2 D.2 命题点四　一次方程(组)的实际应用 ❽ (2025·河北样卷)我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺,井深几何?这道题大致意思是:用绳子测量水井深度,如果将绳子折成三等份,那么每等份井外余绳四尺;如果将绳子折成四等份,那么每等份井外余绳一尺.问井深多少尺?下列说法正确的是(　　) A.设井深为x尺,所列方程为3(x+4)=4(x-1) B.设绳子的长为x尺,所列方程为x+4=x+1 C.绳子的长是32尺 D.井深为8尺 ❾ (2022·河北)“曹冲称象”是流传很广的故事,如图.按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,则正确的是(　　) A.依题意3×120=x-120 B.依题意20x+3×120=(20+1)x+120 C.该象的重量是5 040斤 D.每块条形石的重量是260斤 ❿ (2023·河北)某磁性飞镖游戏的靶盘如图,珍珍玩了两局,每局投10次飞镖,若投到边界则不计入次数,需重新投,计分规则如下: 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1 -2 在第一局中,珍珍投中A区4次,B区2次,脱靶4次. (1)求珍珍第一局的得分. (2)第二局,珍珍投中 A区k次,B区3次,其余全部脱靶,若本局得分比第一局提高了 13 分,求k的值. ⓫ (2025·河北)一般固体都具有热胀冷缩的性质,固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在0~100 ℃(本题涉及的温度均在此范围内),原长为l m的铜棒、铁棒受热后,伸长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的关系均为y=αlx,其中α为常数,称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数αCu=1.7×10-5(单位:/℃);原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80 ℃伸长了1.8×10-3 m. (1)原长为0.6 m的铜棒受热后升高50 ℃,求该铜棒的伸长量.(用科学记数法表示) (2)求铁的线膨胀系数αFe;若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8×10-4 m,求该铁棒温度的增加量. (3)将原长相等的铜棒和铁棒从0 ℃开始分别加热,当它们的伸长量相同时,若铁棒的温度比铜棒的高20 ℃,求该铁棒温度的增加量. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①b±c　②ac　③1　④两　⑤1　⑥sAB ⑦sAC　⑧t乙+t 即时练 1.C 2.解:去分母,得3(2x-1)-(x+1)=9, 去括号,得6x-3-x-1=9, 移项,得6x-x=9+3+1, 合并同类项,得5x=13, 系数化为1,得x=. 3.2　解析:两个方程相加得3x+3y=6,∴x+y=2. 4.解: ②×5,得10x-5y=80,③ ③-①,得7x=77, 解得x=11, 将x=11代入②,得22-y=16, 解得y=6, 故原方程组的解为 5.B　解析:设派出大船x艘,则派出小船(20-x)艘,依题意得4 800(20-x)+6 200x=112 800,解得x=12,20-12=8,∴派出大船12艘,派出小船8艘.故选B. 6.(1+60%)a×0.9-a=8 7. 重点难点·一题串讲 例1:(1)无数　 解析:由2x+y=8得y=8-2x, ∵x,y为正整数,∴ 解得0<x<4,∴方程的正整数解是 (2)　解析:∵方程组 和方程组的解相同,∴方程2x+y=8和方程x-y=1有相同的解,联立解得 (3)-2　1　解析:由(2)可得方程组解得 (4)-4　解析:把x=3,y=2代入方程,得3×3+2m-1=0,解得m=-4. 例2:解:(1)420 解析:根据题意得45a+15=60(a-2),解得a=9,∴45a+15=45×9+15=420,∴参加此次活动的七年级师生共有420人. (2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元,45座客车每辆每天的租金是y元, 根据题意得 解得 答:客运公司60座客车每辆每天的租金是900元,45座客车每辆每天的租金是750元. (3)设租用60座客车m辆,45座客车n辆, 根据题意得60m+45n=420, ∴m=7-n. 