章末总结(七) 三角函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件系统梳理了三角函数单元的核心知识，涵盖三角函数的定义、图像与性质、诱导公式及三角恒等变换，通过知识框架图将各知识点逻辑串联，帮助学生构建完整的三角函数知识体系。 其亮点在于结合“章末总结+阶段检测”的复习策略，如阶段过关检测卷设置基础巩固与综合应用分层习题，培养学生的数学推理能力和应用意识，助力教师精准把握学情，提升复习教学的针对性与高效性。

数学·必修·第一册(苏教) 章末总结　(七)三角函数 阶段过关检测卷(七) 考点一　任意角的三角函数概念 任意角和弧度制是三角函数的基础，是后续学习的重要保障．在高考中主要涉及三角函数的概念，常以选择题和填空题的形式考查，主要考查学生的数学运算素养．难度为容易题．三角函数线是解决三角函数问题的有力工具，应用较广，主要利用其判断三角函数的符号．借助三角函数线求三角函数的定义域以及三角函数的关的证明问题． 例1.(1)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________． (2)函数y＝ eq \r(sin x) ＋ eq \r(2cos x－1) 的定义域是________． 解析：(1)r＝|OP|＝ eq \r(（－4m）2＋（3m）2) ＝5|m|. 当m>0时，sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(3m,5m) ＝ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(－4m,5m) ＝－ eq \f(4,5) ，∴2sin α＋cos α＝ eq \f(2,5) . 当m<0时，sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(3m,－5m) ＝－ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(－4m,－5m) ＝ eq \f(4,5) ，∴2sin α＋cos α＝－ eq \f(2,5) . 故2sin α＋cos α的值是 eq \f(2,5) 或－ eq \f(2,5) . (2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x≥0，,2cos x－1≥0，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x≥0，,cos x≥\f(1,2)，)) 如图，结合三角函数线知： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋π（k∈Z），,2kπ－\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(π,3)（k∈Z），)) 解得2kπ≤x≤2kπ＋ eq \f(π,3) (k∈Z)， ∴函数的定义域为(x|2kπ≤x≤2kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z). 答案：(1) eq \f(2,5) 或－ eq \f(2,5) 　(2){x|2kπ≤x≤2kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z)} 【练一练】 1．若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋ eq \f(3,cos α) 的值． 解：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)， 则r＝ eq \r(x2＋y2) ＝ eq \r(k2＋（－3k）2) ＝ eq \r(10) |k|. 当k>0时，r＝ eq \r(10) k. ∴sin α＝ eq \f(－3k,\r(10)k) ＝－ eq \f(3,\r(10)) ， eq \f(1,cos α) ＝ eq \f(\r(10)k,k) ＝ eq \r(10) . ∴10sin α＋ eq \f(3,cos α) ＝－3 eq \r(10) ＋3 eq \r(10) ＝0. 当k<0时，r＝－ eq \r(10) k. ∴sin α＝ eq \f(－3k,－\r(10)k) ＝ eq \f(3,\r(10)) ， eq \f(1,cos α) ＝ eq \f(－\r(10)k,k) ＝－ eq \r(10) . ∴10sin α＋ eq \f(3,cos α) ＝3 eq \r(10) －3 eq \r(10) ＝0. 综上，10sin α＋ eq \f(3,cos α) ＝0. 考点二　同角三角函数的基本关系与诱导公式 同角三角函数的基本关系和诱导公式主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式． 常与方程、函数相结合命题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主． 例2.已知关于x的方程2x2－( eq \r(3) ＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求： (1) eq \f(cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋cos （－π－θ）) ＋ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)),1＋tan （π－θ）) ； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值． 解：由根与系数的关系，得sin θ＋cos θ＝ eq \f(\r(3)＋1,2) ，sin θcos θ＝ eq \f(m,2) . (1)原式＝ eq \f(sin2θ,sinθ－cos θ) ＋ eq \f(cos θ,1－tan θ) ＝ eq \f(sin2θ,sinθ－cos θ) ＋ eq \f(cos θ,1－\f(sin θ,cos θ)) ＝ eq \f(sin2θ,sinθ－cos θ) － eq \f(cos2θ,sinθ－cos θ) ＝sin θ＋cos θ＝ eq \f(\r(3)＋1,2) . (2)由sin θ＋cos θ＝ eq \f(\r(3)＋1,2) ，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝ eq \f(4＋2\r(3),4) ，把sin θcos θ＝ eq \f(m,2) 代入得1＋2× eq \f(m,2) ＝1＋ eq \f(\r(3),2) ，∴m＝ eq \f(\r(3),2) . (3)由m＝ eq \f(\r(3),2) 可解方程2x2－( eq \r(3) ＋1)x＋ eq \f(\r(3),2) ＝0， 得两根为 eq \f(1,2) 和 eq \f(\r(3),2) . ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin θ＝\f(1,2)，,cos θ＝\f(\r(3),2))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cos θ＝\f(1,2)．)) ∵θ∈(0，2π)， ∴θ＝ eq \f(π,6) 或 eq \f(π,3) . 