7.3.2 第四课时 正切函数的图象与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦高一三角函数中的正切函数图象与性质，通过复习正弦、余弦函数的图象与性质搭建学习支架，引导学生类比探究正切函数，构建从已知到未知的知识脉络。 其亮点在于结合图像辨析（A/B/C/D选项）和性质梳理（定义域、周期、奇偶性），培养学生的数学眼光（几何直观）与数学思维（推理能力）。采用图像对比与性质列表总结的方法，学生能深化理解，教师可借助同步讲义及培优练习提升教学效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．3．2　三角函数的图象与性质 第四课时　正切函数的图象与性质 R π 奇函数 课下培优巩固练（四十四） [课程标准]　1.能画出正切函数的图象，了解正切函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．　2. 借助图象理解正切函数在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上的性质． 正切函数y＝tan x的性质 定义域 ________________________________ 值域 ___ 周期 最小正周期为___ 奇偶性 _________ 单调性 在开区间____________________________内单调递增 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2))) (k∈Z) 注意：正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)) (k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数． 【基点小试】 1．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3))) 在一个周期内的图象是(　　) 解析：当x＝ eq \f(2π,3) 时，y＝0，排除CD；当x＝0时，y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝－ eq \r(3) ，排除B，故选A. 答案：A 2．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))) 的单调增区间是________________________． 解析：因为函数y＝tan x在 eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ)) (k∈Z)上单调递增， 所以令－ eq \f(π,2) ＋kπ＜x－ eq \f(π,4) ＜ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z). 解得kπ－ eq \f(π,4) ＜x＜kπ＋ eq \f(3π,4) (k∈Z). 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4))) (k∈Z) 3．函数y＝sin x＋tan x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 的值域为______________________． 解析：∵y1＝sin x，y2＝tan x均满足在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 上单调递增，∴函数y＝sin x＋tan x也满足在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 上单调递增，∴此函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 上的值域为 eq \b\lc\[(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－1，)) eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋1)) . 答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－1，\f(\r(2),2)＋1)) 题型一　正切函数的周期性、奇偶性 例1.(1)函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4x＋\f(π,6))) 的最小正周期为(　　) A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,2) C．π D．2π 解析：法一　函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的周期是T＝ eq \f(π,|ω|) ，直接利用公式，可得T＝ eq \f(π,|－4|) ＝ eq \f(π,4) . 法二　由诱导公式可得tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4x＋\f(π,6))) ＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4x＋\f(π,6)－π)) ＝tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(π,6))) ，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) ＝f(x)，所以周期T＝ eq \f(π,4) . 答案：A (2)函数f(x)＝ eq \f(1,tan （π－x）) 是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：因为函数f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)，k∈Z)))) ，关于原点对称，且f(x)＝ eq \f(1,tan （π－x）) ＝ eq \f(1,－tan x) ， 所以f(－x)＝ eq \f(1,－tan （－x）) ＝ eq \f(1,tan x) ＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 答案：A [总结] 　正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝ eq \f(π,|ω|) ，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 【练一练】 1．关于x的函数f(x)＝tan (x＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ②不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数； ③存在φ，使f(x)是奇函数； ④对任意的φ，f(x)都不是偶函数． 其中不正确的说法的序号是________．因为当φ＝____________________时，该说法的结论不成立． 解析：对于①，显然当φ＝kπ或kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z时，f(x)是奇函数，故①错，③正确；既是奇函数又是偶函数的函数为y＝0，显然对于任意的φ，f(x)都不可能恒为0，故②正确；④显然正确． 答案：①　kπ或kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z 2．求函数y＝ eq \r(3) tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4))) 与函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期． 解：y＝ eq \r(3) tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4))) 的最小正周期T＝ eq \f(π,4) ， 作出f(x)＝tan x＋|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期T＝π. 题型二　正切函数的定义域、值域 例2.(1)函数y＝ln (tan x)的定义域为________． (2)函数y＝tan 2x－2tan x＋3的最小值为________． 解析：(1)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)（k∈Z），,tan x>0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)（k∈Z），,kπ<x<kπ＋\f(π,2)（k∈Z），)) 故定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2))) (k∈Z). (2)y＝(tan x－1)2＋2，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值2. 答案：(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2))) (k∈Z)　(2)2 [总结] 　1.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． (2)求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，解得x. 2．求正切函数值域的方法 (1)对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． (2)对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域． 【练一练】 3．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)) 的定义域是(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)))，x∈R)) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)))，x∈R)) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z，x∈R)))) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z，x∈R)))) 解析：由 eq \f(π,4) －x≠k1π＋ eq \f(π,2) (k1∈Z)得x≠－k1π－ eq \f(π,4) (k1∈Z).从而x≠k2π－ eq \f(π,4) (k2∈Z). 由k2∈Z得x≠kπ＋ eq \f(3,4) π(k∈Z)， ∴y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)) 的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))) .故选D. 答案：D 4．函数y＝－tan 2x＋4tan x＋1，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 的值域为________． 解析：∵－ eq \f(π,4) ≤x≤ eq \f(π,4) ，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1，1]. ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. ∴当t＝－1，即x＝－ eq \f(π,4) 时，ymin＝－4；当t＝1，即x＝ eq \f(π,4) 时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4，4]. 答案：[－4，4] 题型三　正切函数的单调性 例3.(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________________． 解析：y＝tan x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) 上是单调增函数， 且tan 1＝tan (π＋1)， 又 eq \f(π,2) ＜2＜3＜4＜π＋1＜ eq \f(3π,2) ， 所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1. 答案：tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 (2)求函数y＝3tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x)) 的单调区间． 解：y＝3tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x)) ＝－3tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) ， 由－ eq \f(π,2) ＋kπ＜2x－ eq \f(π,4) ＜ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z)， 得－ eq \f(π,8) ＋ eq \f(kπ,2) ＜x＜ eq \f(3π,8) ＋ eq \f(kπ,2) (k∈Z)， 所以y＝3tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x)) 的减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(3π,8)＋\f(kπ,2))) (k∈Z). [总结] 　1.求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－ eq \f(π,2) <ωx＋φ<kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，求得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【练一练】 5．已知函数y＝tan ωx在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 内是减函数，则(　　) A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0 C．ω≥1 D．ω≤－1 解析：因为y＝tan x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 内单调递增，所以易知ω＜0，又y＝tan ωx(ω＜0)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上是单调递减的，所以其最小正周期T＝ eq \f(π,|ω|) ≥π，综上，－1≤ω＜0. 答案：B 6．求函数y＝tan (－ eq \f(1,4) x＋ eq \f(π,4) )的单调区间． 解：y＝tan (－ eq \f(1,4) x＋ eq \f(π,4) )＝－tan ( eq \f(1,4) x－ eq \f(π,4) )， 由－ eq \f(π,2) ＋kπ< eq \f(1,4) x－ eq \f(π,4) < eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z)得－π＋4kπ<x<3π＋4kπ，k∈Z，所以函数y＝tan (－ eq \f(1,4) x＋ eq \f(π,4) )的单调递减区间是(－π＋4kπ，3π＋4kπ)(k∈Z). $