又∵m,n均为自然数, ∴或或 ∴共有3种租车方案, 方案1:租用60座客车7辆,所需租车费用为900×7=6 300(元); 方案2:租用60座客车4辆,45座客车4辆,所需租车费用为900×4+750×4=6 600(元); 方案3:租用60座客车1辆,45座客车8辆,所需租车费用为900×1+750×8=6 900(元). ∵6 300<6 600<6 900, ∴租车方案1最省钱. 河北中考·考向体验 1.D　 2.A　解析:设“”“”“”的质量分别为x,y,z.由A可得2x=3y;由B可得2z+x=2z+2y,从而有x=2y;由C可得z+x=z+2y,从而有x=2y;由D可得2x=4y,从而有x=2y,综上,只有A与其他三项不同.故选A. 3.B　解析:设□内的数字为y,将x=-2代入原方程,则+1=-2,解得y=5.故选B. 4.99　解析:由题意可知重叠部分为a=b,设重叠部分的长度为k,则a=3k,b=k,重叠后的总长度为a-k+(b-k)+k=81,即a+b-k=81,代入a=3k,b=k得3k+k-k=81,解得k=18,∴a+b=81+k=99. 5.解:(1)-3△5=(-3)×5-(-3 +5)=-15-2=-17. (2)2△[(-4)△(-5)]=2△[(-4)×(-5)-(-4-5)]=2△29=2×29-(2+29)=27. (3)根据题意可得-2(1+x)-(-2+1+x)=-x+6, 去括号,得-2-2x+2-1-x=-x+6. 移项,得-2x-x+x=6+2-2+1. 合并同类项,得-2x=7. 系数化为1,得x=-. 6.B　解析:把代入 得 ①+②得60a=120,∴a=2,把a=2代入①得37×2+2b=81,∴b=3.5,∴a+2b=2+2×3.5=9.故选B. 7.C　解析:∵(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,∴ ①-②,得x+y=8,∴x+y的平方根是±=±2.故选C. 8.D　解析:设井深为x尺,则3(x+4)=4(x+1),故选项A错误,不符合题意;设绳子的长为x尺,则x-4=x-1,故选项B错误,不符合题意;解方程3(x+4)=4(x+1)得,x=8,∴井深为8尺,绳长为3×(8+4)=36(尺),故选项C错误,不符合题意;选项D正确,符合题意.故选D. 9.B　解析:由题意得出等量关系为20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重,∵搬运工体重均为120斤,每块条形石的重量是x斤,∴20x+3×120=(20+1)x+120,∴A选项不正确,B选项正确;由题意可知一块条形石的重量=2个搬运工的体重,∴每块条形石的重量是240斤,∴D选项不正确;由题意得大象的重量为20×240+360=5 160(斤),∴C选项不正确.故选B. 10.解:(1)由题意,得4×3+2×1+4×(-2)=6(分). 答:珍珍第一局的得分为6分. (2)由题意,得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+13. 解得k=6. 11.解:(1)0.6×50×1.7×10-5=5.1×10-4(m). 答:该铜棒的伸长量为5.1×10-4 m. (2)2.5×αFe×(80-20)=1.8×10-3, 解得αFe=1.2×10-5/℃, 设该铁棒温度的增加量为x1,根据题意得,1×1.2×10-5×x1=4.8×10-4, 解得x1=40 ℃. 答:铁的线膨胀系数αFe=1.2×10-5/℃,该铁棒温度的增加量为40 ℃. (3)设该铁棒温度的增加量为x2,根据题意得, 1.7×10-5(x2-20)=1.2×10-5x2, 解得x2=68 ℃. 答:该铁棒温度的增加量为68 ℃. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲　分式方程及其应用 考点一　分式方程的定义及其解法 分式方程 的定义 分母中含有①　　　　的方程叫做分式方程  分式方程 的解法 基本 思路 把分式方程转化为②　　　　方程,即分式方程③　　　　方程  一般 步骤 (1)去分母,方程两边同乘各分式的最简公分母,化为整式方程. (2)解整式方程. (3)检验:将解得的整式方程的根代入最简公分母,若不为0,则是原分式方程的根;若为0,则为增根,应舍去,分式方程无解 分式方程 的增根 定义 当去分母后所得整式方程的根使分式方程中分母的值为0时,分式方程无解,这样的根叫做分式方程的增根 检验 方法 (1)利用方程的解的定义进行检验. (2)将解得的整式方程的根代入最简公分母,看计算结果是否等于0,若等于0,则为增根 产生 原因 增根是由于“去分母”造成的.