7.3.2 第二课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数的周期性与奇偶性，系统讲解周期函数定义、最小正周期及正弦函数（奇函数）、余弦函数（偶函数）的奇偶性特征。通过“自主预习·新知感悟”模块呈现核心概念与微点拨，结合基点小试巩固基础，搭建从三角函数图象到性质的学习支架，衔接前期图象知识。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以题型为载体实施教学。如例1用定义法和公式法求周期，例2强调定义域对称判断奇偶性，体现逻辑推理；通过图象法分析|sinx+1|的周期性，培养几何直观。方法总结与母题探究（变条件变结论）助力学生掌握解题策略，教师可依托此资料提升课堂效率，促进学生数学能力发展。

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．3．2　三角函数的图象与性质 第二课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 非零 f(x＋T) 正数 正数 课下培优巩固练（四十二） [课程标准]　1.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．　2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质． 一、周期函数 1．周期函数 条件 ①对于函数f(x)，存在一个______常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有_____________＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2.最小正周期 条件 如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的______ 结论 这个最小______叫做f(x)的最小正周期 微点拨：1.并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． 2．如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期． 3．函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质． 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若2是函数f(x)的周期，则－2也是函数f(x)的周期．(　　) (2)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(　　) (3)如果存在非零常数T，使得定义域内存在一个值x，有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) 是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 解析：因为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) ＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数． 答案：D 3．下列四个函数中，图象关于y轴对称的是(　　) A．y＝sin x B．y＝1＋cos x C.y＝sin 2x D．y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 解析：图象关于y轴对称，则为偶函数，故选B. 答案：B 4．若函数y＝sin (x＋φ)(0≤φ≤π)在R上为偶函数，则φ可等于(　　) A．0 B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,2) D．π 解析：代入排除，当φ＝ eq \f(π,2) 时，y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) ＝cos x为偶函数． 答案：C 题型一　三角函数的周期 例1.求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ； (2)f(x)＝|sin x|. 解：(1)法一(定义法)　∵f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋2π)) ＝cos eq \b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2（x＋π）＋)) eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝f(x＋π)， 即f(x＋π)＝f(x)， ∴函数f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 的周期T＝π. 法二(公式法)　∵y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ， ∴ω＝2. 又T＝ eq \f(2π,|ω|) ＝ eq \f(2π,2) ＝π. ∴函数f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 的周期T＝π. (2)法一(定义法)　∵f(x)＝|sin x|, ∴f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， ∴f(x)的周期为π. 法二(图象法)　∵函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π. [总结] 　求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解． (2)公式法，对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝ eq \f(2π,|ω|) . (3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 【练一练】 1．函数f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6))) 的最小正周期为(　　) A． eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π 解析：函数f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6))) 的最小正周期T＝ eq \f(2π,\f(1,2)) ＝4π. 答案：D 2．利用已知f(x)＝2cos eq \f(π,3) x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________． 解析：易知f(x)的最小正周期T＝6， f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 答案：3 3．f(x)＝|sin x＋1|是否是周期函数，最小正周期为多少？ 解：作出函数f(x)＝|sin x＋1|的图象，如图所示： 观察图象知，最小正周期为2π. 题型二　三角函数的奇偶性 例2.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,2))) ； (2)f(x)＝lg (1－sin x)－lg (1＋sin x)； (3)f(x)＝ eq \f(1＋sin x－cos2x,1＋sin x) . 解：(1)显然x∈R，f(x)＝cos eq \f(1,2) x， f(－x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x)) ＝cos eq \f(1,2) x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－sin x>0，,1＋sin x>0，)) 得－1<sin x<1. 解得定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z}． ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg (1－sin x)－lg (1＋sin x) ∴f(－x)＝lg [1－sin (－x)]－lg [1＋sin (－x)] ＝lg (1＋sin x)－lg (1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数． (3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－ eq \f(π,2) ，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． [总结] 判断函数奇偶性的方法 【练一练】 4．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x； (2)f(x)＝ eq \r(1－cos x) ＋ eq \r(cos x－1) . 解：(1)函数的定义域为R， 又f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． 题型三　三角函数的奇偶性与周期性的简单应用 例3.(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A．y＝cos |2x| B．y＝|sin x| C．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)) D．y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x)) 解析：y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)) ＝cos 2x是偶函数，y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x)) ＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π. 答案：D (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，f(x)＝sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) 等于(　　) A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(3),2) 解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－π)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－π)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝sin eq \f(π,3) ＝ eq \f(\r(3),2) . 答案：D 【母题探究】　1.(变条件)若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？ 解：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－π)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3))) ＝f( eq \f(2π,3) －π)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝－sin eq \f(π,3) ＝－ eq \f(\r(3),2) . 2．(变结论)若将例3(2)题条件不变，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 017π,3))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 018π,3))) 的值． [总结] 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法 利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题． 2．推得函数周期的若干形式 (1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t； (2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t； (3)若f(x＋t)＝ eq \f(1,f（x）) ，则函数周期为2t； (4)若f(x＋t)＝－ eq \f(1,f（x）) ，则函数周期为2t. 【练一练】 5．若函数f(x)是以 eq \f(π,2) 为周期的偶函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝1，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,6))) ＝________． 解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,6))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,6)＋3π)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(π,2))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝1. 答案：1 $