【练一练】 2．已知sin θ＋cos θ＝ eq \f(1,5) ，θ(0，π)，求下列各式的值． (1)tan θ； (2)sin θ－cos θ； (3) eq \f(2sin θcos θ＋2sin2θ,1－tanθ) . 解：(1)∵sin θ＋cos θ＝ eq \f(1,5) ，θ∈(0，π)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝ eq \f(1,25) ， ∴sin θcos θ＝－ eq \f(12,25) <0， ∴sin θ>0，cos θ<0. 由sin θ＋cos θ＝ eq \f(1,5) ， sin2θ＋cos2θ＝1，整理可得25sin2θ－5sinθ－12＝0， 解得sin θ＝ eq \f(4,5) 或sin θ＝－ eq \f(3,5) (舍去)， ∴sin θ＝ eq \f(4,5) ，cos θ＝－ eq \f(3,5) ，∴tan θ＝－ eq \f(4,3) . (2)sin θ－cos θ＝ eq \r(（sin θ－cos θ）2) ＝ eq \r(1－2sin θcos θ) ＝ eq \r(1＋\f(24,25)) ＝ eq \f(7,5) . (3) eq \f(2sin θcos θ＋2sin2θ,1－tanθ) ＝ eq \f(2sin θ（cos θ＋sin θ）,1－\f(sin θ,cos θ)) ＝ eq \f(2sin θcos θ（cos θ＋sin θ）,cos θ－sin θ) ＝ eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),－\f(7,5)) ＝ eq \f(24,175) . 考点三　三角函数的图象与性质 1．三角函数的周期性：函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为 eq \f(2π,|ω|) ，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为 eq \f(π,|ω|) . 2．三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋B的形式． 3．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sin x，cos x的有界性． (2)从y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误． 4．求三角函数的单调区间 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． 5．掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养． 例3.已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ) eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(ω>0，)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2))) 图象的一个对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)) ，其图象上相邻两个最高点间的距离为π. (1)求函数f(x)的解析式； (2)用“五点法”在给定的坐标系中作出函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(11π,12))) 内的图象，并写出函数f(x)的单调递减区间． 解：(1)因为图象上相邻两个最高点间的距离为π，所以T＝π，所以ω＝2. 因为函数图象的一个对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)) ， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5π,12)＋φ)) ＝0， 所以 eq \f(5π,6) ＋φ＝kπ(k∈Z)， 所以φ＝kπ－ eq \f(5π,6) (k∈Z). 又因为|φ|< eq \f(π,2) ，所以φ＝ eq \f(π,6) ，所以f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) . (2)列表，作图如下： 2x＋ eq \f(π,6) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x － eq \f(π,12) eq \f(π,6) eq \f(5π,12) eq \f(2π,3) eq \f(11π,12) f(x) 0 2 0 －2 0 由图得递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ)) (k∈Z). 【练一练】 3．已知函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) . (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)将y＝f(x)的图象向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(13π,4))) 上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) .令2kπ－ eq \f(π,2) ≤2x－ eq \f(π,6) ≤2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，得kπ－ eq \f(π,6) ≤x≤kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3))) ，k∈Z. (2)将f(x)的图象向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度，得g1(x)＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,6))) ＝sin eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(2x＋)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2))) ＝cos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cos x的图象．作函数g(x)＝cos x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(13π,4))) 上的图象，作直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是[－ eq \f(\r(2),2) ，0). $