去分母时,方程两边同乘的最简公分母为0时,对于整式方程来说,求出的根能使整式方程成立,而对于原分式方程来说,分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根 (1)去分母时,不要漏乘没有分母的项. (2)分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根不仅是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为零的根. 1.下列方程: ①=2,②=3, ③, ④=5,⑤+1=0,其中,是关于x的分式方程的有　　　　.(填序号)  2.已知关于x的分式方程无解,则m的值为　　　　.  3.(冀教八上P20习题A组T1变式)解方程:. 考点二　分式方程的实际应用 ❶ 用分式方程解实际问题的一般步骤 实际问题列分式方程解方程双检验答 ❷ 常见的分式方程解题模型及数量关系 行程问题 =时间 工程问题 =工作完成时间(当题干中没有给出具体工作总量时,默认工作总量为1) 购买(利润)问题 =数量,=单价 双检验——(1)检验是否是分式方程的解. (2)检验是否符合实际情况. 4.某船往返于某段河流,顺流航行66千米与逆流航行60千米用时相同,已知水流速度为每小时1千米.设船的静水速度是每小时x千米,根据题意,可列方程为　　　　　　.  5.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米,则所列方程为　 .  (多维设问)嘉淇准备完成题目:解分式方程:=2-,发现数字◆印刷不清楚. (1)他把“◆”猜成5,请你解方程:=2-. (2)若方程的解为x=0,则“◆”是几? (3)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几? (4)若这个方程=2-的解为正数,求m的取值范围. (5)延伸:关于x的方程=2有整数解,直接写出整数m的值. (1)直接根据解分式方程的步骤进行求解. (2)把x=0代入分式方程求出“◆”的值. (3)分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解得到x=3,将x的值代入去分母后的整式方程求出“◆”的值. (4)分式方程的解为正数的意思是分式方程有解,即分母不等于零,且方程的解是正数,即x>0.据此列出不等式求解,从而确定m的取值范围. (5)解这个分式方程可得x关于m的分式,若方程有整数解,则分子是分母的整数倍,故可求出整数m的值. 命题点一　分式方程及其解法 ❶ (2025·遂宁)若关于x的分式方程-1无解,则a的值为(　　) A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3 ❷ (2023·河北)根据下表中的数据,写出a的值为　　　　,b的值为　　　　.  代数式 x 2 n 3x+1 7 b a 1 ❸ (2025·河北样卷)习题课上,数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程: 习题1:计算. 解: =·(x2-1)+·(x2-1) 第一步 =1+x(x-1) 第二步 =1+x2-1 第三步 =x2. 第四步 习题2:解方程=1. 解:方程两边同乘(x2-1),得 =x2-1, 第一步 1+x(x+1)=x2-1, 第二步 x=-2. 第三步 经检验,x=-2是原方程的解. 第四步 (1)分别写出习题1,习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的. (2)从以上两道习题中任选一题,写出正确的解答过程. 命题点二　分式方程的实际应用 ❹ (2024·河北样卷)某工厂计划生产1 500个零件,但是在实际生产时……求实际每天生产零件的个数.在这个题目中,若设实际每天生产零件x个,可得方程=10,则题目中用“……”表示的条件应是(　　) A.每天比原计划多生产5个,结果延期10天完成 B.每天比原计划多生产5个,结果提前10天完成 C.每天比原计划少生产5个,结果延期10天完成 D.每天比原计划少生产5个,结果提前10天完成 ❺ (2025·江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同,且每百公里的耗油费比耗电费约多50元,求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元,可列分式方程为　　　　　　　　.  