7.4 三角函数应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数应用，系统讲解简谐运动参数（振幅、周期等）及模型构建步骤，通过自主预习梳理基础概念，基点小试巩固知识，互动探究拓展深化，形成从概念到实际问题解决的完整学习支架。 其亮点是以物理（电流、简谐运动）和生活（血压、海浪）实例为载体，引导学生用数学眼光抽象模型，用数学思维分析数据（如海浪高度表求解析式），用数学语言表达规律（如周期频率计算）。题型含详细解析与变式（如母题条件修改），助力学生提升建模能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．4　三角函数应用 周期现象 周期变化 课下培优巩固练（四十六） [课程标准]　1. 会用三角函数解决简单的实际问题．　2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 一、三角函数在解决简单的实际问题中的应用 1．在物理学中，简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)(x∈[0， ＋∞))描述简谐运动的物理量． 2．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝ eq \f(2π,ω) ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率是由公式f＝ eq \f(1,T) ＝ eq \f(ω,2π) ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 二、构造三角函数模型 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中____________的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画____________规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 【基点小试】 1．初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为(　　) A.y＝v0t B．y＝v0t sin θ C．y＝v0t sin θ－ eq \f(1,2) gt2 D．y＝v0tcos θ 解析：由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ，故炮弹上升的高度y＝v0t sin θ－ eq \f(1,2) gt2，故选C. 答案：C 2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________. 解析：∵f(t)＝24sin 160πt＋110， ∴T＝ eq \f(2π,ω) ＝ eq \f(2π,160π) ＝ eq \f(1,80) ，f＝ eq \f(1,T) ＝80， ∴此人每分钟心跳的次数为80. 答案：80 3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______s往返一次． 解析：观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次． 答案：0.8 题型一　三角函数在物理学中的应用 例1.已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|< eq \f(π,2) )在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段 eq \f(1,150) 秒的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解：(1)由题图知A＝300，设t1＝－ eq \f(1,900) ，t2＝ eq \f(1,180) ， 则周期T＝2(t2－t1)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,180)＋\f(1,900))) ＝ eq \f(1,75) . ∴ω＝ eq \f(2π,T) ＝150π. 又当t＝ eq \f(1,180) 时，I＝0，即sin (150π· eq \f(1,180) ＋φ)＝0， 而|φ|< eq \f(π,2) ，∴φ＝ eq \f(π,6) . 故所求的解析式为I＝300sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6))) . (2)依题意，周期T≤ eq \f(1,150) ， 即 eq \f(2π,ω) ≤ eq \f(1,150) (ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943. [总结] 　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝ eq \f(2π,ω) 为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝ eq \f(1,T) 为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 【练一练】 1．已知简谐运动f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋φ)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2))) 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A．T＝6，φ＝ eq \f(π,6) B．T＝6，φ＝ eq \f(π,3) C．T＝6π，φ＝ eq \f(π,6) D．T＝6π，φ＝ eq \f(π,3) 解析：T＝ eq \f(2π,ω) ＝ eq \f(2π,\f(π,3)) ＝6， ∵图象过(0，1)点，∴sin φ＝ eq \f(1,2) . ∵－ eq \f(π,2) ＜φ＜ eq \f(π,2) ，∴φ＝ eq \f(π,6) . 答案：A 2．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3))) ，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解：列表如下： 2t＋ eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π t － eq \f(π,6) eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示． (1)将t＝0代入s＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3))) ，得s＝4sin eq \f(π,3) ＝2 eq \r(3) ，所以小球开始振动时的位移是2 eq \r(3) cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 题型二　三角函数模型在实际生活中的应用 例2.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 解：(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝ eq \f(π,6) .又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为 eq \f(1,2) ，函数解析式为y＝ eq \f(1,2) cos eq \f(π,6) t＋1(0≤t≤24). (2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝ eq \f(1,2) cos eq \f(π,6) t＋1＞1，cos eq \f(π,6) t＞0，2kπ－ eq \f(π,2) ＜ eq \f(π,6) t＜2kπ＋ eq \f(π,2) ， 即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z).又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即上午9：00至下午 3：00. 【母题探究】　若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ 解：由y＝ eq \f(1,2) cos eq \f(π,6) t＋1＞1.25得cos eq \f(π,6) t＞ eq \f(1,2) ， 2kπ－ eq \f(π,3) ＜ eq \f(π,6) t＜2kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z. 又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即上午10：00至下午2：00. [总结] 　解三角函数应用问题的基本步骤 【练一练】 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin eq \f(t,2) (t≥0)，则人流量增加的时间段是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 解析：由2kπ－ eq \f(π,2) ≤ eq \f(t,2) ≤2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π].因为[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 答案：C 4．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2))) ，如图所示． (1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解：(1)观察图象知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度． (2)观察图象可知， eq \f(1,2) T＝14－8＝6， ∴T＝12，∴ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(π,6) . b＝ eq \f(1,2) ×(50＋30)＝40，A＝ eq \f(1,2) ×(50－30)＝10， ∴y＝10sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ)) ＋40. 将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝ eq \f(π,6) ＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|＜ eq \f(π,2) ，∴φ＝ eq \f(π,6) . ∴所求解析式为y＝10sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6))) ＋40，x∈[8，14]. $