【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①未知数　②整式　③整式 即时练 1.⑤ 2.-1　解析:方程去分母得x-1=-m,解得x=1-m,当x=2时分母为0,分式方程无解,即1-m=2,解得m=-1. 3.解:去分母,得3(x+3)=5(x+1), 去括号,得3x+9=5x+5, 移项、合并同类项,得-2x=-4, 系数化为1,得x=2, 经检验,x=2是原方程的根. 4. 5.=30 重点难点·一题串讲 例:解:(1)方程整理,得=2+,去分母,得x=2(x-3)+5,解得x=1.检验:当x=1时,x-3≠0. ∴原分式方程的解为x=1. (2)设原题中“◆”是a, 方程整理,得0=2+, 解得a=6,∴“◆”是6. (3)设原题中“◆”是b, 方程整理,得=2+, 去分母,得x=2(x-3)+b, 由分式方程无解,得x=3. 把x=3代入整式方程,得b=3, ∴原题中“◆”是3. (4)方程两边同乘(x-3),得x=2(x-3)+m,解得x=6-m. ∵方程=2-的解为正数, ∴6-m>0且6-m≠3, 解得m<6且m≠3. (5)整数m的值为3,4,0. 解析:原分式方程去分母,得mx-1-1=2(x-2), 整理,得(m-2)x=-2. 当m≠2时,x=. ∵方程有整数解,∴m-2=±1或m-2=±2, 解得m=3,1,4,0. ∵x-2≠0,∴x≠2,∴≠2,∴m≠1,∴m=3,4,0. 河北中考·考向体验 1.D　解析:-1,,×(2-x)=×(2-x),3-ax=-a+x-2,ax+x=a+5,(a+1)x=a+5,因为关于x的分式方程无解,所以有=2或a+1=0,解得a=3或a=-1.故选D. 2.　-2　解析:当x=n时,3x+1=b,即3n+1=b,当x=2时,=a,即a=.当x=n时,=1,即=1,解得n=-1.经检验,n=-1是分式方程的解.∴b=3×(-1)+1=-2. 3.解:(1)习题1从第一步开始出现错误,习题2从第二步开始出现错误. (2)习题1: = = =. 习题2:=1, 方程两边同乘(x2-1),得1+x(x-1)=x2-1, 解得x=2. 经检验,x=2是原分式方程的解. (答案不唯一,任选其一即可) 4.B　5. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲　一元一次不等式(组)及其应用 考点一　不等式的基本性质 性质1 不等式两边加上(或减去)同一个数(或同一个整式),不等号的方向不变,即如果a>b,那么a±c>b±c 应用:解不等式中的移项 性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向①　　　　,即如果a>b,c>0,那么ac②　　　　bc或③　　　　  应用:解不等式中的去分母(或系数化为1) 性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向④　　　　,即如果a>b,c<0,那么ac⑤　　　　bc或⑥　　　　  应用:解不等式中的去分母(或系数化为1) 运用不等式的基本性质3时,不等号方向要改变. 1.(人教七下P120习题9.1T4变式)如果x>y,那么下列正确的是(　　) A.x+5≤y+5 B.x-5<y-5 C.5x>5y D.-5x>-5y 2.已知a>b,则一定有-8a-1□-8b-1,“□”中应填的符号是　　　　.(填“>”或“<”)  考点二　一元一次不等式的解法及其解集 ❶ 一元一次不等式:只含有⑦　　　　个未知数,且未知数的次数是⑧　　　　的不等式,叫做一元一次不等式,其一般形式是ax+b>0或ax+b<0(a≠0).  ❷ 一元一次不等式的解法步骤及解集表示 解法步骤 (1)去分母.(2)去括号.(3)移项.(4)合并同类项.(5)系数化为1(特别注意性质3的变号) 解集在数 轴上的 表示 x<a 在数轴上表示解集时,要注意“两定”:一是定边界点,二是定方向.定边界点:是“≥”“≤”时画实心圆点,是“>”“<”时画空心圆圈;定方向:小于向左画折线,大于向右画折线 x⑨　　　　a  x>a x⑩　　　　a  3.已知(m+3)x|m|-2+2>0是关于x的一元一次不等式,则m的值为　　　　.  4.如图,数轴上所表示的关于x的不等式的解集为　　　　.  5.解不等式,将解集在数轴上表示出来. (1)4x+5≥6x-3. (2)-1>. 考点三　一元一次不等式组的解法及其解集 ❶ 解一元一次不等式组的步骤 (1)解每一个一元一次不等式. (2)在数轴上表示各不等式的解集. (3)确定公共部分. (4)写出不等式组的解集. ❷ 不等式组的解集类型及表示 类型(a>b) 在数轴上的表示 口诀 解集 同大取大             同小取小 x<b 大小小大 取中间             大大小小 取不了 无解 解一元一次不等式组,通常采用“分而解,合而定”的方法,即先单独解每一个不等式,然后确定这几个不等式的解集的“公共部分”.在确定这几个不等式的解集的“公共部分”时,可以借助“数轴法”或“口诀法”确定不等式组的解集. 6.若关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图所示,则这个不等式组的解集为　　　　.  7.解不等式组请按下列步骤完成解答. (1)解不等式①,得　.  (2)解不等式②,得　.  (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来. (4)原不等式组的解集是　　　　.  考点四　一元一次不等式(组)的实际应用 ❶ 列不等式解应用题的基本步骤为:(1)审题.(2)设未知数.(3)列不等式.(4)解不等式.(5)检验并写出答案. ❷ 解决不等式的实际应用问题时,常见的关键词与不等号的对应表: 常见关键词 不等号 大于,多于,超过,高于 > 小于,少于,不足,低于 < 至少,不低于,不小于,不少于             至多,不高于,不大于,不超过             列不等式(组)解应用题的关键是根据题意找出题目中的不等关系或隐含的不等关系,再根据相应的关系列出不等式(组).有时在解出不等式(组)之后,还要根据实际情境适当取舍,选出符合要求的答案来.例如:人数必为正整数,当x表示人数且x≥3时,则x的最小值为4,即至少有4人. 8.(1)“x与y的5倍的和是非负数”用不等式可表示为　　　　.  (2)今年3月份,小丽种了一棵高75 cm的小树,假设小树平均每月长高2 cm,x月后这棵小树的高度不超过100 cm,所列不等式为　　　　.  (3)某次知识竞赛共有25道选择题,答对一题得4分,答错或不答一题扣1分.若小明希望得分不少于80分,则他至少需要答对　　　　道题.  9.在学校读书讲活动中,老师把一些图书分给勤奋小组的同学们.如果每人分5本,那么剩余12本;如果每人分8本,那么最后一人虽分到书但不足8本,问勤奋小组的人数是多少?设勤奋小组有x人,则可列不等式组为　　　　　　　　　.  嘉淇解不等式组时,发现常数“□”印刷不清楚. (1)嘉淇先解不等式-1,解题过程如下: 解:去分母,得2(x-2)<3(x+1)-1. 第一步 去括号,得2x-2<3x+1-1. 第二步 移项、合并同类项,得-x<-2. 第三步 两边都除以-1,得x<1. 第四步 ①请指出他解答过程中从第　　　　步开始出现错误;  ②写出正确的解答过程,并把解集在数轴上表示出来. (2)他把“□”猜成3,请你解不等式组 (3)王老师将题目做了一下变式,若不等式组 的解集为x>-1,请求常数“□”的取值范围. (4)从的整数解中,任意抽取一个,若抽到的解是正整数的概率为,则常数a的取值范围为　　　　.  (1)①根据解不等式的步骤进行判断;②直接根据不等式的解法求解. (2)分别解出两个不等式的解集求出公共部分即可. (3)先解不等式组中的两个不等式,再根据解集为x>-1,确定“□”的取值范围即可. (4)分别求出不等式组中的不等式的解集,再根据概率的值求出常数a的取值范围. 命题点一　不等式的基本性质 ❶ (2021·河北)已知a>b,则一定有-4a□-4b,“□”中应填的符号是(　　) A.> B.< C.≥ D.= ❷ (2024·河北样卷)若要使a-5>b-5成立,则a,b的关系正确的是(　　) A.a>b B.a<b C.a=b D.a≥b 命题点二　一元一次不等式的解法及其解集 ❸ (2024·河北)下列数中,能使不等式5x-1<6成立的x的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 ❹ (2020·河北)已知两个有理数:-9和5. (1)计算:. (2)若再添一个负整数m,且-9,5与m这三个数的平均数仍小于m,求m的值. ❺ (2022·河北)整式3-m的值为P. (1)当m=2时,求P的值. (2)若P的取值范围如图所示,求m的负整数值. 命题点三　 ❻ (2024·河北样卷)把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,正确的为(　　) A　 B C　 D ❼ (2025·南充)不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是　　　　.  ❽ (2025·内江)对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组恰好有3个整数解,则实数P的取值范围是　　　　.  ❾ (2025·河北)(1)解不等式2x≤6,并在如图所给的数轴上表示其解集. (2)解不等式3-x<5,并在如图所给的数轴上表示其解集. (3)直接写出不等式组的解集. 命题点四　 ❿ (2019·河北)语句“x的与x的和不超过5”可以表示为(　　) A.+x≤5 B.+x≥5 C.≤5 D.+x=5 ⓫ (2021·河北)已知训练场球筐中有A,B两种品牌的乒乓球共101个,设A品牌乒乓球有x个. (1)淇淇说:“筐里B品牌乒乓球是A品牌乒乓球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程:101-x=2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确. (2)据工作人员透露:B品牌乒乓球比A品牌乒乓球至少多28个,试通过列不等式的方法说明A品牌乒乓球最多有多少个. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①不变　②>　③>　④改变　⑤<　⑥<　⑦一　⑧1　⑨≤　⑩≥　x≥a b<x≤a　≥　≤ 即时练 1.C　2.<　3.3　4.x≤3 5.解:(1)∵4x+5≥6x-3, ∴4x-6x≥-3-5, -2x≥-8, x≤4. 解集在数轴上表示如下: (2)∵-1>, ∴3(x-3)-6>2(x-5), 3x-9-6>2x-10, 3x-2x>-10+9+6, x>5. 解集在数轴上表示如下: 6.1<x≤2 7.解:(1)x≤3 (2)x≥-1 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示: (4)-1≤x≤3 8.(1)x+5y≥0 (2)75+2x≤100 (3)21　解析:设要答对x道题,则答错或不答(25-x)道题,由题意可得4x+(-1)×(25-x)≥80,解得x≥21. 9.　解析:勤奋小组有x人,∵如果每人分5本,那么剩余12本,∴图书的总数为5x+12,∵如果每人分8本,那么最后一人虽分到书但不足8本,∴可列不等式组为0<5x+12-8(x-1)<8,即 重点难点·一题串讲 例:解:(1)①一 ②去分母,得2(x-2)<3(x+1)-6. 去括号,得2x-4<3x+3-6. 移项、合并同类项,得-x<1. 系数化为1,得x>-1. 解集在数轴上表示如图: (2)解不等式①,得x>-1. 解不等式②,得x>2. ∴不等式组的解集为x>2. (3)设常数“□”为m,解不等式2(x-m)>x-4,得x>2m-4.∵不等式-1的解集为x>-1,不等式组的解集为x>-1,∴-1≥2m-4.∴m≤. (4)3<a≤ 河北中考·考向体验 1.B　解析:不等式a>b两边同乘-4,不等号的方向改变,所以-4a<-4b,所以“□”中应填的符号是“<”.故选B. 2.A　解析:根据不等式的基本性质1,由a-5>b-5,可得a>b.故选A. 3.A　解析:解不等式5x-1<6,得x<.故选A. 4.解:(1)=-2. (2)由题意,得<m,解得m>-2.所以负整数m的值为-1. 5.解:(1)P=3×-2=1-6=-5. (2)由数轴知,P≤7,即3-m≤7,解得m≥-2.∵m为负整数, ∴m=-1或-2. 6.B　解析:由x+1≥3,得x≥2.由-2x-6>-4,得x<-1.∴其解集在同一条数轴上表示出来为.故选B. 7.m≤3　解析:由x-3>-1得x>2,由-x<-m+1得x>m-1,∵不等式组的解集为x>2,∴m-1≤2,解得m≤3. 8.-17≤P<-7　解析:∵G(x,y)=x+3y,∴关于a的不等式组 即为 解不等式①,得a≤1,解不等式②,得a>.∵不等式组有3个整数解,∴整数解为-1,0,1,∴-2≤<-1,∴-17≤P<-7. 9.解:(1)2x≤6, 系数化为1,得x≤3, 解集在数轴上表示如图. (2)3-x<5, 移项,得-x<5-3, 合并同类项,得-x<2, 系数化为1,得x>-2, 解集在数轴上表示如图. (3)不等式组的解集为-2<x≤3. 10.A　解析:“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5.故选A. 11.解:(1)嘉嘉所列方程为101-x=2x,解得x=33.又∵x为整数,∴x=33不合题意.∴淇淇的说法不正确. (2)A品牌乒乓球有x个,则B品牌乒乓球有(101-x)个,依题意,得101-x-x≥28.解得x≤36.又∵x为整数,∴x可取的最大值为36. ∴A品牌乒乓球最多有36个. 学科网（北京）股份有限公司 $